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Número normal

Como en algunos comentarios en ciertos artículos (por ejemplo, en algunos de números irracionales cebra) vi que no estaba demasiado claro qué era un número normal voy a intentar explicarlo en esta entrada.

Un número normal es un número real cuyos dígitos, en cualquier base, siguen una distribución uniforme, esto es, todos los dígitos son igualmente probables, todas las parejas de dígitos son igualmente probables, todas las ternas son igualmente probables…Cuando queremos referirnos a una base concreta $b$ diremos que el número es cuestión es normal en base $b$ . El concepto de número normal fue introducido por Émile Borel en 1909.

A la vista de esta definición podemos sacar varias cosas:

1.- En un número normal podemos encontrar todos los patrones posibles entre números; por ejemplo, si nos ceñimos a base 10, un número normal en base 10 contendrá en algún lugar de su expansión decimal a cualquier número natural que podamos pensar.
2.- Todo número normal debe ser necesariamente irracional, ya que si un número es racional tendrá un período y eso impide que haya equiprobabilidad.
3.- No todo número irracional es normal, ya que hay números irracionales en los cuales no aparece cualquier patrón de número naturales. Por ejemplo, la constante de Liouville

$\displaystyle{\sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000 \ldots}$

es un número irracional pero, evidentemente, no presenta todos los patrones posibles.

Después de la definición y de las observaciones iniciales viene la pregunta: ¿existen números normales? Y en ese caso, ¿cuántos hay? Vamos con las respuestas:

Sí, existen números normales. De hecho, casi todos los números reales son normales. El casi todos significa que el conjunto de los números reales no normales tiene medida de Lebesgue cero. Este resultado también fue demostrado por Borel, aunque su demostración es no constructiva. Fue Waclaw Sierpinski quien dio el primer ejemplo de número normal (no he podido encontrar de qué número se trata; si alguien lo sabe que lo comente). Por tanto hay muchísimos números normales. Sería lógico pensar entonces que es sencillo encontrarlos…nada más lejos de la realidad. Se conocen algunos, de otros se conjetura que lo son, hay más conjeturas sobre ellos, pero ni mucho menos es sencillo comprobar que un número irracional es o no es normal.

Vamos con un par de números de los que se conoce su normalidad:

1.- El número de Champernowne: $0,1234567891011121314151617181920212223 \ldots$

Este número se obtiene concatenando todos los números naturales. Se sabe que es normal en base 10, pero no se sabe si lo es o no en otras bases.

2.- La constante de Copeland-Ërdos: $0,23571113171923 \ldots$

Este número se obtiene concatenando todos los números primos en base 10. En 1945 Copeland y Ërdos demostraron que este número es normal en todas las bases.

3.- La constante de Chaitin $\Omega$ : que es la probabilidad de que un programa elegido al azar detenga correctamente a una maquina de Turing determinada.

Podemos definirlo también de la siguiente forma:

Sea $P$ el conjunto de todos los programas que se detienen y sea $|p|$ el tamaño en bits de un programa $p$ . Entonces:

$\displaystyle{\Omega = \sum_{p \in P} 2^{-|p|}}$

No podemos determinar todos sus dígitos ya que es un número no computable. Pero sabemos que los primeros dígitos de su expresión en base 10 son:

$\Omega=0,0078749969978123844 \ldots$

Uno de los temas más interesante sobre los números normales es si ciertas constantes famosas como $\pi,e,\sqrt{2}$ ó $ln(2)$ son números normales. Aunque se cree firmemente que lo son todavía no se ha podido demostrar ni refutar este hecho.

También existe, como en todos estos temas, una conjetura que de ser cierta sería un resultado ciertamente fuerte. EN este caso es la siguiente:

Todo número irracional algebraico es normal.

No se ha podido encontrar ningún contraejemplo de esta sentencia, pero tampoco se conoce ningún número irracional algebraico que sea normal. Si esta conjetura fuera cierta tendríamos de añadido que $\sqrt{2}$ es normal, al ser un número irracional algebraico.

Y para terminar os dejo un resultado sobre números normales relacionado con el análisis matemático:

Un número $x$ es normal en base $b$ si y sólo si

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2 \pi i m b^k x}=0}$ , $\forall m\in\mathbb{Z}$ , $m\geq1$

Fuentes:

Normal number en la Wikipedia (inglés)
Las matemáticas de Oz, de Clifford A. Pickover
Constante de Chaitin en la Wikipedia (español)

Escrito por ^DiAmOnD^, 17 de Marzo de 2008 en Curiosidades, Pi

13 comentarios

Trackback para este post

gabriel - 17 de Marzo de 2008 9:47

Muy buena entrada, aunque sabia lo que era un numero normal no conocía la definición más formal. Por cierto, pareceré lelo pero: ¿que quiere decir concatenando?
Omar-P - 17 de Marzo de 2008 13:47

Concatenando significa la acción de concatenar: Unir o enlazar 2 o más cosas. En este caso las cosas son números.
Guille - 17 de Marzo de 2008 15:32

Hace un tiempo se me ocurrió hacer un programa, muy simple que, a partir de un fichero en el que se habían generado unos pocos cientos de miles de dígitos de $\pi$ , contara cuantas veces aparecían los números del 0 al 9.

Esto no fue más que, sin yo saberlo, preguntarme si $\Pi$ es o no un número normal.

Curiosamente, indagué un poco por internet y ví que ya lo habían pensado hace mucho tiempo y que parece ser (como se dice en la entrada) que aparecen todos los números las mismas veces.
Domingo H.A. - 17 de Marzo de 2008 16:57

Aunque no he leido el post en detalle aún, he encontrado lo siguiente al respecto del número de Sierpinski:

http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6V1G-44NM184-1F&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=0fce71e6b935c2c7fdb5405bb0258ced

http://publicaciones.dc.uba.ar/Publications/2002/BF02/absnor.pdf

Se comenta la construcción que hizo Sierpinski.
Toro Sentado - 18 de Marzo de 2008 0:02

Estaría bien poder ver alguna de las demostraciones de normalidad, al menos aunque sea de una forma simplificada o para dummies si es posible.
No consigo imaginarme como ha podido demostrarse que un número no computable como la constante de Chaitin es normal.
miquel angel amengual - 18 de Marzo de 2008 1:26

Acerca del resultado sobre números normales relacionado con el análisis matemático,

Un número x es normal en base b si y sólo si

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2 \pi i m b^k x}=0}, \forall m\in\mathbb{Z}, m\geq1$

la fórmula puede representarse gràficamente cada sumando sobre una circunferència?

Me recueda la transformada de Fourier
JuanPablo - 18 de Marzo de 2008 16:13

Me parece que la parte “número normal es un número real cuyos dígitos, en cualquier base,…” es confusa. Dado un número, normal en base B, no siempre es normal en otra base C (había una condición, que no recuerdo bien, que dependía de los logaritmos de las bases).

Un extra más divertido e interesante: Markelo mandó una sucesión a la enciclopedia online (y la aceptaron) basada en el problema de hallar primos dentro del Champernowne!
miguel - 22 de Marzo de 2008 4:15

La constante de Copeland-Ërdos es trascendente?
Agustín Morales - 23 de Marzo de 2008 16:52

Muy interesante. Queda claro entonces que un número normal lo que sigue es una distribución uniforme.
El punto 2 del post, dice que un número normal ha de ser necesariamente irracional. No veo yo que sea así, al contrario veo que puede haber infinitos números racionales que sean normales.
Corregidme si me equivoco. Un ejemplo para base 10:

12345678900000000000/9999999999
^DiAmOnD^ - 23 de Marzo de 2008 17:16

Agustín cada dígito tiene la misma probabilidad de aparecer, cada pareja de dígitos tiene la misma probabilidad, cada terna también, etc. Por tanto un número racional no puede ser normal ya que ese número tendrá un período y por tanto no todos los patrones aparecerán.

Por ejemplo, imagínate que el período del número tiene $k$ dígitos. Entonces ya no sabríamos nada sobre la aparición de los conjuntos de $late k+1$ números.

Espero haberme explicado
Agustín Morales - 23 de Marzo de 2008 17:42

Gracias Diamond. Llevas razón. Deben aparecer todos los subconjuntos de N de cualquier tamaño, con igual probabilidad. Queda claro.
Gaussianos » Graves confusiones sobre el número Pi - 17 de Junio de 2008 4:42

[...] números que cumplen eso se denominan números normales y, aunque se cree firmemente que lo es, todavía no se ha conseguido demostrar. Podemos, por otro [...]
Nicolas - 17 de Junio de 2008 5:05

¿Todo número normal tiene a todos los números normales con igual probabilidad?

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