Número igual a su logaritmo

Os dejo el problema de la semana. Su enunciado es el siguiente:

Encuentra todas las bases de logaritmos en las cuales un número puede ser igual a su logaritmo, o demuestra que no existe ninguna.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

26 Comentarios

  1. ln_b(a)=ln(a)/ln(b)
    Entonces nos piden b tal que para algun x:
    ln_b(x)=ln(x)/ln(b)=x
    ln(x)/x=ln(b)
    Entonces creeria que para todo x >0 y distinto de 1 existe un b con esa propiedad.

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  2. Por prueba y error creo que he llegado a que para todo b <= e^(1/e), b != 0, 1 existe(n) x que cumple(n) x = log_b(x), pero de momento no tengo ni idea de cómo demostrarlo

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  3. Luis, el problema pide justo lo contrario, para qué valores de b existe un x con esa propiedad

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  4. _cronos 2 ha dado con la respuesta correcta.

    Un modo de demostrarlo es el siguiente: el problema es equivalente a resolver b^x = x.
    Derivando b^x e igualando a 1, encontramos el valor de x para el cuál la función tiene pendiente 1. Imponiendo que dicho punto esté por debajo de la recta y = x, lo cuál garantiza que hay al menos una solución debido a la continuidad, llegamos al límite superior de las posibles bases, que es el único difícil de los dos.

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  5. Más en detalle, el problema equivale a:

    b^x = x

    El punto en el cuál b^x tiene pendiente 1 verificará:

    ln(b) cdot b^x_0 = 1

    o lo que es lo mismo:

    x_0 = -log_{b}(frac{1}{ln(b)}), y_0 = b^{x_0} = frac{1}{ln(b)}

    Dicho punto estará por debajo de la recta y = x si verifica:

    y_0 leq x_0

    o lo que es lo mismo:

    frac{1}{ln(b)} leq  -log_{b}(frac{1}{ln(b)})

    cuya solución es, efectivamente:

     b leq e^{frac{1}{e}}

    de dónde hay que excluír, lógicamente, las bases 1, 0 y negativas.

    ¿Qué tiene de especial que el punto esté por debajo de la recta?, pues que dado que tiene que pasar forzosamente por (0,1), y  b^x es una función contínua, tiene que haber al menos un corte.

    Maldita sea, he editado y se ha ido el latex a hacer puñetas. Recupera, si puedes, el mensaje inmediatamente anterior.

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  6. Repito, con el Latex corregido:

    Más en detalle, el problema equivale a:

    b^x = x

    El punto en el cuál b^x tiene pendiente 1 verificará:

     \ln(b) \cdot b^x_0 = 1

    o lo que es lo mismo:

     x_0 = -\log_{b}(\frac{1}{\ln(b)}), y_0 = b^{x_0} = \frac{1}{\ln(b)}

    Dicho punto estará por debajo de la recta y = x si verifica:

     y_0 \leq x_0

    o lo que es lo mismo:

    \frac{1}{\ln(b)} \leq  -\log_{b}(\frac{1}{\ln(b)})

    cuya solución es, efectivamente:

     b \leq e^{\frac{1}{e}}

    de dónde hay que excluír, lógicamente, las bases 1, 0 y negativas.

    ¿Qué tiene de especial que el punto esté por debajo de la recta?, pues que dado que tiene que pasar forzosamente por (0,1), y b^x es una función contínua, tiene que haber al menos un corte.

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  7. Como se ha dicho hay solución para 0 < a < e^(1/e) ~= 1.444667861, y a =/= 1. Para 0 < a < 1, hay una sola solución x, a < x < 1. Para 1 < a e. Y claro, justo para a =e^(1/e) hay una sola solución,que es x = e. Todo ello se aprecia perfectamente estudiando la gráfica de ln(x)/x.

    Si lo quereis visualizar, podéis ver el applet:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Funcion_exp_log.html

    Se puede introducir en la línea de entrada a = e^(1/e) para ver el caso límite. Para introducir e, conviene utilizar [Alt]+[e]. Tambien se puede escribir directamente e, pero entonces para variar la base hay que recargar el applet.

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  8. Pero es más sencillo ¿no?
    Como se ha dicho antes, ha de cumplirse b^x=x
    Por tanto, para cualquier número real x tenemos la base b=x^{(1/x)} para la que se verifica lo que nos piden.
    Es decir, hay una infinidad de bases, una para cada número real.

    Por ejemplo log_{\sqrt{2}} 2 = 2

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  9. Yo también había probado a derivar, en este caso la función

    f(x)=\log _{a}x-x

    Imponiendo la condición de que el valor de la función en el que se anula la derivada sea mayor que cero.

    Pero creo que la ecuación resultante es en realidad esta:

    \frac{1}{\ln a}\leq \log _{a}\left ( \frac{1}{\ln a} \right )

    y que no he sabido resolver, hasta ahora.

    Gracias a la propiedad de cambio de base de los logaritmos que también ha salido en los comentarios:

    \frac{1}{\ln a}\leq \frac{\ln \left ( \frac{1}{\ln a} \right )}{\ln a}

    Con los supuestos ya cosiderados de a\neq 1 :

    1 \leq \ln \left ( \frac{1}{\ln a} \right )

    e \leq \frac{1}{\ln a}

    e^{-1}\geq \ln a

    a \leq e^{\frac{1}{e}}

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  10. Hola Pablo Rodriguez,
    Tengo algunas dudas de la solucion que propones:

    1) Entiendo que hay que buscar un par (x0,y0) de la funcion y=b^x tal que quede por debajo de la recta y=x. Pero no es necesario que ese punto tenga pendiente 1.

    2) En todo caso, no entiendo como se despeja b de la ultima formula que propones.

    3) Es logico descartar valores de b que sean negativos o cero. Pero no hay que descartar el 1, pues para esta base existe al menos un numero (el uno) para el cual el logaritmo es igual al propio numero (efectivamente, el logaritmo en base 1 de 1 resulta ser 1).

    Por mi cuenta, he llegado no obstante a la misma solucion:

    1) b^x=x equivale a b=x^(1/x)
    2) esta funcion es continua y derivable
    3) esta funcion posee una derivada que se anula solamente en log(x)=1, esto es, x=e
    4) este valor es un maximo (se puede comprobar derivando otra vez, o calculando valores extremos a ambos lados de x=e)
    5) luego el valor maximo de b corresponde a e^(1/e)

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  11. También lo podríamos calcular diferencialmente, por ejemplo para el logaritmo neperiano:
    ln x = y = x
    y’ = y/x = 1/x
    entonces,

    y = 1 por lo que ln x = 1 y x = e

    Lo que quedaría que e = 1 y deduzco que no existe ningun numero que cumpla dicha propiedad para el logaritmo neperiano.

    ( siento mucho si he puesto alguna burrada )

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  12. Coincido con Luis y Santiago, según el enunciado, en todas las bases (salvo 0) hay un número que puede ser igual a su logaritmo.

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  13. vale, rapidillo, me retracto, con lo que dicen Luis y Santiago demostramos que cualquier número puede ser igual a su logaritmo en la base b = x^{(1/x)} pero claro esta función no cubre todo el eje de las y, hay que calcular su máximo haciendo su derivada igual a 0, etc, etc.

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  14. Como dije antes, pienso que lo más sencillo es estudiar la función ln(x)/x. La cuestión planteada es para que valores de la base tiene solución la ecuación:

    log_b(x) = x

    Escribiéndola con logaritmos neperianos,

    ln(x)/ln(b) = x ==> ln(x)/x =ln(b)

    La función f(x) = ln(x)/x esta definida y es perfectamente continua y derivable para x > 0. Cuando x –> 0, f –> -inf, y cuando x –> inf, f –> 0. Por otra parte,

    f'(x) = (1 – ln(x))/x^2

    f'(x) = 0 para x = e, es mayor que cero para x menor que e, y menor que cero para x mayor que e.

    Tiene entonces un máximo en x = e, que vale 1/e.

    Por tanto, la recta horizontal y = ln(b) corta a la grafica en un solo punto, si ln(b) < 0, 0 < b < 1.

    Si 0 < ln(b) < 1/e, b entre 1 y e^(1/e), la corta en dos puntos, uno entre 1 y e, otro mayor que e. Si ln(b) = 1/e, es la tangente y hay una sola solución. Si ln(b) es mayor que 1/e no la corta y no hay soluciones.

    El applet que mencioné anteriormente:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Funcion_exp_log.html

    está ligeramente modificado y en el campo de entrada para especificar los valores de la base se puede usar si es preciso la letra e para representar al número e sin ningún tipo de problemas. Aunque usando los dos botones, [a = e] y [a = e^(1/e)] no es muy necesario.

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  15. La identidad trivial [a^(1/a)]^a = a deja ver que en base a^(1/a) se tiene log(a) = a. Entonces los a pedidos son todos los positivos distintos de 1 y menores o iguales al máximo de la función y= x^(1/x) (dicho máximo es aproximadamente 1,44). No hay más valores porque al plantearse la ecuación correspondiente se llega a la identidad del comienzo. (NOTA.-Puedo haberme equivocado porque estoy con unos brindis adentro).

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  16. La condición es que un número x sea igual a su logaritmo en base “y”.
    Osea, que “y” debe ser igual a x elevado a la 1/x.
    Dado que ya sabemos que existen infinitas bases para las que se cumple la igualdad de que el logaritimo en base “y” de x sea igual a x, podemos replantear el problema solicitando el máximo valor de la base y.
    Para esto, debemos derivar “y” con respecto a x, e igualar a cero la expresión resultante:
    Obviando los pasos previos, obtenemos que:
    dy/dx = (1 – ln x ) / (x.x) = 0, de donde x=e.
    Por lo que: y = POTENCIA (e , 1/e) = 1.44466786..
    que es el máximo valor que puede tomar la base “y”.

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  17. Sea N el número cuyo logaritmo en base x es N, entonces:
    N = logx(N) -> N ln(x) = ln(N) -> N = x^N.

    Así, por ejemplo para N 10, entonces la base del logaritmo que hace que el logaritmo de 10 sea 10 será raíz décima de 10 :).

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  18. El problema es hallar todos los b tales que n = log_b n.
    Ahora bien, por definición de logaritmo se tiene que:
    n = log_b n  	\leftarrow \rightarrow n = b^n \leftarrow \rightarrow b = n^{\frac {1}{n}}.
    Entonces los b deben estar contenidos entre 0 y el máximo de la función b(n) = n^{\frac {1}{n}}.
    Mayor a 0 seguramente, porque las bases de los logaritmos son positivas.
    Para hallar el máximo de la función b(n) = n^{\frac {1}{n}}, todos sabemos que debemos hallar la raíz de la primera derivada. (Personalmente utilicé el derive para calcular la primera derivada de la función en cuestión, pero si alguien fuera tan amable de explicarme como calcularlas sin necesidad de ese hermoso programa se lo agradezco, por definición me resultó imposible calcular la derivada y por cambio de variable no le encontré “la vuelta”).
    Volviendo al razonamiento tenemos que:
    b'(n) = n^{\frac {1-2n}{n}} \times (1-ln(n)) = 0.
    Pero  n^{\frac {1-2n}{n}} \times (1-ln(n)) = 0 si y sólo si n^{\frac {1-2n}{n}} = 0 ó (1-ln(n)) = 0.
    Pero n^{\frac {1-2n}{n}} \neq 0; \forall n (es fácil demostrar esta afirmación por ello no la hago aquí).
    Entonces queda que 1-ln(n)=0, entonces 1=ln(n) \rightarrow n = e
    Por lo tanto 0<b\leq e^{\frac{1}{e}}

    Resulta interesante que si consideramos que x = log_a x entonces x-log_a x = 0, si fijamos una base a entonces la solución de esa ecuación será uno de los b que se requieren para responder al problema dado, siendo 0<a\leq e^{\frac{1}{e}}

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  19. @Julio Romeo: para derivar esa función, toma logaritmos a ambos lados de la igualdad y deriva implícitamente:

     b = n^{\frac{1}{n}}

    Tomando logaritmos:

     \ln{b} = \frac{1}{n} \cdot \ln{n}

    Derivando:

     \frac{1}{b} \cdot \frac{db}{dn} = -\frac{1}{n^2} \cdot ln\ln{n} + \frac{1}{n^2}

    Lo de despejar te lo dejo a ti, que escribir latex desde el móvil es una pesadilla.

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  20. Gracias Pablo Rodriguez.
    Como
    b(n) = n^{\frac{1}{n}}
    Se puede escribir b(n) = e^{\frac{ln(n)}{n}} Entonces
    b'(n) = \frac{d}{dn}e^{\frac{ln(n)}{n}}
    Haciendo un cambio de variable u = \frac{ln(n)}{n} y aplicando la regla de la cadena se tiene que:
    b'(n) = \frac{d}{du}e^u\times \frac{du}{dn}, esto es:
    b'(n) = e^{\frac{ln(n)}{n}}\times \frac{\frac{1}{n}\times n - ln(n)}{n^2}
    b'(n) = e^{\frac{ln(n)}{n}}\times \frac{1 - ln(n)}{n^2}
    Pero e^{\frac{ln(n)}{n}} = n^{\frac{1}{n}}
    e^{\frac{ln(n)}{n}} = n^{\frac{1}{n}}
    Entonces se tiene que:
    b'(n) = n^{\frac{1}{n}}\times \frac{1 - ln(n)}{n^2}
    b'(n) = n^{\frac{1-2n}{n}}\times (1-ln(n))
    Respuesta al problema de la derivada de b(n) = n^{\frac{1}{n}}

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  21. Autor:Frank Ernesto Alvarez
    Consideremos la funcion h(x) = x

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  22. a ver
    log(a)x=x log(a)x=logaritmo en base a de x
    sea f(x)=log(a)x
    y
    g(x)=x
    y sea h(x)=f(x)-g(x)
    tomando x=a^n n un numero valido y a la base anterior
    h(a^n)=n-a^n=0
    despejando a
    a=n^(1/n)
    y
    x=a^n

    dado un n se puede calcular una base de un logaritmo como
    a=n^(1/n)
    y un x dado por
    x=a^n
    que cumplen
    log(a)x=x

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  23. Yo he encontrado el valor mediante un sistema:

    Se pide para qué valores de a la ecuación a^{x}=x tiene solución. Está claro que para a=1 el problema tiene solución (simplemente dibujando las gráficas y es sencillo encontrar un valor para el que no hay solución (por ejemplo, 2^{x}\neq x). Considerando la forma de las gráficas, para multitud de valores de a existen dos soluciones y existe un valor límite para el que solo existe una única solución, en la que la recta y=x coincide con la recta de tangencia en el punto x.

    En ese punto, por tanto, debe verificarse que la función f(x)=a^{x}-x alcanza un valor mínimo y por tanto que su derivada tiene valor nulo. Tenemos por tanto dos condiciones que conforman un sistema de ecuaciones para a y x.

    a^{x} - x=0

    ln\ a \cdot a^{x} - 1 = 0

    Despejando en la segunda ecuación es fácil obtener que x=\frac{1}{ln a}, y sustituyendo en la primera ecuación obtenemos que:

    a^{\frac{1}{ln\ a}}-\frac{1}{ln\ a} = 0

    Finalmente, utilizamos que a^{\frac{1}{ln\ a}} = e para concluir que

    ln\ a=\frac{1}{e}

    y por tanto

    a=e^{\frac{1}{e}}.

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  24. Debemos despejar del siguiente sistema en términos de x la base b:

    b^{x}=x

    Para ello, tomamos logaritmos neperianos a ambos lados y pasamos la x del exponente dividiendo:

    \ln \left( b \right)\; =\; \frac{\ln \left( x \right)}{x}

    Lo reordenamos despejando la b usando la definición de logaritmo:

    b\; =\; e^{\frac{\ln \left( x \right)}{x}}

    Y metiendo el cociente dentro del neperiano tenemos que:

    b\; =\; x^{\frac{1}{x}}

    Por lo tanto la base existe.

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