Número de valores distintos

A continuación, os propongo el problema de esta semana. Ahí va:

Para n \in \{1,2,3, \ldots ,100 \}, calcula cuántos valores distintos toma la expresión

\cfrac{n^2-2}{n^2-n+2}

No pongo todavía de dónde lo he sacado para que todo el que quiera pueda intentarlo. Si sabéis de dónde proviene, os agradecería que no dijerais nada. Muchas gracias.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. Toma 97 valores.

    p(n)=n^2-2
    q(n)=n^2-n+2

    r(n)=p(n)/q(n)

    La funcion q de denominador es continua en R, pues alcanza el minimo en x=0.5, y decrece desde -inf a 0.5 y crece de 0.5 a inf, por tanto, jamas se hace 0, y siempre es positiva q(n) en N.

    Si aplicamos la derivada a p(x)/q(x) vemos que sus 0 son en x1=4-raiz(14) y en x2=4+raiz(14), el 1º es menor que 1, y el 2 mayor que 7 y menor que 8. p(x)/q(x) es decreciente hasta x1, crece entre x1 y x2 y decrece a partir de x2

    El limite cuando n-> inf de p(n)/q(n) es 1. Si igualamos p(n)/q(n), vemos que se cumple para n=4. Por tanto con eso sabemos que r(1), r(2) y r(3) son valores unicos, por ser valores menores que 1. r(4) =1 tambien lo es porque r(4)=lim n->inf r(n)<r(100).

    r(5)=23/22

    para que sea igual r(n)=r(5) y n (n^2-2)/(n^2-n+2)=23/22 => 22n^2-44=23n^2-23n+46 => n^2-23n+90=0

    n=5 y n=(23+raiz(529-4*1*90))/2=(23+raiz(529-360))/2=(23+raiz(169))/2=18.

    Por tanto para n=5 y n=18 r(n) es identico.

    Para n=6 y n=7 no hace falta calcular nada, porque la operacion de calcular la igualdad, va a generar ecuaciones de segundo grado, con coeficientes enteros, y que ya sabemos que al ser una solucion entera, la otra tambien lo sera.

    Tambien sabemos que r(18)=r(5)<r(6)=r(n1), pero como r es decreciente a apartir de 8, sabemos que n1 es menor que 18. Podemos hacer el razonamiento analogo con r(7), con lo cual demostramos que va a dar 97 valores distintos.

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    • Javier,

      Si tienes una ecuación de 2º grado con coeficientes enteros, o racionales, y sabes que una solución es entera, o racional, solo puedes asegurar que la otra es racional. Y para n = 7 resulta que la otra solución es racional si, pero no entera: 26/3. Por tanto solo hay dos repeticiones y 98 valores diferentes.

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      • Cierto, lo que he dicho yo solo se puede asegurar en las ecuaciones ax^2+bx+c=0 si |a|=1

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  2. La función f(x) = \cfrac{x^2 - 2}{x^2-x+2} es creciente desde x = 4 -\sqrt{14} \approx 0.2583 hasta x = 4 +\sqrt{14} \approx 7.7416 y decreciente a partir de aquí, con límite 1. Como f(4) = 1, los valores que se pueden repetir son f(5) = \cfrac{23}{22}, f(6)=\cfrac{17}{16}\; \; y\;\; f(7)=\cfrac{47}{44}. Y efectivamente lo hacen dos de ellos:

     \cfrac{n^2 - 2}{n^2-n+2}=\cfrac{23}{22} \Longrightarrow n = 5, 18

     \cfrac{n^2 - 2}{n^2-n+2}=\cfrac{17}{16} \Longrightarrow n = 6, 11

     \cfrac{n^2 - 2}{n^2-n+2}=\cfrac{47}{44} \Longrightarrow n = 7, \cfrac{26}{3}

    Por lo tanto, como hay dos repeticiones en {1, 2, .., 100}, tenemos 98 valores distintos.

    NaClU2,

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  3. Bien, el resultado de Ignacio Larrosa es correcto. Y como el problema ya está resuelto, os planteo lo siguiente: ¿cómo podríamos dar respuesta al problema sin utilizar funciones?

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  4. Este problema lo conozco jaja. Os pondré la solución que hallé durante la competición que puede que no sea la mejor, pero aun no vi a nadie que lo hiciera de la misma forma:
    Supongamos que para dos naturales a y b la expresión del enunciado da un mismo resultado k. Por lo tanto, a y b son soluciones de la siguiente ecuación:
    \frac{x^2-2}{x^2-x+2}=k \Rightarrow x^2(k-1)-kx+2k+2=0
    Podemos asumir k\neq 1 ya que la ecuación sería de primer grado. Por las formulas de Vieta tenemos
    a+b = \frac{k}{k-1}
    Pero como k= \frac{a^2-2}{a^2-a+2} podemos sustituirlo en la fórmula anterior
    a+b = \frac{a^2-2}{a-4} \Rightarrow b = \frac{4a-2}{a-4} \Rightarrow b-4 = \frac{14}{a-4}
    Por lo tanto a-4 debe ser divisor de 14. Y como a y b son enteros positivos, los únicos pares de números para los cuales la expresión da un mismo valor son (5, 18) y (6, 11). Concluimos que la respuesta es 98.

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    • Coincido en que la mejor vía es la que argumenta Santi llegando a la condición sobre la búsqueda de divisores de 14. Se puede hacer de modo más simplón (con algunas cuentas más), quizá con la ventaja de que no hace falta saber siquiera las fórmulas de Cardano-Vieta.

      Si uno supone que tiene dos números x \neq y para los cuales la expresión coincide, tiene una condición tipo \frac{x^2-2}{x^2-x+2}=\frac{y^2-2}{y^2-y+2}. Haciendo los productos cruzados y moviendo todo para un lado se deduce -yx^2+xy^2+4x^2-4y^2+2y-2x=0. Dividiendo entre (x-y) ya que x e y eran distintos se concluye xy-4(x+y)+2=0. Despejando la x deducimos x=\frac{4y-2}{y-4}=4+\frac{14}{y-4} y, como x es entero, debemos tener que y-4 divide a 14. Se comprueban todos los valores, como dijo Santi, y se obtienen justo esos pares coincidentes; luego hay 98 valores distintos.

      De todos modos, para una resolución del problema en general (con fracción arbitraria prefijada), lo más prudente parece lo que ya se comentó (usar la derivada para obtener una cota inferior tal que dos abscisas que superen la cota inferior no puedan coincidir en imagen) y luego trabajar a lo bruto.

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    • En esta bonita solución de Santiago Velázquez, hay dos fases importantes. Una es la de pensar que conocemos cual es la suma de la dos soluciones de una ecuación de segundo grado y que esta suma es un cociente sencillo. Y la segunda, (la que más me extrañó a mí; que soy un neófito a la hora de conocer los truquillos varios para la resolución de los problemas matemáticos de tipo sencillo) es la de pensar en transformar la expresión de b en un cociente fértil, es decir con un valor del numerador definido (14/ (a-4)); por el que pasamos a resolver el problema por el método elemental de los divisores de un número concreto. Por eso es bonito el dar a conocer los diversos modos posibles de resolver matemáticamente algo. Casi he tenido la tentación, por otra parte, de sustituir “matemáticamente”, en la última frase, por “realmente”; pero no sé si es bueno hacer más literatura…

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  5. Lo mismo:
    Si pasamos “y=f(x)” a “x=g(y)” fácilmente vemos que los valores de “y” pueden oscilar entre “-raíz(8/7)” y “+raíz(8/7)”
    Por el doble signo de la raíz podemos afirmar que por cada “y” existen dos “x” salvo en el caso del discriminante “0” que corresponde a “y=raíz(8/7)”
    Si hacemos “x=g[raíz(8/7)]” acotamos por una parte la “x” y por otra haciendo “x=g[f(100)] tenemos la otra cota.
    Saludos

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  6. Si en la sucesión de término general \( a_{n}=\frac{n^2-2}{n^2-n+2} \) existen términos cuyos valores están repetidos, entonces debe haber al menos un \( n \) para el cual se cumpla lo siguiente: $$a_{n}=\frac{n^2-2}{n^2-n+2}=a_{n+m}=\frac{(n+m)^2-2}{(n+m)^2-(n+m)+2}$$

    Aislando \( m \) en la expresión de arriba, nos queda que: $$m=\frac{-n^2+8n-2}{n-4}$$

    Ahora, podríamos empezar a sustituir \( n \) por los números naturales que nos pide considerar el ejercicio y ver si para alguno de ellos \( n+m\in\{2,3,4,\ldots100\} \). Sin embargo, esto no es necesario si examinamos la fracción \( m=\frac{-n^2+8n-2}{n-4} \).

    Por un lado, tenemos que \( -n^2+8n-2 \) representa a una parábola invertida que corta al eje de abscisas en \( 4-\sqrt{14} \) y \( 4+\sqrt{14} \), por lo que el numerador de \( m \) se hace positivo para los \( n\in\;(4-\sqrt{14},4+\sqrt{14}) \), y por otra parte, el denominador \( n-4 \) se hace positivo cuando \( n>4 \).

    Como estamos trabajando con una sucesión, solo nos interesa considerar que tanto \( n \) como \( m \) sean enteros y positivos, lo cual, debido a lo que hemos dicho en el párrafo anterior, solo se cumple si: $$n\in\;(4-\sqrt{14},4+\sqrt{14})\cap\(4,+\infty)$$

    Así, ya sabemos que los únicos términos que se pueden llegar a repetir en la sucesión \( a_{n}=\frac{n^2-2}{n^2-n+2} \) son aquellos cuya \( n\in\{5,6,7\} \). Sustituyendo estos valores de \( n \) en la fracción \( m \), nos queda que \( a_{5}=a_{5+13}=a_{18} \) y que \( a_{6}=a_{6+5}=a_{11} \). El caso \( n=7 \) no se considera pues al sustituirlo \( m \) no da un número entero.

    Entonces, los términos diferentes que \( a_{n}=\frac{n^2-2}{n^2-n+2} \) toma para los \( n \) comprendidos en \( {1,2,3,\ldots100} \) son un total de \( 98 \).

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    • Muy buena solución. Viéndola se me ocurre también otra:
      Empezando de la misma forma, $$m=\frac{-n^2+8n-2}{n-4} \Rightarrow m-8=\frac{-n^2+8n-2}{n-4}-8 = \frac{30-n^2}{n-4}=\frac{(4+n)(4-n)+14}{n-4}$$
      De esto se deduce que n-4 divide a 14 y el resto ya es probar.

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      • Gracias. Tienes toda la razón, al restar 8 a m se llega más rápidamente a la solución. No me di cuenta de ese detalle. Muy buena. Además, me gusta mucho la condición a la que llegaste con tu desarrollo, ya que a través de ella (me refiero a que un (n-4) divide a 14) se deducen las dos soluciones sin tener que calcular a(7). Muy elegante, si señor.

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  7. Pasaba por aquí. Al ver que sigue el interés por este problemita, me he puesto a indagar un poco. Sea, de una manera algo más general, una función x^2+c / (x^2+bx+d), que deseamos conocer cuantas veces repite sus valores. Por el método sencillo de Santiago, obtenemos que si las dos soluciones de la ecuación de segundo grado, son x1 y x2; entonces x2 – (c-d)/b = (bc + ((d-c)^2 /b)) / (bx1-c+d), en el que vemos que b debe de ser divisor de (c-d) y después (bx1-c+d) debe de dividir al entero bc + ((d-c)^2 /b). Para iniciar el estudio de una manera somera, decidí simplificar la cosa asumiendo b = -1, como en el caso del problemita; por lo que tenemos que x2 + c-d = ((d-c)^2 + c) / (x1+c-d). El caso (c,d) = (-2,2) nos lleva a x2 – 4 = 14 / (x1 -4).
    Este es un problema que realmente depende básicamente de los divisores de (d-c)^2 + c. Buscando cuales son los menores valores de (c,d) (y b = -1), para que la función tome sólo 1,2,3,4,5,… valores repetidos; se obtiene lo siguiente, en el formato c, d, (d-c)^2 + c, número de valores repetidos :
    -2, 3, 23, 1
    -2, 2, 14, 2
    -4, 2, 32, 3
    -9, 3, 135, 4
    -9, 2, 112, 5
    -4, 4, 60, 6
    -4, 10, 192, 7
    -9, 6, 216, 8
    -4, 12, 252, 9
    -9, 12, 432, 10
    -64, 8, 5120, 11
    -4, 18, 480, 12
    -33, 78, 12288, 13
    -4, 42, 2112, 14
    -9, 18, 720, 15
    -9, 24, 1080, 16
    -272, 844, 1245184, 17
    -4, 34, 1440, 18
    -337, 550, 786432, 19
    -9, 48, 3240, 20

    Pienso que se puede encontrar un par (c,d) para cada uno de los números naturales, sin límite, hacia el infinito, que miden en este caso el número de repeticiones de los valores de la función.
    Un caso interesante es el de determinar, para cada número concreto de repeticiones de los valores de la función, si existen números consecutivos (d-c)^2 + c , y cuantos, que cumplen las condiciones. Por ejemplo, cuando hay una solo repetición, ese número ha de ser primo y el menor es 23; no puede tener ningún número consecutivo más que él mismo; (pero existen el 59 y el 61, primos gemelos, que son solución). Para dos repeticiones, los menores números consecutivos cuyos divisores hay que hallar, son
    (33, 34); y los 3 consecutivos menores son: (93, 94, 95). Para 3 repeticiones, los dos consecutivos menores son: (44, 45). Y para 4 repeticiones: (135, 136).La sucesión de los menores n números consecutivos que generan repeticiones para este tipo de funciones, sería : 23, 33, 93, …
    Pienso que sería posible, computacionalmente, hallar 3 o 4 términos más. Después no lo sé.
    Espero que no se halla deslizado, en este texto, ningún error tonto; no tengo la paciencia de comprobarlo.

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    • Llama al atención que los menores números “c”, sean , de una manera tan dominante, 2^2 o 3^2. Pero lo más raro de todo, es que el menor (valor absoluto) del número c, para las difíciles 19 repeticiones (en el caso de repeticiones en número primo p, el menor (d-c)^2 + c posible ha de ser de la forma 2^(p-1)*q; siendo q otro primo; el menor posible) ;es el número primo 337. Será el azar, esta vez.

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    • Como lo relatado en comentario anterior, es deuda, a veces; he aquí, después de varias horas largas de ordenador y de mucho espacio memorífico ocupado; La sucesión de los menores n números consecutivos que generan repeticiones para este tipo de funciones : 23, 33, 93, 242, 11605, 157493, 171893, …
      El séptimo término es 171893 porque (171893, 171894, 171895, 171896, 171897, 171898, 171899) son 7 números consecutivos, todos ellos de la forma (d-c)^2 + c, para algún valor del par (c,d) en cada caso; y cumpliendo todos ellos, que para este tipo de funciones, existirán 4 repeticiones en cada uno de los 7 casos.
      No he encontrado ninguno de 8, pero estoy casi seguro de que se pueden hallar hasta de 10 y de 11 consecutivos , con mucho uso de memoria o bien construyendo alguna criba informática que descarte de antemano los muchos que no puedan dar resultados altos .
      (242, 243, 244, 245) es una cuaterna y pertenece a la familia de las 3 repeticiones. No he podido hallar ninguna cadena de longitud 4, más, para esta familia de las 3 repeticiones, entre una muestra por fuerza bruta, de 9 millones de intentos.

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