Números algebraicos y trascendentes. Los 15 números trascendentes más famosos

Los números reales pueden subdividirse en conjuntos según muchos criterios de clasificación. En la entrada de hoy vamos a hablar de la subdivisión en números algebraicos y números trascendentes.

Los número algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vista de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son algebraicos, ya que si $r= \textstyle{\frac{p}{q}}$ es un número racional (por tanto $p,q\in\mathbb{Z}$ ), entonces $r$ es solución de la ecuación polinómica $q \; x -p=0$ .

Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional $\sqrt{2}$ es algebraico. Basta ver que es solución de la ecuación polinómica $x^2-2=0$ para darse cuenta de ello. Lo mismo ocurre con, por ejemplo, $\sqrt[3]{3}$ , que es solución de $x^3-3=0$ . Y con muchos más números irracionales.

Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Por lo que hemos visto antes todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Como ejemplos más representativos de este conjunto numérico tenemos al número $\pi$ y al número $e$ .

Viendo que en primera instancia es mucho más sencillo encontrar números algebraicos que números trascendentes uno podría pensar que hay muchos más del primer tipo que del segundo. Nada más lejos de la realidad. El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, es decir, tiene infinitos elementos pero podemos contarlos, mientras que el conjunto de los números trascendentes es infinito no numerable, esto es, también tiene infinitos elementos pero no los podemos contar. Conclusión: hay muchos más números reales trascendentes que algebraicos.

A la vista de este hecho no se entiende demasiado bien que sea tan complicado encontrar números trascendentes, pero la realidad es esa. Demostrar que un cierto número real es trascendente suele ser bastante complicado. El primero que lo consiguió fue Liouville demostrando que el número

$\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}$

es trascendente. Más adelante Hermite demostró que el número $e$ es trascendente y posteriormente Lindemann hizo lo propio con el número $\pi$ .

Dada la dificultad que tiene encontrar números trascendentes os dejo una lista con los 15 números trascendentes más famosos. Para algunos no existe demostración, pero se cree con gran firmeza que lo son:

$\pi$
$e$
Constante de Euler-Mascheroni: $\gamma = 0,577215 \dots$ (no demostrado)
Constante de Catalan: $G= \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \textstyle{\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}}}$ (no demostrado)
Constante de Liouville: $\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}$
Constante de Chaitin: $\omega$ (que además es no computable)
Número de Chapernowne: $0,12345678910111213 \ldots$
Ciertos valores de la función $\zeta$ de Riemann, como $\zeta (3)$
$ln(2)$
El número de Hilbert: $2^{\sqrt{2}}$
$e^{\pi}$
$\pi^e$ (no demostrado)
El número de Morse-Thue: $0,01101001 \ldots$
$i^i= 0,207879576 \ldots$
Los números de Feigenbaum (no demostrado):

$\begin{matrix} \delta = 4.66920160910299067185320382 \ldots \\ \alpha = 2.502907875095892822283902873218 \ldots \end{matrix}$

En relación con los números trascendentes tenemos un resultado muy interesante probado de forma independiente por Alexandr Gelfond y Theodor Schneider:

Teorema: (de Gelfond-Schneider)

Si $\alpha$ y $\beta$ son números complejos algebraicos, $\alpha \ne 0,1$ , y $\beta$ no es racional, entonces $\alpha^{\beta}$ es trascendente.

Este teorema nos ayuda a demostrar que, por ejemplo, $e^{\pi}$ es trascendente (¿cómo?).

¿Conocéis otros números trascendentes interesantes que no aparezcan en esta lista? Por otra parte, no sé cuánto hace que Clifford Pickover realizó la misma, por lo que puede que se haya avanzado en la demostración de la trascendencia de alguno de los que hemos comentado que no la tenían. Si sabéis algo del tema os agradecería que dejarais un comentario.

Fuentes:

The 15 most famous trascendental numbers.
Sucesión de Thue-Morse en la Wikipedia (es español).
Números de Feigenbaum en la Wikipedia (en español).

P.D.: Qué raro que en la lista no aparezca el número de Cöpeland-Ërdos: $0,235711131719 \ldots$ teniendo en cuenta lo curiosa que es su construcción.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de January de 2009
Categorías: Curiosidades, Otras constantes, Pi, Teoremas | Imprime este post

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Trackback | 19 Jan, 2009

Bitacoras.com
Naka Cristo | 19 de January de 2009 | 10:02

En la Constante de Catalan has puesto mal el $\LaTeX$ , has puesto “:” en vez de “_”

Me asustó un poco ver $0^\infty$
^DiAmOnD^ | 19 de January de 2009 | 12:01

Ups, qué error. La que se lía por cambiar un _ por un : . Gracias Naka Cristo.
Tobar | 19 de January de 2009 | 14:45

$\Gamma\left(\frac{1}{3}\right) y \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)$ de la funcion gamma, tambien son trascendentes.

Los valores de α y β no se restringen sólo a números reales; se admiten todos los números complejos. es una geralizacion del septimo problema de hilbert.
Fabián | 19 de January de 2009 | 21:25

$e^{\pi}$ es transcendente, ya que $e^{\pi} = (e^{i\pi})^{-i}=(-1)^{-i}$ . Usando el Teorema de Gelfond-Schneider, con $\beta=-i$ , que no es racional a todas luces, y con $\alpha=-1$ .

Saludos
^DiAmOnD^ | 20 de January de 2009 | 02:47

Exacto Fabián. Te he editado el comentario para poner bien el código $\LaTeX$ . Te faltaba la palabra latex después del primer $ en cada fórmula.
Jose | 22 de January de 2009 | 12:04

Perdonad mi ignorancia, pero hay algo que no comprendo. Por lo que habéis puesto del teorema de Gelfond-Schneider sería claro que que $\pi^e$ es transcendente, ¿No? $\pi \neq 0, 1$ , y $e$ no es racional. ¿Esto estaría bien? ¿O es que he interpretado mal el teorema?
Tobar | 22 de January de 2009 | 14:22

jose, ya esta. lo dijiste bien, $e$ y pi, cumplen con lo propuesto, pi es diferente de 0.1 y e no es racional es decir irracional.
Jose | 22 de January de 2009 | 14:28

Pero si está bien lo que he dicho, ¿Por qué en la lista de números trascendentes que se ha dado arriba aparece que $\pi^e$ no está demostrado que lo sea? Supongo entonces que ha sido un error al hacer la lista, ¿No?
^DiAmOnD^ | 22 de January de 2009 | 16:25

Jose no, no se puede demostrar a partir de este teorema ya que $\pi$ no es algebraico, condición indispensable para aplicar el teorema. En el caso de $e^{\pi}$ sí puede aplicarse, pero no porque $e$ sea algebraico. Echa un ojo a este comentario de Fabian.
Jose | 22 de January de 2009 | 17:32

Ah! Es verdad, no me había dado cuenta de que $\alpha$ y $\beta$ tienen que ser algebraicos. Eso era lo que fallaba y no me cuadraba en todo el asunto.

Gracias por la aclaración!
miguel | 25 de January de 2009 | 16:49

cierto, no es raiz de un polinomio
Tobar | 25 de January de 2009 | 17:03

me surgio una duda… . cual es la solucion de $x-\pi=0$ acaso no es $\pi$ , y si es $\pi$ entonces es algebraico. pueden aclararme un poco ?. gracias.
^DiAmOnD^ | 25 de January de 2009 | 19:52

Leyendo el post:

Los números algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales.

El número $\pi$ no es racional.