Números irracionales cebra

Los números irracionales son los números reales que no pueden expresarse en forma de fracción. Por tanto estos números tienen infinitos decimales en los cuales no hay un patrón que se repita indefinidamente. A partir de esta definición uno podría pensar que por norma general un número irracional no presentaría patrones de tipo racional en sus, digamos, cien primeros dígitos. Si consideráramos esos supuestos patrones como rayas los números irracionales que tuvieran esa propiedad serían los que denominaríamos números irracionales cebra.

Pues los hay, claro que sí. Vamos a ver algunos de ellos:

\sqrt[3]{\cfrac{7^3 \cdot 10^{51} +7^5}{11^3}}

cuyo desarrollo es el siguiente:

\begin{matrix} 63636363636363636, \\ 36363636363636363636363636363636 \\ 46 \\ 757575757575757575757575757575757575757575757575 \\ 587 \\ 80808080808080808080808080808080808080808080808 \\ 5429534231200897867564534231200897867564534231200746900086045641 \ldots \end{matrix}

y continúa sin presentar ningún otro patrón más en los siguientes dígitos.

\sqrt{\cfrac{9}{169} \cdot 100^{199} + \cfrac{38 - 17 \cdot 199}{169}}

en cuyo desarrollo se repiten los patrones 230769, 410256, 213675, 296, 590693257359924026 y 914529. Como el plugin de \LaTeX no lo coge entero os dejo parte del número:

2307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\ 30769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769\
2307692307692307692307692307692307692307692307692,30769230769230769230769230769\
230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769\
230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769\
23076923076880192307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692267845352564102564102564102564102564102564102564102564102564102564\
102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564\
102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564\
102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564\
102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564\
102564102564102564028515177617521367521367521367521367521367521367521367521367\
521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367\
521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367\
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521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367\
521367521367521367521367349358039460358796296296296296296296296296296296296296\
296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296\
296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296\
296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296\
296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296\
296296296296296296296296296295848784960867828340159069325735992402659069325735\
992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402\
659069325735992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402659069\
325735992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402659069325735\
992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402\
659069325735992402659069325735992401411631478229137974926549145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145295502483621567819214350213427904400126\
622348844571066793289015511237733459955682177904400126622348844571066793289015\
511237733459955682177904400126622348844571066793289015511237733459955682177904\
400126622348844571066793289015511237733459955682177904400126622348844571066793\
289015511237733459955682177904400126622348844571066793289015511237733459955682\
177904400126622348844571066793289015511237733448955138216136572710142188954230\
060277513981217684921388625092328796032499736203439907143610847314551018254721\
958425662129365833069536773240476944180647884351588055291758995462699166402870\
106573810277513981217684921388625092328796032499736203439907143610847314551018\
254721958425662129365833069536773240476944180647884351588055291758995462699166\
402870106573810277513981217684921388625092328796032465665074224987344807026819\
335100970652266305558486628445476182101696504988686058644906381531895…

Otro irracional cebra es el siguiente:

\sqrt{\cfrac{9}{64} \cdot 100^(155)+\cfrac{92-22 \cdot 155}{64}}

en cuyo desarrollo podemos ver repeticiones de 9, 6, 2, 1481 y 209876543 entre otros. Éste tampoco lo coge entero el plugin de \LaTeX. Os dejo parte del número:

37499999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
9,99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999308\
749999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999993628979\
166666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666\
666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666\
666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666\
666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666549227515972\
222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222\
222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222\
222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222\
222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222219516228458304398\
148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148\
148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148\
148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148148\
148148148148148148148148148148148148148148148148148148148078315469080642168209\
876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543\
209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876\
543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209876543209\
876543209876543209876543209876543209876543209876543207945669633660002864583333\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\
333333333333333333333333333333333333333333333333277402362075594214664673353909\
465020576131687242798353909465020576131687242798353909465020576131687242798353\
909465020576131687242798353909465020576131687242798353909465020576131687242798\
353909465020576131687242798353909465020576131687242798353909465020576131687242\
798353909465020576131687242798353909465020574456321607915493392344201442472565\
157750342935528120713305898491083676268861454046639231824417009602194787379972\
565157750342935528120713305898491083676268861454046639231824417009602194787379\
972565157750342935528120713305898491083676268861454046639231824417009602194787\
379972565157750342935528120713305898491032205313523108387418797769921815462581\
92348727328151196463953665599756134735558603871361073007…

Y los que a mí me parecen más sorprendentes, los generados por la siguiente fórmula:

f(n)= \sqrt{\cfrac{9}{121} \cdot 100^n+\cfrac{112-44 \cdot n}{121}}

Por ejemplo, f(30) es así en sus primeras cifras:

\begin{matrix} 272727272727272727272727272727, \\ 2727272727272727272727272727 \\ 08 \\ 969696969696969696969696969696969696969696969696969696969 \\ 08 \\ 280134 \\ 680134680134680134680134680134680134680134680134 \\ 676012928095772 \ldots \end{matrix}

Aumentando el valor de n encontramos números cada vez más increíbles.

Os animo desde aquí a que intentéis encontrar números irracionales cebra distintos a éstos. Y si puede ser alguna fórmula para generarlos como la anterior mucho mejor.

Fuente: Las Matemáticas de Oz, de Clifford A. Pickover

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191 comentarios

  1. robiño | 3 de marzo de 2008 | 11:44

    Vótalo Thumb up 0

    Si r es racional periódico y \alpha es irracional, el número r+\cfrac{\alpha}{10^n} sería uno de esos números, pues cambiamos la expresión decimal sólo a partir del dígito n-1.

  2. Asier | 3 de marzo de 2008 | 11:56

    Vótalo Thumb up 0

    Así es, robiño, concretamente r puede ser la suma de distintos racionales no periódicos, con lo cual obtenemos los distintos patrones que queramos y con los dígitos que queramos.

  3. mangu | 3 de marzo de 2008 | 16:04

    Vótalo Thumb up 0

    No soy matematico xD, pero puesto que los numeros irracionales tienen infinitos decimales, se supone que TODOS los patrones posibles se repetiran en los decimales alguna vez ¿no?

    Entonces podriamos decir que cualquier numero irracional tiene infinitos patrones cebra en sus decimales :)

    Es mas, podemos decir que en cualquiera de ellos se repite la secuencia de numeros equivalentes al codigo ascii de “El Quijote” cien veces seguidas, jejeje… Que majo el infinito :)

    Aun asi, muy ilustrativos los ejemplos xD

    Salu2

  4. mangu | 3 de marzo de 2008 | 16:07

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    …por supuesto ya se que el caso se refiere a los 100 primeros digitos… ;)

    Aun asi, si fuera posible encontrar una funcion para que los 10000 primero digitos por ejemplo fueran unos determinados, seria un sistema estupendo de compresion de datos…

    Claro que seguramente la formula fuera mas larga que los propios datos xD

    Salu2

  5. TEILLU | 3 de marzo de 2008 | 16:09

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    “Os animo desde aquí a que intentéis encontrar números irracionales cebra distintos a éstos. Y si puede ser alguna fórmula para generarlos como la anterior mucho mejor.”

    jeje Pues no pides nada… :P

    De todos modos, siempre son curiosos estos “divertimentos” matemáticos!

  6. Asier | 3 de marzo de 2008 | 17:27

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    mangu, el que un número irracional tenga infinitos decimales no es garantía de que un patrón vaya a aparecer. Si el número es normal (dígitos equiprobables) aparecerá pero si no, no tenemos la garantía.

  7. nisti2 | 3 de marzo de 2008 | 17:48

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    me sorprende ver tantos numeros!!

  8. robiño | 3 de marzo de 2008 | 17:48

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    mangu lleva razón. Al tratarse de un número irracional, cualquier cadena de dígitos que se imagine (por ejemplo cien veces el texto de El Quijote en binario) aparecerá en un momento dado.

  9. mangu | 3 de marzo de 2008 | 17:51

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    Se supone que si son infinitos, habra infinitas combinaciones, y un patron por raro y poco probable que sea siempre aparecera en un numero infinito de posibilidades…

    Otra cosa es que los decimales no incluyan alguna cifra nunca, o que sea siempre un mismo patron repitiendose, pero entonces creo que ya no seria irracional, ¿no?

    Salu2

  10. Asier | 3 de marzo de 2008 | 18:38

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    robiño, mangu: el número 0,101001000100001000001… es irracional pero nunca vais a encontrar 11 en los decimales.

  11. dorwinrin | 3 de marzo de 2008 | 18:43

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    En realidad, que un número tenga infinitas cifras no significa en absoluto que contenga todos los patrones posibles de ellas. Son cosas diferentes.

    Por ejemplo, 0,12034005600078000090000012000000340000000… es un número irracional de infinitas cifras en el que jamás encontraremos secuencias de más de dos cifras distintas de cero.

    Cuando una ecuación tiene infinitas soluciones eso no significa que cualquier número que se nos ocurra sea automáticamente solución.

    O, simplificando mucho, aunque tuviéramos un conjunto de infinitas monedas europeas NUNCA encontraríamos un dólar en ellas.

  12. Julian | 3 de marzo de 2008 | 18:51

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    un numero es racional SI Y SOLO su desarrollo decimal es periodico a partir de un cierto rango. i.e \alpha = \frac{a}{b} con a y b enteros
    Asier tiene razon: el número 0,101001000100001000001… no solamente es irracional, es mucho peor: es trascendente.
    Saludos

  13. mangu | 3 de marzo de 2008 | 19:41

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    Esos casos no dejan de tener un patron, yo me referia a los que no lo tienen, como digo mas arriba…Digitos equiprobables com odice Asier…

    Me parecia divertido que en estos numeros se repitiera cualquier patron (obviamente no los 100 primeros digitos) infinitamente, por lo que podemos decir que cualquier patron, sean digitos “cebra”, o incluso los decimales (¿completos? xD) de otro numero racional de cualquier tipo incluso transcendente (pi, por ejemplo) aparezcan en los decimales de uno solo xD

    ¿Es correcto decir que un numero de decimales infinito contenga una secuencia infinita de numeros?

    Eso si, se agradece la explicacion ;)

  14. mangu | 3 de marzo de 2008 | 19:45

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    …O dicho de otra manera…
    (Ya he dicho que no soy matematico xD)

    ¿Es correcto decir que entre los infinitos decimales de “e” estan incluidos en orden correcto los infinitos decimales de “pi”?

    Quizas es rizar el rizo, no se xD
    Sobre la teoria matematica en lo que respecta al infinito y los irracionales no se mucho, pero parece cuanto menos divertido.

    SAlu2

  15. Sebax | 3 de marzo de 2008 | 19:52

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    jaja, tranky muchachos, tomen un café, pero por un rato dejen de pensar..

  16. Domingo H.A. | 3 de marzo de 2008 | 20:55

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    mangu, aunque no ibas mal encaminado, hay que precisar un poco las cosas ya que no valen cadenas infinitas de dígitos. Lo que sí se puede probar (y no es difícil) es lo siguiente:

    “En [0,1) (o en \mathbb{R}) existe un subconjunto E de medida nula, de tal modo que para cada x\in [0,1)\setminus E y para cada n\in\mathbb{N}, el desarrollo decimal del número x contiene todas las 10^n secuencias que se pueden formar con n dígitos.”

    Y para dichos números sí se puede encontrar el Quijote entero las veces seguidas que quieras (en cantidad finita)

  17. Agustín Morales | 3 de marzo de 2008 | 21:08

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    Una cuestión interesante: Sabemos que si los decimales de PI siguieran una distribución normal, podríamos afirmar que cualquier combinación de digitos aparecerá PERO ¿es cierta la inversa? es decir, si PI tiene cualquier secuencia de dígitos en sus infinitos decimales, ¿ha de seguir necesariamente una distribución normal?

  18. Claudio | 3 de marzo de 2008 | 21:21

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    En una sucesión de números puramente aleatoria, el número de veces que aparece cada dígito debe ser regular.

    Si encontráramos un dígito que se repitiera más que los otros en una magnitud apreciable, ya no sería puramente aleatoria.

  19. Asier | 3 de marzo de 2008 | 21:36

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    La inversa no es cierta, Agustín. Imagina un número irracional construido de la siguiente manera: desde n = 1 hasta infinito, los decimales van a ser éstos: las 10^n secuencias que se pueden formar con n dígitos seguidos de n \cdot 10^n ceros. Este número irracional contiene cualquier secuencia de dígitos pero la probabildad del cero es mayor de 0,5.

  20. oscar | 3 de marzo de 2008 | 22:47

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    Está interesante el tema pero quisiera colar un paréntesis.

    Me llama la atención lo sensibles que somos a la apariencia de las cosas, como a la apariencia de un número, por ejemplo. Quiero decir que un número en base 10 tiene una apariencia, pero en otra base menos antropomórfica que la 10 (o menos chauvinista, que diría Sagan), puede tener otra muy distinta, o bien sosísima o bien maravillosa.

    Como el culto a las apariencias no me gusta nada, y me disgusta que nos valoremos en función del logotipo que llevemos cosido en la gorra, reivindico amigablemente que recordemos que existe una diferencia entre “cantidad” y “número”. Los números son los vestiditos que las cantidades se ponen para que podamos verlas guapas y enamorarnos de ellas (¡y lo consiguen!), pero digo yo que lo importante es lo que va debajo (la cantidad), el vestidito se lo puede llevar el viento (qué más quisieras, pillín). Pi en base 10 no es menos Pi que Pi en base 2 o que Pi en base Pi… ¿qué estoy diciendo? Me pierdo. Bueno, ahí queda este pensamiento aleatorio.

    Por ejemplo, la ecuación de antes:
    \sqrt [3]{{\frac {{7}^{3}{10}^{51}+{7}^{5}}{{11}^{3}}}}

    Se pone este otro traje al verla en base 4:

    02332310033100331003310032121111300233000233302000022102000213213302031312200102002312130302112331331
    0332333310301303310130333230303030213101113102001023021033100210131

    que también tiene su elegancia, ¿no os parece?

  21. Benet | 3 de marzo de 2008 | 22:48

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    Cuidado, Agustin y Asier. Supongo que cuando os referis a a una distribución “normal”, deberíais decir una distribución “uniforme”, ¿no?. Si cada posible decimal de “pi” o de “e” tienen la misma probabilidad de aparecer, entonces siguen una distribución uniforme, no normal.

  22. Asier | 3 de marzo de 2008 | 23:44

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    Oscar, creo que vas a disfrutar con este artículo de Tío Petros, si es que no lo conocías ya:
    http://tiopetrus.blogia.com/2006/110601-el-zoo-de-las-bases-de-numeracion.php

    Benet, efectivamente nos referimos a una distribución uniforme. He buscado y al parecer en castellano ‘normal’ no tiene esa acepción y creo que la usamos tomada del inglés, donde ‘normal number’ sí significa ‘número real con distribución uniforme de sus dígitos’:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number

  23. Omar-P | 4 de marzo de 2008 | 00:14

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    En base infinita los números tienen un dígito.

  24. Trackback | 4 mar, 2008

    Y digo yo… » http://gaussianos.com/numeros-irracionales-cebra/

  25. Manuel | 4 de marzo de 2008 | 10:47

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    Pero… esto depende de la base de representación, ¿no? ¿Se puede asegurar que un “número cebra” en base 10, lo es también en base 3, 6, 17, o cualquiera?

  26. oscar | 4 de marzo de 2008 | 19:13

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    Delicioso el paseo con el tío petros. Le conocía por el libro, pero no sabía lo del blog. Creo que una vida no es suficiente para disfrutar de todo esto.

    Por cierto, aprovecho para una consulta: un amigo mío aeronáutico, muy forofo de la física y de toda ciencia “aplicada” dice que esto de emocionarse con los números es perder el tiempo, porque no es “real”, lo ve como inventarse sudokus para luego entretenerse con las propiedades artificiales que de ellos se deriven.

    Como yo tampoco sé mucho del tema, no sé explicarle la razón de qué a mí sí mi parezca interesante, quizá debido a que mi asombro procede de mi ignorancia. Siento como si las matemáticas (o la teoría de números, más concretamente), aún siendo poco aplicables en la realidad, nos hablan de algo profundo, son como las reglas básicas del juego del universo. Pero él no lo cree así. ¿Tiene razón? ¿Qué le diríais?

  27. Agustín Morales | 4 de marzo de 2008 | 19:55

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    Gracias Asier por la respuesta y a Benet por la aclaración. Para Oscar, en mi modesta opinión, creo que se plantea una cuestión filosófica difícil de contestar… y me recuerda una anécdota del genial ajedrecista Alekhine. Estando reunido con algunos colegas suyos en Buenos Aires dijo que su vida había sido una frustración a lo que el Gran Maestro Roberto Grau replicó:
    - Pero, maestro, usted es campeón del mundo.
    - Si, asi es, pero el ajedrez es solo un juego.

    La inmediata sería decir que la matemática sí tiene aplicaciones importantes, que incluso la Teoría de números tiene aplicaciones en la criptografía… pero me pregunto ¿fue el sentido de lo útil lo que recluyo a Wiles durante ocho años intentando demostrar la conjetura de Fermat? ¿O lo que recluyó a Grigori Perelman? Por no citar a otros miles de matemáticos o aficionados, realmente, ¿Que nos reúne aqui en este foro? Dejo abierta la cuestión.

  28. Omar-P | 4 de marzo de 2008 | 21:35

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    Oscar, desde que el hombre es hombre siempre ha tratado de comprender como funciona el universo. Para ello ha utilizado su más preciada creación intelectual, que es la ciencia y su método. Con la tecnología podemos construir cosas muy útiles para la vida cotidiana, pero no puede existir progreso tecncológico si no existe la ciencia aplicada. Las ciencias aplicadas se apoyan y se nutren de las ciencias básicas. Sin ciencia básica no hay ciencia aplicada. Sabemos también que las ciencias en general se apoyan en los modelos que funcionan gracias a la matemática y la reina de la matemática es la teoría de números.
    La conclusión que podemos sacar entonces es que cualquier nuevo descubrimiento relacionado con la teoría de números puede repercutir en todas las áreas de la matemática, de las ciencias en general y en todo conocimiento humano.
    Ahora puedes hacerle a tu amigo las siguientes preguntas ¿Podría existir un universo sin números? ¿Acaso hay algo que sea más básico?

  29. Omar-P | 5 de marzo de 2008 | 23:52

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    Agustín Morales, creo que podríamos recordar una frase de C.G.J. Jacobi en una carta enviada a Legrenge en julio de 1830:
    “La finalidad única de la ciencia es la de rendir honor al espíritu humano”.

  30. maximo | 10 de marzo de 2008 | 14:24

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    hola

  31. Sive | 12 de marzo de 2008 | 14:52

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    Oscar también podrías hablarle a tu amigo aeronáutico el uso cotidiano (e impagable) que se da actualmente en internet a algunos de esos juegos con números que eran aparentemente inútiles hace nada, y que nos han proporcionado privacidad en nuestras comunicaciones, seguridad en las transacciones online, firmas digitales…

    ¡Pero si se saca provecho hasta de los problemas matemáticos imposibles de resolver!

  32. lucia | 13 de marzo de 2008 | 00:22

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    hola tengo un problema y espero que alguno de ustedes pueda ayudarme
    resulta que devido a circunstancias irrevelables tengo que hacer un curso de geometria ecuclidea II, pero nunca hice el curso de la I… supongo que ya se imaginan el resultado…
    estoy intentando hacer el primer practico y mi duda es la siguiente:
    estamos operando con segmentos (suma y multiplicacion por un racional)y tengo que “demostrar” la propidad distributiva, tan conocida por todos:
    si A es un segmento, x, y pertenecen a los racionales y son positivos, entonces:

    (x+y)A = xA + yA

    alguien podria decirme como se “demuestra” esta propiedad aparentemente tan “facil”

  33. Belen | 14 de marzo de 2008 | 19:58

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    Hola Óscar,

    Dile a tu amigo aeronáutico que puesto a hablar de la inutilidad de los números, que piense en los números complejos y en cómo se hubiera sacado esa carrera sin ellos (a saber, Circuitos de segundo, Aerodinámica de tercero).

    Yo lo veo así. Las matemáticas son a la ingeniería como la geografía a la minería. Te dice cómo es el universo y la ingeniería lo explota y lo aprovecha, la parte que sabe o que le interesa.

    Saludos!
    (otra aeronáutica, por cierto)

  34. Trackback | 17 mar, 2008

    Gaussianos » Número normal

  35. Omar-P | 30 de marzo de 2008 | 16:50

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    El número n en base n es 10.

  36. kateherin | 18 de septiembre de 2008 | 01:35

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    Los Numeros inrracionales, son numeros reales.

  37. Laura | 20 de septiembre de 2008 | 12:28

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    Buenas! Pues la verdad es que me custan bastante las mates así, que bueno l verdad esk tengo una duda:

    Si multiplicamos dos números irraccionales, obtendremos un número raccional?

    espero tener respuesta.

    :) !!! Dw!

  38. marya | 5 de octubre de 2008 | 21:32

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    ¿existen solamente raices cubicas y cuadradas en el cojunto de los numeros irracionales?

  39. Pablo | 23 de octubre de 2008 | 22:17

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    Hola, encontré la página buscando algo acerca de la repetibilidad y demás de los decimales en los números racionales. Muy buenos los cuestionamientos que plantean, siempre hay lugar en la cabeza para más dudas !

    Con respecto a la consulta de Laura, la respuesta es no necesariamente, dado que raíz cuarta de 2 por raíz cuarta de 2 es raíz cuadrada de 2, irracional.

    Esta es sólo una solución particular, quizás alguien pueda presentar una solución general a la pregunta.

    Nota: La raíz cuarta de 2 es irracional, se demuestra de igual forma que para la raíz de 2: http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada_de_2

    Perdón por no poner las fórmulas con la simbología adecuada, es que no sé como hacerlo.

    Saludos.

    Pablo.

  40. leopolda | 9 de noviembre de 2008 | 14:56

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    hola si multiplicamos dos numeros de esos tedara igual o si multiplicamos tres de esos iguales te ira a dar uno distinto a un irracional¿

  41. juan | 22 de enero de 2009 | 22:25

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    si raiz de 2 es un numero irracional y por tanto tiene infinitos decimales y la encontramos que en un cuadrado de uno por uno pero esta es mi pregunta si es infinito raiz de dos entonces por que la diagonal es finita.

  42. juan | 22 de enero de 2009 | 22:34

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    si raiz de dos es un numero infinito entonces por que la diagonal de un cuadrado de lados uno por uno es finito.

  43. josé antonio | 25 de enero de 2009 | 12:02

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    Los aficionados a las matemáticas, no confundirlos con los matemáticos, que parece ser que no existen, no han encontrado una definición del concepto “NÚMERO”, lo que es patético, pues las matemáticas, arimética y espaciometría,
    son la ciencia de la verdad, basada en la exactitud de la espaciometría, (metrica en el espacio), son “la ciencia reina de las ciencias” según un supuesto famoso matemático, para mi un santón de las matemáticas.
    El concepto número es muy fácil de definir “es un concepto inmaterial y el único concepto en el que sus elementos, los números se pueden multiplicar por si mismos y por otros números, siendo el resultado de la multiplicación también un elemento del mismo concepto, “un número”; en la multiplicación espaciométrica, se precisan al menos dos longitudes que delimitan un ángulo cuyo seno es el tercer factor y el resultado no es ni una longitud ni un ángulo, es una superficie.
    Elejida una base de numeración los números se pueden clasificar en tres grupos :
    A) Los que mediante los símbolos de la base se pueden esribir y sumar, en base diez, los enteros y los decimales exactos, como los números “7″, “2,23″ etc, 7 + 2,23 = 9,23
    B) Los que no se pueden escribir ni sumar con los símbolos de la base, como el número “raíz cuadrada de 2″ y “raíz cúadrda de 3″; es evidente que : raíz cuadrada de 2 + raíz cúadrada de 3 = es número imposible de escribir en base diez?
    C) Los que son cocientes de números decimales pero no se pueden escribir con los símbolos de la base, como 3/11 y 2/11, pero se pueden sumar, pudiendo ser su suma un número en base diez, es evidente que 3/11 + 2/11 = 5/11 y si le sumamos 6/11 obtenemos : 5/11 + 6/11 = 1.
    Las demás clasificaciones carecen de rigor científico, pues decir que raíz cúbica de tres es irracional y no natural es absurdo, pues si un cubo de tres metros cúbicos de volumen es un volumen natural sus aristas también lo son y el número que las cuantifica, raíz cúbica de 3, también.
    Las florituras con los símbolos de los números sirven para hacer gimnasia mental y entretener, pero lo fundamental de las matemáticas es desarrollarlas con teoremas que siempre son además útiles para otras ciencias, pues todas necesitan, para su progreso, además de medios materiales y de inteligencia, la ayuda de las matemáticas.

  44. josé antonio | 26 de enero de 2009 | 21:08

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    Las matemáticas no son una religión, sin embargo se desarrollan como si lo fueran; se utilizan conceptos que se admiten como matemáticos y no son otra cosa que dogmas impuestos por santones de las matematicas, es evidente para cualquier ser inteligente, que los símbolos de los números no son números, son tiza, carbón, tinta, etc, es decir materia de la que está formada la tierra, en tanto que los números son inmateriales y no tienen forma; los “números negativos”, “números positivos”, y “números imaginarios”, no existen, las longitudes no son conjuntos de puntos, las superficies no son conjuntos de longitudes ni de puntos, los volúmenes tampoco lo son de ninguno de los conceptos anteriores.
    El número es un concepto inmaterial por tanto el que coloquemos delante de su símbolo, el símbolo de la suma o de la resta no le afecta más que lo que le afecta a una persona el colocar el símbolo del adverbio menos delante de su nombre escrito en un folio, sería un milagro y otro mayor aún que poniéndole además el símbolo de la raíz cuadrada, tanto el número como la persona son imaginarios, es decir dejan de existir, claro que con poderes tan asombrosos se vuelve a la vida elevando a la cuarta potencia el dogma anterior.
    los conceptos fundamentales para el estudio de las matemáticas son : “numero”, “volumen”, “superficie”, “longitud”, “punto”y “ángulo”.
    El número es un concepto inmaterial, sin forma, sin dimensiones y, a partir de cero “ilimitado”.
    Antes de definir los otros cinco conceptos definiremos el concepto ESPACIO Y el concepto UNIVERSO, ambos soneternos, no han tenido principio ni tendrán fin, aunque el universo está en constante evolución,el universo es tridimensional está formado por masa y su volumen es limitado, el espacio es inmaterial y carece de límites, todos los puntos son su centro, pues a partir de cualquira de ellos, todas las rectas son ilimitadas
    El volumen, menor que el del espacio es finito, es un concepto continuo en tres dimensiones.
    La superficie es un concepto continuo en dos dimensiones.
    La longitud es un concepto continuo con una sola dimensión.
    El punto es un concepto discontinuo sin dimensiones, esto es evidente y por tanto no hay que demostrarlo; si el punto tuviera alguna dimensión tendría que tener tres y por tanto punto, longitud y superficie serían volumenes y absurdos como conceptos diferntes del toncepto volumen.
    Es evidente que un volumen no es un conjunto de superficies, ni de longitudes, ni de puntos y por tanto una circunferencia no es “un conjunto de puntos que equidistan di uno inerior llamado centro”, lo que si es correcto es decir que “todos los puntos situados en una circunferncia equidistan de un punto llamado centro”, per una línea no es una suma de puntos, son dos conceptos distintos.
    La teoría de conjuntos precisa de una revisión total.
    Los fundamentos del cálculo de derivadas no son ciertos, son falaces, por eso la derivada del seno de un ángulo no es el coseno del mismo ángulo, ni la derivade de “e” elevado a “x” es la misma “e” elevado a “x”.
    Los profesores de matemáticas, normalmente, fueron alumnos y como todos los alumnos creímos que nuestro profesor sabía mucho y no nos mentía, como los seguidores de cualquier religión creen a sus clérigos, pienso que mientras no evolucionemos a seres más inteligentes no debieramos autodefinirnos como Homo Sapiens Sapiens nos bastaría con “Homo religiosus”.
    Será verdad que desde que murió Fermat no ha habido un solo matemçatico, y por tanto las matemáticas están en manos de clérigos de una religión sin dios.

  45. Omar-P | 26 de enero de 2009 | 22:14

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    Creo que tendría que haber una sección dedicada a los disparates.

  46. ^DiAmOnD^ | 26 de enero de 2009 | 22:15

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    Estoy pensando hacer una sección dedicada a ello :D.

  47. Andor | 27 de enero de 2009 | 14:37

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    Estoy bastante de acuerdo con José Antonio, aunque no en todo. Yo todavía estoy esperando alguien que me defina el número 1 sin tener que echar mano de conceptos posteriores a él, es decir, sin utilizar ningún otro número natural ni los conceptos de suma,resta, multiplicación y división. ¿O es qué acaso alguien aprendió antes a sumar o dividir que a contar? y para contar debes tener un punto de partida, ese es el 1. Creo que todos conocemos esa definición de 1 (perdonad mi memoria pero ahora mismo no recuerdo quien fue quien definió el 1 como el primero de los Naturales), pero, ¿No la cumpliría cualquier otro número natural si empezamos a contar desde ese número? ¿Qué lo diferenciaría del 1? o en caso de ser el mismo número, ¿Cómo puede sostenerse la madre de las ciencias sobre un concepto que está definido de manera inexacta o que da lugar a dudas?
    Me gustaría saber si me equivoco o no, y cuanta gente piensa como yo. Si alguien conoce una definición más satisfactoria del número 1 que me la haga saber, por favor.
    PD: Tengo mi propia opinión sobre el tema, pero como es una opinión de momento que aún no he comprobado, me la guardo para mi.

  48. Naka Cristo | 27 de enero de 2009 | 16:50

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    Andor, el conjunto de los naturales \mathbb{N} lo podemos definir axiomáticamente como:
    Para cada elemento existe uno siguiente, n\in\mathbb{N}\rightarrow suc(n)\in\mathbb{N}.
    Existe un elemento que no es sucesor de ningún otro, al cual llamamos 0.
    Podemos hacer inducción, es decir que a partir del 0 podemos llegar a cualquier natural.
    Después definimos la suma haciendo que el 0 sea el neutro, y la multiplicación para que el 1=suc(0) sea su neutro.

    Si quieres empezar a contar desde otro resulta exactamente lo mismo, ya que solamente le estás llamando al primero de otra forma, aunque en ese caso puede que no quieras definir la suma tomando como neutro al primero.

  49. Andor | 28 de enero de 2009 | 16:42

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    Ya conocía esos axiomas, pero siempre es bueno recordarlos. Ahora lanzo una pregunta: ¿Cumpliría estos axiomas una sucesión aritmética cualquiera o incluso la serie de Fibonacci?
    Pongamos por ejemplo la sucesión 0,3,6,9,12…
    Existe un elemento sucesor para cada elemento, puesto que la sucesión es infinita.
    Llamamos 0 al número que no tiene sucesor (en este caso es efectivamente el 0, pero podría no serlo simplemente empezando desde 3).
    Y ahora viene donde veo el mayor error, corregidme si me equivoco, pero hacer inducción es probar algo para 1 (hay que tener en cuenta que en nuestro caso el “1″ sería el 3) y para n+1, tras lo cual se supone cierto para todo n perteneciente a los enteros. Pero ocurre que la suma está definida después, y no antes de este paso, con lo cual la inducción se sostiene sobre un concepto que todavía no está definido. Saltándonos este detalle, sigue perfectamente sosteniéndose la proposición de que nuestra sucesión es igual a los números Naturales.
    Y ahora viene otra cosa curiosa, podemos definir la suma cogiendo el primer término como elemento neutro, que como he explicado antes, era 0 pero podría ser otro, por ejemplo 3. De esta manera tendríamos una suma tan peculiar como 6+3=6, y sería cierto, ya que el elemento neutro es 3.
    Y tendríamos otra multiplicación también muy curiosa, ya que al ser elemento neutro el sucesor del “0″, en el caso de arriba el 6, podríamos construir operaciones del tipo 9×6=9, lo cual es otra burrada.
    Como bien decías arriba, Naka Cristo, se puede definir tomando como elementos 0 y 1 a los dos primeros, pero tendrías problemas a la hora de definir suma, la cual ya has presupesto al hacer inducción.
    Si bien el conjunto resultante sería un conjunto bastante similar a los Naturales, no es el conjunto de los Naturales, y esto me lleva a la conclusión de que debe definirse de una manera menos ambigua el número 1, incluso antes de definir los Naturales, puesto que construyamos el conjunto que construyamos, habremos tomado el 1 como diferencia entre un término y su siguiente, sean cuales sean éstos.
    Este problema viene de que todo el mundo tiene una concepción intuitiva de 1, y por tanto a nadie le parece necesario definirlo. Para cualquier persona que conozca los números Naturales, es evidente que se cumplen los requisitos arriba expuesto, pero quería señalar que hay infinitos conjuntos que también lo cumplen. Para mi hay que hacer un buen lavado de cara a Teoría de Conjuntos, que va de maravilla para los conjuntos finitos, (la informática está basada en ella) pero tiene grandes lagunas cuando se trata de conjuntos infinitos. Me gustaría concluir con una solución satisfactoria a este problema, pero todavía estoy en ello, y aunque es maravillosa, no tengo espacio suficiente en este blog (jajaja). También decir que si alguien logra definir de manera inequívoca el número 1, le estaré muy agradecido.
    PAZ en el Mundo.

  50. Naka Cristo | 28 de enero de 2009 | 17:06

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    Al hacer inducción no estoy usando la suma, sólo que para cada elemento a un sucesor.
    i.e.
    (P(0)\wedge \forall n(P(n)\rightarrow P(suc(n))))\rightarrow \forall n P(n)

    Otra cosa es que cuando luego definimos la suma, convenientemente tomamos n+1=suc(n).

    Y si un conjunto con su función sucesor cumple esas propiedades es equivalente a los naturales.
    Si por ejemplo tienes el conjunto \{a,aa,aaa,aaaa,\dots\} y una función sucesor suc(x)=xa, entonces llamando 0 a a ya tenemos los naturales, por ejemplo con la suma de los naturales obtendríamos cosas como aa+aaa=aaaa.

  51. Andor | 28 de enero de 2009 | 19:36

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    Estoy de acuerdo con lo último que has escrito. Una explicación muy clara, tomo nota.

  52. josé antonio | 28 de enero de 2009 | 20:16

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    ANDOR
    El número uno está definido junto con los demás, la diferncia en cuanto a sus propiedades es que “es el único que es potencia y raíz de si mismo”; por si te puedo aclarar tus dudas, te transcribo la definición que yo hago, pues todo lo que he encontrado para definir el “concepto número” se rduce a que es un “concepto abstracto”.
    Por otra parte hay que eliminar del “concepto número”, al cero y al infinito, estos son conceptos distintos del de “número”.
    Hasta ahora nadie ha encontrado una definición del concepto expresado con la palabra “número”, siendo sus elementos, junto con los del concepto “palabra” dos de los elementos que primero ha usado la mente humana, si bien el número es un descubrimiento (es anterior al hombre) y la palabra es una creación del hombre, por otra parte el número es muy fácil de distinguir entre los innumerables conceptos que manejamos; es más difícil definir el concepto “borrego” que el concepto “número”; el número como concepto es un conjunto de elementos a los que también llamamos números, lo que no parece muy original, (los pastores no llamamos “borrego” a un conjunto de borregos, decimos rebaño); es un concepto inmaterial, sin forma, compuesto por elementos, “los números”, con unas características únicas, que los diferencian de cualquier otro elemento de otros conceptos, materiales o abstractos, “es el único concepto en el que uno cualquiera de sus elementos, un número, se puede multiplicar por si mismo, y por otros números, siendo el resultado de la multiplicación también un número, (un elemento del mismo concepto), es además discontinuo, a partir de cero ilimitado, todos (menos el uno) son potencias y raíces de otros números y no hay dos números iguales”; esta definición es independiente de cualquier base de numeración utilizada.
    Todos los números son naturales, las clasificaciones hechas hasta ahora se han realizado agrupándoles sin base cientifica; es evidente que la diagonal de un cuadrado de un metro de lado es una línea tan natural como los lados, ¿Por qué la diagonal va ser irracional? y si la diagonal mide un metro resulta que los irracionales son los lados.
    Que con los símbolos de cualquiera de las bases de numeración sea imposible identificar a un número no permite clasificarlo como no natural; el problema es del hombre, no del número; quizás los irracionales somos los humanos, no los números.

  53. Andor | 28 de enero de 2009 | 21:14

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    Muchas gracias por la aclaración. Por cierto, ¿alguien podría recomendarme algún libro que trate sobre los Hiperreales, Transfinitos, infinitos, infinitesimales, cuaterniones, octaniones y sedeniones, en definitiva, todos esos conjuntos de números que no explican en el instituto?

  54. Omar-P | 28 de enero de 2009 | 21:25

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    Los disparates, la verbosidad y la charlatanería pueden llegar a confundir a los que recién se inician en el camino de las ciencias y de la matemática.

  55. Andor | 28 de enero de 2009 | 22:07

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    Debo aclarar algo. Ésta pregunta que lancé sobre el número 1 y, en general sobre los números, era para ver si alguien me los describía, ya que la primera no terminaba de convencerme. Como dije arriba, tengo mi propia teoría, que no niega ninguna de las anteriores, sólo las amplía y complementa. Nunca había leído nada parecido a lo que estoy desarrollando, y eso puede deberse a dos motivos: o estoy equivocado, o nadie hasta ahora ha publicado nada al respecto con ese enfoque. El tiempo será el que diga si voy por buen camino o estoy inventando un “disparate”. También debo repetir que estoy de acuerdo con José Antonio sólamente en algunos puntos, no en todos. Que sea nuevo en este blog no significa que sea nuevo en el camino de las ciencias. Por último decir que si propongo dudas en este blog es para que alguien intente solucionarlas, o no, pero no para que se me diga que la charlatanería me ha confundido, estoy seguro de que cualquiera de los que aquí escriben tuvieron dudas más gordas en su momento.
    A Omar-P:
    Dentro de unos 5 años tendré los suficientes conocimientos como para publicar mi teoría en lenguaje matemático y riguroso. No es que la teoría no esté ya “inventada”, es que no la sé escribir en lenguaje matemático. Ya ha habido gente que me ha dicho cosas similares, y yo tengo que callarme por que no sé demostrarlo aún. Cuando esté por escrito y publicada te haré llegar una copia y entonces, si sigo equivocado, pediré disculpas por mi ignorancia (o mejor dicho por las molestias, ya que la ignorancia es algo con lo que todos nacemos). En caso contrario el comprobar que el resto de gente ve como correcta mi teoría será suficiente recompensa.

  56. Naka Cristo | 28 de enero de 2009 | 22:42

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    josé antonio lo que tiene principalmente es un problema de lenguaje. Cuando dice número natural parece que se está refiriendo a números que aparecen en la naturaleza.
    Los números de la naturaleza son los que llamamos en matemáticas números reales (al menos en física clásica, con la cuántica ya no está muy claro).

    A lo que llamamos naturales es a lo que he mencionado ya antes, desde un punto de vista “natural”, las cantidades que puedes tener de un objeto atómico, es decir, puedes tener 0 manzanas, 1 manzana, 2 manzanas, …

    Los racionales representan razones entre dos cantidades naturales, por ejemplo el 3/5 es un racional y puede expresar por ejemplo que si yo tengo 6 manzanas y tú 10 entonces yo tengo 3/5 de las que tienes tú.

    Los irracionales son simplemente aquellos números (reales) que no son racionales, es decir que no representan la razón entre dos números naturales.
    ¿Desde un punto de vista geométrico que significa ser irracional?
    Pues, tomando como ejemplo \sqrt{2}. Trazamos un segmento al cual tomaremos como unidad. Luego hacemos un cuadrado con el como lado y tenemos que su diagonal es raiz de dos. Ahora alargamos el segmento inicial para que sea una cantidad natural n de lo que era antes. Proyectamos este segmento sobre la recta dada por la diagonal (es decir estoy multiplicándolo por \sqrt{2}), lo que nos dice ahora que sea irracional es que este nuevo segmento no puede ser un múltiplo entero de nuestra unidad original.

    A ver si con esto he aclarado algo a alguien :-)

  57. Omar-P | 29 de enero de 2009 | 01:22

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    Mi comentario, Andor, no se refería al tuyo.

  58. josé antonio | 29 de enero de 2009 | 22:02

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    Naska Cristo : acabo de leer tu escrito y me gustaría que se me haga una crítica dando alguna razón acerca de lo que se considera que no es correcto, pues si no se hace, difícilmente puedo saber cual es mi problema de lenguaje, pues, como es natural, yo trato de explicarme de forma que cualquier lector pueda entender lo que escribo.
    Cuando un recipiente contiene cosas, por ejemplo manzanas, podemos contarlas y si nos preguntan ¿ Cuantas hay ? contestamos con el nombre de un número, con lo cual no hay confusión posible pues no hay dos números iguales; si sacamos todas las manzanas, es evidente que no queda ninguna en ese recipiente y si después se nos pide sacar algunas, podemos contestar que se han acabado, que no quedan, que está vacío, que no hay nada y aunque se podría contestar que quedan cero manzanas, no es muy normal esta contestación; todas estas contestaciones sirven para negar la existencia de manzanas en el recipiente; en matemáticas si el resultado de una resta es cero, el cero niega la existencia de un número como resultado, niega la existencia de un número que cuantifique el resultado; el cero no es un número, no tiene ninguna propiedad de las comunes a todos los números; es un concepto que en aritmética es el punto de partida, de menor a mayor, de los números, en espaciometría es el origen de coordenadas y el origen de los ejes, es evidente que el origen de coordenadas no es ni una coordenada ni una longitud; no existen ni una longitud de cero unidades, ni una superficie, ni un volumen, ni un ángulo de cero unidades.
    Andor : me gustaría y además te lo agradeceré que me digas en que estás de acuerdo y en que no, pues creo que la crítica o las diferentes opiniones son fundamentales para poder aclarar cualquier resultado obtenido con conceptos tan intangibles como los “números”, “puntos”, “longitudes”, “superficies”, “volúmenes”, “ángulos”, “variable continua”, función de variable continua” etc.
    Yo he llegado a la conclusión de que nadie ha APRENDIDO el teorema de Pitágoras, el del coseno, ni el del seno, siendo teoremas fundamentales de las matemáticas, que se explican a los estudiantes en los cursos de básica, tal vez por eso nadie los aprendió, pues se explican como una curiosidad sin trascendencia y cuando se llega a profesor se admiten como verdad los inventos de algunos iluminados que se han olvidado que las matemáticas se fundamentan en AXIOMAS Y TEOREMAS y no en ocurrencias de personas que por haber alcanzado fama se permiten imponer dogmas en una ciencia que no los puede admitir.
    Es evidente que se confunde al número con su símbolo; debiera explicarse que los símbolos de los números no son números, como tampoco el nombre y apellidos de una persona, o su fotografía, es una persona,
    ¿ Cómo se puede inventar el concepto número negativo sólo por el hecho de colocar el símbolo de la resta delante del símbolo de un número ? y todos los discípulos lo aceptamos, (en su momento, pues nadie piensa que el profesor es un ignorante y menos aún que trate de engañar a nadie), hasta que en un momento, hace 16 años, ante un problema elemental, sin resolver, comprobé que nadie había estudiado y por tanto tampoco había aprendido los teoremas citados.

  59. Omar-P | 29 de enero de 2009 | 22:45

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    Decir un disparate tras otro, dando por sentado que son verdades evidentes, no es serio. No hay que confundir lo que uno se imagina con la realidad.

  60. Andor | 30 de enero de 2009 | 01:35

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    El problema pienso yo está en confundir el concepto guarismo (ese simbolito tan simpático que escribimos sin parar cuando hacemos cuentas) y el concepto cantidad (lo cual viene a ser algo asi como el número “físico” o “real”, o como diría josé antonio “natural”).
    Hay que saber que las matemáticas trabaja únicamente con el primer concepto. Como decía un maestro mío del colegio, la diferencia entre las matemáticas y otras materias es que tu puedes ver un perro, una piedra o leer un libro en la realidad (conceptos a los que están relacionados la biología, geología y literatura respectivamente) pero nunca un signo + o un número 5, y mucho menos ninguna construcción compleja. Otro error que creo que comete es pensar que un número irracional, por ejemplo, no es “racional” (entendiendo esto como que no viene de la razón o que lo ha inventado algún loco). Los nombres de los números como irracionales, trascendentales o imaginarios vienen de que en el momento de su descubrimiento (o invención, recordemos que son representaciones gráficas, ni más, ni menos) eran conceptos difíciles de asimilar por la sociedad en general y se les ponía nombres de ese tipo. Estoy de acuerdo en que debería desarrollarse alguna vía para analizar mejor lo que son las cantidades (y no los “números”), no se si es por ahí por donde va la opinión de josé antonio. Yo soy programador informático, y cuando estudiaba nos explicaron lo enormemente difícil que es desarrollar un robot capaz de reconocer un objeto como algo diferenciado y único. Cierto es que el guarismo “1″ se representa mediante un bit, pero a la hora de representar una manzana, una casa o conceptos más complicados como un bosque es otro cantar. Os aseguro que es harto difícil señalarle al robot donde empieza la manzana y donde termina y por qué es una y no dos, o 10. Ahí es donde pienso que se ha de investigar, aunque a lo mejor es más campo de física, filosofía o psicología que de matemáticas. Y si es difícil explicarle al robot que es una manzana (hoy por hoy creo que aún no se ha conseguido) ya es casi imposible decirle que cuando DA una manzana está restando y cuando RECIBE una manzana suma, etc. Evidentemente conceptos como “punto”, “superficie”, “volumen” o “ángulo” están más allá de todo esto y son infinitamente más complejos de “naturalizar”. Cierto es que hay robots que miden superficies mediante láseres, etc, pero únicamente lo que hacen es procesar la información que les llega en forma de luz (y en ningún caso pueden “pensar” sobre ella, aplicándola o adaptándola de manera creativa). Eso me hace llegar a dos conclusiones:
    1. Las ciencias empíricas deberían acercarse más a las matemáticas y viceversa.
    2. Nuestra mente sigue siendo el mayor de los enigmas, y a la vez el mayor de los prodigios, pues es capaz de analizar todo esto y separar conceptos de “cantidad” y “número”, y discutir sobre ellos.
    Ahí queda eso, a ver si aclara las ideas a alguien, y en caso de estar equivocado o incompleto, por favor que alguien lo diga.
    A Omar-P: por favor, si encuentras disparates, corrígelos como intentamos el resto, creo que nadie se molesta en escribir algo que sabe que sólo está en su mente. Lo que para ti es un disparate puede no serlo para otras personas por que no entienden tu manera de pensar y lo correcto es explicarla, o no decir que se habla con disparates. Este es un blog al que puede acceder cualquiera que tenga Internet y créeme, esa es mucha gente, y no todos tienen tu nivel de experiencia en matemáticas. No por llamarlo disparate va a dejar de serlo.

  61. Andor | 30 de enero de 2009 | 01:51

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    PD: Respecto al comentario sobre la “religiosidad” de las matemáticas he de decir que yo en la vida he creído algo que no se me haya demostrado anteriormente, ni siquiera el teorema de Pitágoras. Es más, lo que me debía aprender de memoria simplemente lo olvidaba al día siguiente del examen. Sin embargo esas definiciones de Universo y espacio dejan bastante que desear, y son más bien dogmáticas, a mi entender. Lo malo de ese tipo de afirmaciones es que para la mayoría de gente que las lee son ciertas hasta que se demuestre lo contrario, y eso a veces es muy difícil; yo propondría lo contrario, no creer nada hasta que lo hayan demostrado (o su contrario sea una paradoja, todos conocemos la reducción al absurdo).

  62. Omar-P | 30 de enero de 2009 | 19:51

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    Andor, si tu has leído los comentarios de jose antonio y no has encontrado una seguidilla de disparates lamentablemente yo no tengo mucho más que decirte. Solo una cosa, el multiplicar las palabras no refuerza las posturas porque la extensión de los comentarios no es proporcional a su calidad. Saludos.

  63. Andor | 31 de enero de 2009 | 17:56

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    No todo es blanco o negro, es gris.

  64. josé antonio | 1 de febrero de 2009 | 00:10

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    Omar -P Un disparate es algo sin sentido, te agradeceré que me enumeres esa seguidilla de disparates que, según tu, yo he relatado y me demuestres que lo son, de lo contrario tendré que creer que lo que son disperates son tus comentarios si no los razonas.

  65. Omar-P | 1 de febrero de 2009 | 17:39

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    Para cumplir con tu deseo tendría que reproducir tus cuatro extensos e imperdibles comentarios practicamente desde el inicio hasta el final.
    25/01/09 12:02
    26/01/09 21:08
    28/01/09 20:16
    29/01/09 22:02
    Extraeré solamente algunas de las muchas afirmaciones que has efectuado:

    “Los aficionados a las matemáticas, no confundirlos con los matemáticos, que parece ser que no existen, no han encontrado una definición del concepto “NÚMERO”, lo que es
    patético”
    “Elejida una base de numeración los números se pueden clasificar en tres grupos:”
    A… B… C…
    “Las demás clasificaciones carecen de rigor científico”
    “decir que raíz cúbica de tres es irracional y no natural es absurdo”
    “La teoría de conjuntos precisa de una revisión total”.
    “Los fundamentos del cálculo de derivadas no son ciertos, son falaces”
    “Yo he llegado a la conclusión de que nadie ha APRENDIDO el teorema de Pitágoras, el del coseno, ni el del seno”
    Etc, etc.

  66. Omar-P | 1 de febrero de 2009 | 17:53

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    En el primer comentario te refieres a Gauss como
    “un supuesto famoso matemático, para mi un santón de las matemáticas”.
    Para colmo de males has encontrado gente que agradece tus “aclaraciones” y que avala tus posturas. Este tipo de actidudes no son responsables ya que pueden traer confusión a los lectores del blog.

  67. Andor | 1 de febrero de 2009 | 18:58

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    Ahora debería yo decir en que estoy de acuerdo y en que no.

    “Los aficionados a las matemáticas, no confundirlos con los matemáticos, que parece ser que no existen, no han encontrado una definición del concepto “NÚMERO”, lo que es
    patético”

    Estoy de acuerdo. Número es algo tan abstracto que, si bien se trabaja con ellos de maravilla y todos sabemos lo que son, es muy difícil encontrar una definición rigurosa. Para mi el número sería la representación gráfica de una cantidad, pero ¿Qué es una cantidad?
    Lo de decir que un número es algo que se puede multiplicar por otro y da un tercero me parece una redundancia, ya que multiplicar es repetir un número tantas veces como indique el segundo. Sería como decir que ladrar es lo que hacen los perros y que un perro es aquel animal que ladra.

    “Elejida una base de numeración los números se pueden clasificar en tres grupos:”
    A… B… C…

    Los números se pueden clasificar de tantas formas como te dé la gana, aunque prefiero las clasificaciones “oficiales”.

    “Las demás clasificaciones carecen de rigor científico”

    Estoy en total desacuerdo, tienen el mismo rigor que el resto de las Matemáticas.

    “decir que raíz cúbica de tres es irracional y no natural es absurdo”

    Ya se aclaró mi postura cuando dije la razón de porque se llaman irracionales, no estoy de acuerdo; pero intuyo que es más una confusión que algo que crea realmente José Antonio.

    “La teoría de conjuntos precisa de una revisión total”.

    Totalmente de acuerdo, y me gustaría señalar que lo que necesita es una revisión, no eliminarla completamente.

    “Los fundamentos del cálculo de derivadas no son ciertos, son falaces”

    Aquí habría que preguntarse que entiende José Antonio por falaz, pero me temo que si es lo que da a entender no estoy de acuerdo, para mi son ciertos y útiles.

    “Yo he llegado a la conclusión de que nadie ha APRENDIDO el teorema de Pitágoras, el del coseno, ni el del seno”

    Esto ya lo expliqué anteriormente. No se dónde aprendió José Antonio o dónde da clases, pero intuyo que tendrían que revisar su método de educación. A los niños hay que enseñarlo a pensar, no a memorizar.

    También decir que para mi Gauss fue todo un genio de las Matemáticas, para nada un santón, y que me confundieron más los comentarios de Omar-P por la simple razón de que no los explicaba, y los de Antonio, si bien difiero en algunas cuestiones me servían para saber su opinión. De la de Omar-P sólo sabía que era contraria a la de José Antonio. La próxima vez haré mis consultas polémicas de manera más discreta. Nunca dije que estuviera de acuerdo 100% con José Antonio, y ahora todos sabéis mi postura. Si alguien quiere más detalles puede preguntármelos a mi dirección de correo que dejé en “Equivocado”, y así no contrariamos a nadie.

    Por cierto, todos hablamos de la polémica de las aclaraciones y los disparates, pero aún nadie ha respondido a mi pregunta sobre los números hiperreales, etc.

  68. Naka Cristo | 1 de febrero de 2009 | 20:44

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    “La teoría de conjuntos precisa de una revisión total”.

    ¿No te parece que ya está bastante revisada?
    http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory

    Sobre el concepto número
    http://es.wikipedia.org/wiki/Numero

  69. Andor | 1 de febrero de 2009 | 21:07

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    Esos dos artículos de Wikipedia ya los conocía. Para ser exactos el de número casi me lo sé de memoria. Precisamente lo revisé para no meter la pata a la hora de hacer mis consultas y mis investigaciones.

    En cuanto al otro, también lo conocía, pero lo aprendí de un libro de axiomática en Teoría de Conjuntos.

    Habréis comprobado en la parte final que hay críticas a ese sistema de axiomas, y a la Teoría de Conjuntos en general. La mía es una más de todas ellas. Como dije no es que sea errónea, para mi está incompleta.

    No soy tan insensato de criticar algo tan consolidado sin antes consultar e informarme. Aún así, podéis mandarme todo lo que creais que podría hacerme cambiar de opinión, es más, os animo a que lo hagais, puede que simplemente no entienda bien la Teoría.
    Pero como ya dije eso lo decidirá el tiempo.

    Gracias de todas formas por las molestias.

  70. josé antonio | 3 de febrero de 2009 | 12:53

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    Un disparate más; de lo leído en los textos expuestos por todos deduzco que todos estáis de acuerdo en que raíz cuadrada de dos es un número irracional pero “en base raiz cuadrada de dos” se escribe “10″ ¿este 10 también es irracional?.
    Andor creo que contigo se puede debatir cualquier opinión, teoría o problema que uno ha resuelto, o cree haber resuelto; si estás dispuesto a discutir conmigo la solución que he encontrado de un problema, de los que han sido planteados pero no resueltos, proporcionamé tu correo y te lo envío para que verifiques esa solución, o me la refutes, si no la consideras correcta; el 31/01/2009 la publiqué en mi blog, pero supongo que nadie la ha leído todavía, pues nadie ha hecho un comentario.

  71. Andor | 3 de febrero de 2009 | 14:10

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    Estrictamente hablando pienso que ese “10″ sería natural en su base. Pero no olvidemos que esa base ha sido creada sacando logaritmos de otras bases, y que en su construcción ya utilizas un número irracional. En base 1, que es la madre de todas las bases (tan sencillo como contar palitos), ese número no tendría representación racional. En caso que dieras como base de partida la de raíz de 2 entonces los irracionales serían los que en base 10 son naturales. En cualquier caso los números irracionales existen, y no los puedes eludir. La única base que no tendría números irracionales sería la base infinitésimo, pero un número en esta base es cualquier número en base 10 sin la coma y con infinitas cifras, con lo cual de poco serviría.
    Mi dirección de correo es [email protected], pero antes de nada advertirte que no soy catedrático ni nada por el estilo, sólo un estudiante/aficionado a las matemáticas, lo único que me sobra interés. De todas formas si veo algún error o creo que es correcta te lo haré saber, siempre que entiendas que sólo será mi opinión y eso no la hará cierta o falsa (para eso ya tendrías que publicarla y que todo aquel que la leyera la viera cierta).

  72. ^DiAmOnD^ | 3 de febrero de 2009 | 15:19

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    Jose antonio si quieres pon en un comentario tu blog en la casilla web que tienes para rellenar cuando lo escribes, o ponlo en el propio comentario y así podemos ver todos dicha demostración y comentarte lo que veamos en ella.

  73. Naka Cristo | 3 de febrero de 2009 | 15:45

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    pero “en base raiz cuadrada de dos” se escribe “10″ ¿este 10 también es irracional?.
    Pues claro que sigue siendo irracional, la definición de irracional no hace referencia a como lo escribas. Es el número el irracional no la escritura.

  74. Andor | 3 de febrero de 2009 | 16:11

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    ¿La definición de irracional no era aquel número que no se puede escribir en la forma:
    P/Q para todo P,Q pertenecientes a los enteros y Q diferente de 0
    ?

    En base raíz de 2 ese número se podría escribir como 10/1.

    ¿Es entonces esa definición sólo cierta cuando la base es racional o debe indicarse que tal número es irracional o racional para una determinada base?

  75. Naka Cristo | 3 de febrero de 2009 | 17:45

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    La definción de irracional no es que no se pueda escribir de una forma.

    un numero q es racional si y sólo si existen enteros m y n tal que q=\frac{m}{n}.

    Y 10_{\sqrt{2}} no es un entero. Si fuese un entero debería tener un anterior y un sucesor, cosa que no tiene.

  76. Andor | 3 de febrero de 2009 | 22:32

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    ¿No sería 9_{\sqrt{2}} el anterior de 10_{\sqrt{2}} y 11_{\sqrt{2}} el sucesor?
    Distan exactamente 1 de ese “10″.
    Otra cosa sería su representación en base 10,¿no?
    Todo esto suponiendo la base {\sqrt{2}} y sin salirnos de ella.

    O dicho de otra manera, en esta base la “unidad” sería igual a {\frac{\sqrt{2}}{10}}_{10} .
    ¿No sería más correcto decir que un número es irracional si lo es es base 10? ¿O lo es sólo para un determinado tipo de bases?
    ¿No dijo en el comentario “oscar | 3 de Marzo de 2008 | 22:47″ que la base es como el “vestidito” del número?
    Y menos mal que a nadie se le ha ocurrido preguntar que ocurriría con bases complejas, como sale en el blog del Tio Petros.

  77. Naka Cristo | 3 de febrero de 2009 | 23:56

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    Ya la estás liando

    Te das cuenta de que 9_{\sqrt{2}}=9_1\gneq\sqrt{2}_1=10_{\sqrt{2}}

    Como va a ser entonces a ser su anterior, ¿y a cuanto de que has elegido el 9?, quiero decir que en base tres tenemos la secuencia (de naturales) 0,1,2,10,11,12,20,…

    Los “vestidos” no alteran las propiedades de los números, ni siquiera los de nuestro querido Tío Petros :-)

    PD: parece que vuelve a quejarse el plugin de \LaTeX con el mayor que (>) 1>0

  78. Naka Cristo | 3 de febrero de 2009 | 23:59

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    Ups, donde pongo 9_1 y \sqrt{2}_1 queria poner 9_{10} y \sqrt{2}_{10}

  79. Andor | 4 de febrero de 2009 | 00:14

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    Deduzco de tus afirmaciones que el número es irracional, racional, etc. si lo es en base 10.

    Ok, todo entendido. Parece que siempre soy yo quien la lía.
    Perdonad pero es que cuando tengo una duda debo resolverla o me revienta la cabeza.

    Muchas gracias por la explicación.

    PD: \LaTeX es nuestro amigo, dale otra oportunidad y verás lo bien que se porta. ;)

  80. Andor | 4 de febrero de 2009 | 00:26

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    Acabo de darme cuenta de el error garrafal que he cometido.
    TODOS los números en base {\sqrt{2}} se escriben sólamente con la cifra 1, al ser un número que está entre 1 y 2. Sería como decir 9_2. En fin, mil peldones.

  81. Naka Cristo | 4 de febrero de 2009 | 10:14

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    Pues claro que está bien que preguntes cuando no entiendes algo.

    Cuando hablamos de \sqrt{2} es que ya tenemos los naturales bien definidos, con su suma y multiplicación, y definimos como \sqrt{2} a aquel número que satisface x^2=2

    En los naturales tenemos
    1=suc(0)
    2=suc(1)=suc(suc(0))
    Y desde luego suc(0)\cdot suc(0) \lneq suc(suc(0))
    y suc(suc(0))\cdot suc(suc(0)) \gneq suc(suc(0))
    Y para cualquier otro natural será todavía mayor, así que suc(suc(0)) no tiene raiz en los naturales.

    No sé si miraste mi comentario
    Naka Cristo | 28 de Enero de 2009 | 22:42
    en el que ponía un ejemplo de interpretación geométrica de la irracionalidad de la raiz de 2, en el que obviamente no estoy escribiendo números en ninguna base. Aunque creo que me quedó un poco liosa esa explicación.

  82. josé antonio | 5 de febrero de 2009 | 10:11

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    Juan : que el número raíz cuadrada de dos tenga infinitos decimales no hace a raíz cuadrada de dos un número ilimitado; simplemente el hombre, que está muy limitado, está utilizando una base de numeración con cuyos símbolos no se puede expresar ese número; no hay que olvidar que, aunque los números en base diez son infinitos, hay más números fuera de la base entre uno y dos, o entre dos enteros cualquiera, que esos infinitos en base diez y que esos decimales, a partir “1,”, no pueden expresar “raíz cuadrada de dos”.
    Es evidente que la diagonal de un cuadrado de un metro de lado mide exactamente “raíz cuadrada de dos” metros; si necesitamos expresar ese número en base diez no podemos hacerlo, aunque puede servirnos uno en base díez sabiendo que cometemos un error y que para que nos sirva, ese error tiene que ser menor que un número preestablecido, por ejemplo menor que una milésima o que una parte por millón etc.
    Espero que mi gramática sea lo suficientemente buena para que se entienda lo que quiero expresar y sirva para aclara tus dudas.

  83. Andor | 5 de febrero de 2009 | 14:43

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    Aquí veo un gran problema de comprensión de José Antonio.
    Hay que entender la diferencia entre número infinito e irracional. TODOS los números son infinitos, en cuanto a su escritura, hasta los números enteros se pueden escribir poniendo infinitos 0s detrás de la coma. Pero las matemáticas nos han dado unas herramientas estupendas para trabajar con ellos. En el caso de los enteros, los símbolos de los números normalmente son suficientes, si no la notación científica. Los racionales se pueden escribir todos en forma de fracción, y no estás cometiendo ningún error. Y los irracionales algebraicos se pueden escribir en forma de raíces de polinomios, que también son perfectamente manejables. El problema podría llegar con los números trascendentales, pero la mayoría de ellos están perfectamente definidos y se está trabajando en el resto. Entiende también que estas representaciones son totalmente fidedignas y mucho más manejables que escribir el número directamente, sea la base que sea.

    Me parece más bien que el “limitado” es José Antonio. Entiende que en TODAS las bases hay irracionales, sean cuales sean. Como dije arriba la única que no tiene es la base infinitésimo, y es por que se elimina la coma, los números siguen siendo igual de irracionales. Pero date cuenta que irracional es sólo su nombre, no indica que no sean fruto de la razón. De todas formas aún estoy esperando esa solución del problema que ibas a mandarme o la dirección de tu blog. Si realmente pruebas que hay alguna manera mejor que la actual de enteder los números irracionales deberías hacerla pública.

  84. josé antonio | 5 de febrero de 2009 | 17:39

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    Andor : creo que la palabra “infinito” no tiene el mismo significado para ti que para mi; el hecho de que se pueda escribir infinitas veces el símbolo de un número, el 3 por ejemplo, no significa que haya más de un “tres”, pues sólo hay un “tres”; de cualquier forma estas disquisiciones no creo que sirvan para desarrollar la ciencia matemática; ésta precisa dar solución a los problemas no resueltos y a descubrir, (no a inventar), AXIOMAS nuevos a partir de los cuales se demuestren teoremas; en su momento, si procede, te enviaré una ecuación fundamental para la teoría de números.
    Ayer te envié la solución prometida y según mi ordenador llegó a la dirección que me enviaste, no obstante acabo de reenviarla a la misma dirección

  85. Omar-P | 5 de febrero de 2009 | 17:48

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    Piedad.

  86. Andor | 5 de febrero de 2009 | 18:39

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    Ahora se por donde vas, o eso creo. Cuando me llegue el mail supongo que lo entenderé mejor. De todas formas creo que tienes un problema a la hora de explicarte, están haciendo falta muchos comentarios para esta cuestión. Si es lo que yo pienso, es demasiado largo de explicar para andar mareando aquí a la gente del blog, creo que yo también tengo una solución bastante sencillita, pero es a base de modificar un pelín ciertos axiomas en Teoría de Conjuntos.
    De todas formas no modificaría en nada el resto de Matemáticas, es más se acercaría más a ellas. Estoy deseando leer ese mail, ya que me indicará exactamente de que hablas y, si es algo que vemos como cierto y nuevo deberías publicarlo aquí, así la gente estaría menos perdida. Si no funciona mi dirección, que he comprobado que está bien escrita, pon tu la tuya y así podré hablarte.
    Saludos.
    @ Omar-P: Tranquilo, hombre. Si tenemos novedades las pondremos en común. Si no, yo mismo me encargaré de que José Antonio piense un poco más las cosas antes de comentarlas.

  87. josé antonio | 8 de febrero de 2009 | 00:26

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    Omar-P : Me has relatado una serie de, según tu, disparates, pero no me has demostrado que uno solo sea un disparate; creo que con que me expongas el fundamento, (axioma, teorema, corolario, etc), en que se basa la demostración de la derivada del seno de un ángulo y me demuestres que la derivada del seno de un ángulo es el coseno de ese mismo ángulo ya me habrás demostrado uno, pero reproducir frases que yo he escrito no es una demostración de que esas frases son una seguidilla de disparates, lo que a mi si me parece un disparate es decir lo que tu dices de mi, (los disparates y estupideces son lo que hacen o dicen los estúpidos), sin razonar el por que de tus afirmaciones.

  88. Andor | 8 de febrero de 2009 | 00:49

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    José Antonio, déjalo ya anda. Creo que cualquiera en esta página sería capaz de demostrarte eso que dices, yo mismo si lo prefieres. Pero aún sigo esperando algo en mi correo; así que de esta forma no puedo tomarte en serio. Por el resto de “disparates”, si bien yo los llamaría más bien despistes, creo que queda bien demostrado donde está el error. Ahora yo le doy la vuelta al comentario y te digo: mándame o publica algún razonamiento firme que apoye tu posición, creo que el resto hemos demostrado suficientes cosas. De todas formas todavía no tengo muy claro a que conclusión quieres llegar. ¿El Cálculo Infinitesimal está mal construido? ¿Es la Teoría de Dicho esto, a mi sólo me queda decirte que hasta no recibir algo
    en mi correo que apoye tu posición o que asumas que no entendiste (o te enseñaron) bien las Matemáticas, yo no puedo seguir con este asunto. Que el resto haga lo que juzgue correcto.
    PD: Si lo que quieres es que Omar-P te lo responda, temo que tu problema es con él y no con las Matemáticas, y os agradecería que lo solucionarais en el ámbito privado.

  89. Andor | 8 de febrero de 2009 | 00:53

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    José Antonio, déjalo ya anda. Creo que cualquiera en esta página sería capaz de demostrarte eso que dices, yo mismo si lo prefieres. Pero aún sigo esperando algo en mi correo; así que de esta forma no puedo tomarte en serio. Por el resto de “disparates”, si bien yo los llamaría más bien despistes, creo que queda bien demostrado donde está el error. Ahora yo le doy la vuelta al comentario y te digo: mándame o publica algún razonamiento firme que apoye tu posición, creo que el resto hemos demostrado suficientes cosas. De todas formas todavía no tengo muy claro a que conclusión quieres llegar. ¿El Cálculo Infinitesimal está mal construido? ¿Es la Teoría de
    Conjuntos? ¿O son las Matemáticas enteras las que son un error?
    Dicho esto, a mi sólo me queda decirte que hasta no recibir algo
    en mi correo que apoye tu posición o que asumas que no entendiste (o te enseñaron) bien las Matemáticas, yo no puedo seguir con este asunto. Que el resto haga lo que juzgue correcto.
    PD: Si lo que quieres es que Omar-P te lo responda, temo que tu problema es con él y no con las Matemáticas, y os agradecería que lo solucionarais en el ámbito privado.
    PD2: Perdón por el comentario anterior, lo publiqué con errores, ahora creo que está bien.

  90. josé antonio | 8 de febrero de 2009 | 10:46

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    Andor, acabo de comprobar que tenia un error en la dirección de tu correo, perdona por ese error que ha impedido que llegara lo prometido.
    Si algien puede demostrame que la derivada del seno es coseno, habrá demostrado que la derivada de sen.30º = 0,5 sea raíz de tres dividido entre dos; para que yo pueda comprenderlo alguien me fiene que demostrar que 0,5 es una función de variable continua; Que el ángulo es una variable continua no tengo duda y que el número no lo es tampoco.

  91. Naka Cristo | 9 de febrero de 2009 | 10:22

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    ¿Pero es que no te das cuenta de la burrada que has escrito?

    Las funcionan así
    \sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}
    \frac{d\sin(x)}{x}=\cos(x)
    \frac{d\sin(x)}{x}(\frac{\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}
    \frac{d\sin(\frac{\pi}{6})}{x}=\frac{d\frac{1}{2}}{x}=0

    Ya me estoy empezando a cansar de esto

  92. josé antonio | 9 de febrero de 2009 | 20:10

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    ¿Es posible que nadie sepa que el seno de un ángulo es el cociente de dos longitudes y por tanto es un número y si un número no se puede derivar, (por no ser el concepto número un concepto continuo), como es posible que si se puedan derivar aquellos números menores que uno que cuantifican funciones angulares,ya sean decimales o irracionales?

  93. Andor | 9 de febrero de 2009 | 22:02

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    Vamos a ver alma de Dios, lo que derivas es la función. Y como toda función al darle un valor te sale una solución. La solución es un número, no la función. La derivada de una constante (número) es siempre 0.

  94. josé antonio | 9 de febrero de 2009 | 22:55

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    La función del ángulo puede ser un seno, un coseno, una tangente o una cotangente; la que es una variable CONTINUA es el ángulo y no se puede deducir el método de derivar sus funciones, (derivar es cambiar el rumbo), extrapolando el método de deducir las derivaras de las funciones :
    y =x·x·x····, y + dy = (x + dx)·(x + dx)·(x + dx)·····
    a la igualdad y = sen.de alfa. (no se como copiar la letra alfa pues el ordenador la traduce por “a”).
    No es lo mismo la diferencial del seno que la diferencial del ángulo; pensar en este disparate o en esta burrada, ya que parece ser que me salen como churros.

  95. Andor | 9 de febrero de 2009 | 23:03

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    ¡Que alguien haga que se caye por favor!
    Por cierto te has dejado las secantes, cosecantes, y los arcosenos, etc…
    PD: Paso de explicar nada, visto el caso que haces de las correcciones que te hacemos los demás.

  96. Naka Cristo | 9 de febrero de 2009 | 23:18

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    como es posible que si se puedan derivar aquellos números menores que uno que cuantifican funciones angulares,ya sean decimales o irracionales?

    ¡¿Pero de dónde has sacado que se deriven los ángulos?!

    Un ángulo es un número como otro cualquiera y no se deriva, lo que puedes derivar es la función constante asociada, cuya derivada por supuesto es 0.

  97. ^DiAmOnD^ | 10 de febrero de 2009 | 03:13

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    Andor: ¿has visto por qué a veces es mejor parar estas cosas al principio? Al menos en Gaussianos ya hemos vivido algún caso así y, como dije antes, hay ocasiones en las que es mejor cortarlo a tiempo.

  98. Dimas | 10 de febrero de 2009 | 15:58

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    ¡Cuando te vas a enterar que no han aprendido el teorema de Pitagoras y por eso no saben que siempre que A = B + C las raices cuaradas de A, B y C son siempre tres números que expresan las unidades de longitud de los lados de un triángulo rectangulo!.
    ¡Pobres matemáticas! y ¡pobres alumnos!

  99. Dimas | 27 de febrero de 2009 | 13:27

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    He estado pensando en la demostración de que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno y no me parece correcto partir de de la ecuación y = seno o de x = coseno, pues si, coseno = x/L, es evidente que en la ecuación, x = L·cos., x es una variable que depende de dos variables continuas,una lineal y otra angular;de donde se deduce que x´= cos. + L·sen., lo que no me cuadra con la solución y´= sen.; si alguien me puede solucionar este dilema se lo agradeceré.

  100. Andor | 27 de febrero de 2009 | 16:22

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    Es mucho más sencillo que todo eso. Dibuja una función seno y otra coseno, si lo prefieres a partir de los cocientes de los lados del triángulo y verás claramente por que son derivadas la una de la otra. Al menos así es como yo lo aprendí.

  101. Dimas | 28 de febrero de 2009 | 23:51

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    Gracias por no explicarme nada; supongamos un triángulo cuyos lados son, L, “x” e y = f(x) = x·x·x; en este caso tenemos : y = f(L,un ángulo alfa,x). En este caso L varía en dirección y longitudinalmente, pues L es la distancia entre el origen y los puntos situados en una cúbica, ¿Cómo se calcula la derivada y´ = F´(L, x,ángulo alfa)?. Sigo pensando que José Antonio no planteó una cuestión sin sentido y seguro que él tiene alguna respuesta por lo que me parece que expulsarle del blok con descalificaciones, cuando menos no ha sido un acierto.

  102. Andor | 1 de marzo de 2009 | 00:45

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    Sin comentarios.

  103. jose antonio | 9 de marzo de 2009 | 10:13

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    Hoy hace un mes que me retiré de este blog, en primer lugar quiero agradecer a Dimas sus comentarios y sus propuestas, que nadie se ha atrevido a resolver. por otra parte quiero aclarar, si Racedom no lo ha hecho, que este señor y yo, ni siquiera nos conocemos; él tiene un esdrito en un foro de filosofía, que no debe consultar, pues tiene un comentario dirigido a él,concretamente, al que no ha contestado. Por si alguno tiene interés en entrar en ese foro, se trata de “foro de filosofía” en emagister. com y si alguno tiene curiosidad por mis barbaridades las encontrará en el blog de “matematicaverdadera” en blogia.com. Seguire visitando este blog por si aportáis algo útil, para el desarrollo de las matemáticas.

  104. Andor | 9 de marzo de 2009 | 16:26

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    Este tema me tiene más que cansado. Primero repásate un poquito la trigonometría de primaria, verás que en Teorema de Pitágoras es A^2=b^2+c^2 y suponer que A^n=b^n+c^n en un triángulo es una barbaridad, y una manera muy pobre de empezar una demostración (¿Quién demuestra algo partiendo de que su demostración va a ser verdadera?). Creo que ya expliqué esto por activa y por pasiva. Te dije en su momento que no era quien para decir si estaban del todo mal o no tus cálculos; ahora, después de mirarlos con más detenimiento y pedir opiniones a más gente te puedo decir sin temor a equivocarme que son erróneos totalmente. Sin embargo la burrada no está ahí, sino en tu obcecación por no querer ver tus errores y por pretender que tienes nada más y nada menos que multitud de demostraciones del Último Teorema de Fermat, entre ellas, como no, la del mismísimo Fermat. Por favor deja de insultar a Fermat, deja de despreciar a Wiles, pero sobre todo deja de humillarte a ti mismo. Si no lo haces luego no te sorprendas de que la gente no te tome en serio.
    En cuanto a Dimas no expliqué su último comentario por varias razones:
    1º- Creo que no es asunto mío explicar esos conceptos, más aún cuando han sido demostrados ampliamente en este mismo post, sin ir más lejos.
    2º-Desmoraliza mucho el que digan que no has explicado nada cuando lo único que intento es que se aclaren las cosas. Mi explicación puede ser útil o no, pero existe y es la mejor que se me ocurrió en su momento. A la siguiente vez si que no expliqué nada; si obtengo el mismo resultado prefiero no hacer nada, que me quita menos tiempo.
    3º-He decidido no responder a preguntas mal formuladas, no cuesta nada escribir en Latex. (¿Qué diablos es “supongamos un triángulo cuyos lados son, L, “x” e y = f(x) = x·x·x; en este caso tenemos : y = f(L,un ángulo alfa,x).”? ¿Me lo parece a mi o está diciendo que un lado de un triángulo pueda ser la función x^3?, que es claramente no lineal y por tanto no es un segmento, que es lo que son los lados del triángulo, por no ser no es ni recta).
    4º- Estoy cansado de tanta chorrada.

    Y ahora , si me disculpáis tengo un examen que estudiar, y no quisiera sacar menos nota por una tontería de un tipo que cree ser el mejor y único matemático desde Fermat.

  105. jose antonio | 9 de marzo de 2009 | 20:55

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    Andor: Aunque no es mi intención debatir nada en este blog creo que debo hacerlo después de leer tu comentario de hoy. No se si en tu comentario anterior te dirijes a mi o a Dimas, de cualquier forma creo que el problema planteado por Dimas es bastante razonable, pues aunque no estoy totalmente de acuerdo, es evidente que si trazamos una recta que contenga un punto situado en una cúbica y el origen de coordenadas, la distancia entre esos dos puntos es la hipotenusa de un triángulo, siendo los catetos, las coordenadas de ese punto en la cúbica, cuyas longitudes son “x” e y = x·x·x·, que evidentemente forman un triángulo rectángulo. Como no me gusta decir algo y no justificarlo debo decir que si la distancia del punto al origen es “D”, para mi es evidente que y = D·sen.alfa = f(D,alfa), pero también y = x·x·x = f(x), pero “y” no es función de tres variables continuas a la vez, como se expresa en la fórmula de Dimas. Espero que esta explicación sea suficiente para comprender que y = x·x·x si que es un segmento de recta.

  106. Andor | 9 de marzo de 2009 | 22:07

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    Mi comentario anterior iba dirigido a Jose Antonio excepto en la parte que pone “En cuanto a Dimas”, pues supuse que al escribirlo inmediatamente después del de Jose Antonio y hacer alusión a conceptos de su blog y comentarios que tuve con él, no sería necesario especificarlo. Por lo visto supuse demasiado.

    Ahora Jose Antonio te invito a que nos muestres ese extraño triángulo de 4 vértices que al parecer habéis descubierto, en ese extraño mundo en el cual los módulos se calculan multiplicando coordenadas.(Si no queríais decir eso, explicadlo de forma más clara utilizando Latex como dije anteriormente) ¿Es el mismo mundo donde elevando ambos términos de una ecuación por un número n distinto de 1, te aparece una ecuación equivalente?
    Lo que si es evidente (palabra que adquiere un nuevo significado cuando la incluyes en una de tus demostraciones) es que ese no es el mismo mundo en que vivimos los pobres mortales, y esto es evidente para cualquiera con las matemáticas de Secundaria aprobadas.
    Por cierto, ni se te ocurra leer nada de Gödel, por lo que más quieras.

    A Dimas, suponiendo que sea una persona distinta y no relacionada con Jose Antonio: ¡aléjate de él (de Jose Antonio) si quieres aprender algo con el más mínimo sentido!

    A Diamond: Vale, la he cagado, ¿Hay alguna manera de hacer que esto termine de manera racional y sin recurrir a un baneo?

    A la gente que lea estos comentarios intentando sacar algo en claro: Por favor no creáis nada de lo que dice Jose Antonio, o mejor dicho, nadie, sin antes comprobarlo o buscar en más fuentes y contrastar lo escrito.

    A la gente inteligente que lea esto y tenga experiencia en la docencia: ¿Alguien se ofrece a explicarle a Jose Antonio Matemáticas desde el nivel en el que perdió el rumbo?

  107. ^DiAmOnD^ | 10 de marzo de 2009 | 15:39

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    Andor, déjalo, no le sigas contestando porque si continúas no va a parar nunca.

    Ya veremos si hago algo además de no contestarle.

  108. jose antonio | 19 de marzo de 2009 | 12:43

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    Pitágoras demostró que en todos los triángulos rectángulos, sin una sola excepción, la superficie del cuadrado cuyo perímetro es 4·h (h es la longitud de la hipotenusa) es igual a la suma de las superficies de los cuadrados cuyos perímetros son 4·C (C longitud de un cateto) y 4·c (c longitud del otro cateto), por tanto demostró :
    S = S + s
    Hasta aquí lo que demostró Pitágoras.
    Parece ser que hay que recordar que la superficie de todos los cuadriláteros regulares, y el cuadrado lo es, se calcula multiplicando la base por la altura y que la ecuación que expresa este producto es :
    S = BxA
    ahora bien, no siempre la altura es perpendicular a la base, por lo que la ecuación que sirve para todos los cuadriláteros regulares, siendo C la longitud de cada uno de los dos lados paralelos, que con los dos lados paralelos de longitud B forman el perímetro del cuadrilátero, es :
    S = BxCxSEN.w
    siendo “w” el ángulo que forman B y C.
    Hay que recordar que el concepto “superficie” es un concepto geométrico y como tal es un producto de dos longitudes por el seno del ángulo que forman, y que en el caso del rectángulo w = 90º, C = A y SEN.90º = 1, y la ecuación geométrica es : S = BxCxSEN:90º = BxAx SEN.90º.
    En el cuadrado por ser A = C = B la ecuación geométrica es :
    S = BxCxSEN.90º = BxAx1
    En este caso la ecuación aritmética, con S = D (uds), (D es un número), B = b (uds) y A = c (uds) por ser SEN.90º = 1, podemos expresarla :
    D = b·c = b·b = c·c
    En la que D, b y c son números que cuantifican : D (una superficie), b (una longitud) y c (otra longitud perpendicular a la de b unidades).
    Si en la ecuación S = S + s expresamos estas superficies en unidades de superficie, (números) es evidente que en : D = E + F hay infinitos valores de E y F cuya suma es D y todas las raíces cuadradas de los tres números son tales que la raíz cuadrada de D, de E y de F son las unidades de longitud de los lados de un triángulo rectángulo, por tanto Pitágoras no demostró que : d·d = e·e + f·f, esta igualdad ya la conocían los sumerios, los egipcios y Pitágoras, lo que probablemente no sabían es que con longitudes de “5”, “4” y “3” unidades, (y demás ternas de cuadrados perfectos), SIEMPRE se construye un triángulo rectángulo.
    De este teorema se deduce, fácilmente, que D, E y F son siempre enteros o múltiplos o submúltiplos de enteros y “d”,“e” y “f” sólo son enteros, los tres, cuando forman una terna pitagórica de enteros, en los demás casos al menos uno es irracional, de aquí al T. de Fermat puede llegar cualquier persona que compruebe la veracidad de lo expuesto.
    Espero que por esto nadie me lleve ante la inquisición

  109. Sextuple-A | 27 de marzo de 2009 | 18:27

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    Hola, no suelo entrar con normalidad a este blog, pero de vez en cuando me gusta entrar para ver algunas cosillas sobre matemáticas.

    Leyendo los comentarios, me he acordado de hace unos años, cuando a penas tenia 17 años, en la televisión salía un hombre que decía haber resuelto la cuadratura del círculo de manera favorable (es decir, habia construido un cuadrado de area igual al area de una circunferencia con un determinado radio mediante el uso exclusivo de regla y compas).

    Con aquella edad, yo había oido hablar de ese problema clasico y, en mi ignorancia, pense que lo había resuelto de verdad, lo cual constituía un importante logro. Sin embargo luego en la carrera descubro que ese problema (junto a la duplicacion del cubo y la triseccion del angulo), se habia resuelto de forma negativa muchisimo tiempo antes (la demostración que vi era la que hacía uso de la trascendencia de Pi, la cual me parece una de las demostraciones mas elegantes que he visto). Y me di cuenta de que aquel hombre no era mas que un charlatan.

    Cuento esto por que aqui me ha parecido ver lo mismo en los comentarios de algunas personas, afortunadamente se algo mas de matemáticas que cuando tenía 17 años y se apreciar cuando se dicen barbaridades.

    Mi preocupación es por la gente que, gustandoles las matematicas, no tienen la preparacion o el criterio para saber detectar este tipo de falacias, y es por ello que hecho en falta algun tipo de regulación de los comentarios. No hablo de banear a estas personas, pero si de advertir mediante algun tipo de votación como es usual en algunos foros (si, ya se que esto no es un foro, pero por un momento he pensado que estaba en uno).

    Y si por lo que sea algun iniciado en el mundo de las matematicas lee esto, creo que debería saber que el espiritu de las matematicas es aplicar un razonamiento critico a todo lo que uno lee, incluyendo las afirmaciones vertidas por algunos individuos en estos comentarios.

    Perdon por la extensión de mi comentario y quiero felicitar a los autores del blog y animar a que sigan publicando.

    Saludos a todos!

  110. ^DiAmOnD^ | 27 de marzo de 2009 | 23:06

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    Buenas Sextuple-A.

    En realidad tienes razón, hay casos en los que debería moderar ciertas cosas, pero en este caso preferí no hacerlo y ver qué camino seguía el tema.

    De todas formas no descarto hacer las cosas de otra forma si ésto vuelve a pasar.

    Saludos.

  111. jose antonio | 2 de abril de 2009 | 08:31

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    EDITADO POR ^DiAmOnD^

    Lo siento mucho, ya me he cansado de ciertas cosas. No voy a consentir que confundas a la gente que entre en este artículo con comentarios así.

    Por cierto, sobre el comentario en cuestión:

    1.- \pi es irracional y 1- \pi también lo es, y sin embargo su suma es un número entero.

    2.- Por mucho que te empeñes las funciones sen(x) y cos(x) son funciones continuas.

  112. LUIS mesa | 1 de mayo de 2009 | 06:57

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    alguien sabe si esto es cierto:
    I.+I..=I..
    LA SUMA DE DOS IRRACIONALES SIEMPRE DA OTRO IRRACIONAL?

  113. ^DiAmOnD^ | 1 de mayo de 2009 | 14:48

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    No. Te pongo un ejemplo:

    \pi es irracional y - \pi también, pero \pi + (- \pi)=0, que no es irracional.

  114. Trackback | 25 sep, 2009

    Números irracionales cebra « sacitàmetaM

  115. peip | 27 de septiembre de 2009 | 12:31

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    me pueden contestar a una pregunta:

    entre dos números irracionales hay un número irracional??

  116. jose antonio | 8 de enero de 2010 | 11:51

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    Del teorema de Pitagoras se deduce el corolario :
    El seno y el coseno de todos los ángulos son el cociente de dos números, que siempre son las raíces cuadradas de dos números enteros.
    Espero que este texto no pueda intosicar a nadie y no se elimine.

  117. Dani | 8 de enero de 2010 | 12:27

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    \sin(\frac{\pi}{5})=\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}
    si como tú dices fuera \sin(\frac{\pi}{5})=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} para a,b \in \mathbb{Z} se seguiría
    \frac{1}{16}( 10 -2\sqrt{5} })=\frac{a}{b} \Rightarrow  \sqrt{5}=5-8\frac{a}{b} \in \mathbb{Q} que contradice la irracionalidad de \sqrt{5}.

  118. Andor | 8 de enero de 2010 | 20:13

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    Pitagoras nunca dijo que sólo existieran triángulos con lados de magnitud entera, ni tampoco que todos los lados sean raíz de un entero.

  119. jose antonio | 9 de enero de 2010 | 01:52

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    Si el cuadrado del seno de 36 grados es el que se dice es evidente que como el cuadrado del seno más el cuadrado del coseno de 36 grados es la unidad se llega a la igualdad : 5 + 3 = 8; por tanto el triángulo rectángulo al que se llega es al de lados : hipotenusa = raíz cuadrada de ocho, un cateto = raiz cuadrada de cinco y el otro cateto = raíz cuadrada de tres;( tres raíces cuadradas de tres enteros.
    Pitágoras demostró que en todos los triángulos rectángulos el cuadrado de lados : “la hipotenusa” tiene una superficie que es igual a la suma de las superficies de los cuadrados que tienen como lados las longitudes de los “catetos”.
    Es evidente que si el diámetro de una circunferencia es 6 unidades todos los infinitos triángulos con vértice en la circunferencia, excepto cinco, tienen sus dos catetos cuantificados con números NO ENTEROS.
    Entre dos números irracionales hay muchísimos números irracionales, más que los que alguien pueda encontrar

  120. Dani | 9 de enero de 2010 | 13:47

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    mmm, creo que debería haber empezado por leer los comentarios anteriores de este post. Con ello hecho creo que mi aportación a esta discusión se acaba aquí.

  121. ely | 12 de enero de 2010 | 01:39

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    mm. oie iio necesitho saber un numero que multipllicado por 7 menos 9 me da 5 qe numero es¿?

  122. Anonimo | 20 de enero de 2010 | 17:47

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    No encontre lo que buscaba pero bueno la informacion esta de acuerdo a los que algunas estaban buscando que lo disfruten .@

  123. oscar | 14 de febrero de 2010 | 15:15

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    Aún a pesar de las sospechas (lógicas) que expresaron algunos aquí, quiero creer que José Antonio es sincero en sus teorías.

    Los errores por parte de los aficionados (entre los que me incluyo) pueden confundir al resto de nuevos aficionados que acceden buscando información. Es una realidad que va más allá de este blog, y afecta a toda Internet. La buena información aparece mezclada con la mala información, e incluso con la desinformación. Tal mezcla es a veces indiscernible y fuente de confusiones, sobre todo entre aficionados. Por eso creo que merece la pena intentar resolver este asunto con José Antonio, de cara a futuras visitas, aunque para ello la discusión se alargue.

    José Antonio, espero haberte entendido bien. Dani parecía demostrarte que no es posible construir un triángulo rectángulo de 36º cuyo seno fuese cociente de dos raíces de enteros. Pero tú respondiste en tu último mensaje que, a pesar de la demostración y para asombro de muchos, podías construir tal triángulo, y que sería este:

    hipotenusa=\sqrt{8}
    cateto1=\sqrt{5}
    cateto2=\sqrt{3}

    Pero cualquier persona que dibuje el triángulo indicado y mida el ángulo resultante, no obtendrá esos 36º que tú aseguras, sino 37.7612439070350380606144826004361º, aproximadamente… El error es bastante grande, casi 2º, cuando debería ser cero.

    ¿Cómo explicas esta discordancia, José Antonio?

    Un saludo

  124. jose antonio | 25 de febrero de 2010 | 11:50

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    OSCAR
    En primer lugar decir que había decidido no intervenir más en este foro.
    Dicho esto creo que tu opinión me obliga a agradecrete que pienses que no es mi intención propagar falacias para intoxicar a nadie, mi única intención es exponer cosas de las que estoy convencido de su veracidad.
    El teorema de Pitágoras es una verdad absoluta, por tanto la superficie del cuadrado, cuyos lados son la longitud de la hipotenusa, (de los infinitos triángulos rectángulos que existen), es igual a la suma de los cuadrados cuyos lados son los de los catetos del triángulo rectángulo anterior.
    Esas tres superficies son independientes del sistema métrico que podamos elegir, no hay que olvidar que Pitágoras no utilizó ninguno, y el teorema es válido en cualquier sistema; tampoco hay que olvidar que algunas de las ternas de cuadrados perfectos aparecieron en tablillas de arcilla, (de los sumerios), muy anteriores a Pitágoras y no digamos al sisema de numeración en base diez y más aún al sistema métrico decimal; la ecuación aritmética que expresa esa igualdad que siempre se verifica con las tres superficies, proviene del concepto de superficie ya que esta es el producto geométrico de la longitud de la base por la de la altura por tanto la ecuación es : bse*sen.90º*altura = superficie del cuadrado
    Si las longitudes las expresamos en metros, (por ejemplo), obtenemos la ecuación aritmética, (con números),
    “a”(metros)*sen.90º*”a”(metros) = a*a metros cuadrados
    por ser sen.90º = 1
    La ecuación aritmética del teorema de Pitágoras es :
    A = a*a = b*b + c*c = B + C
    es evidente que en esta ecuación sólo hay tres números “A”, “B” y “C”, que es el mínimo necesario para poder establecer una ecuación y que esa ecuación impone que los tres números estén, (en este caso), en base diez y todos los números en base diez se trasforman en enteros multiplicándolos por alguna potencia de la base; por otra parte A/A = 1 = B/A + C/A, que no es otra cosa que el invariante sen.w*sen.w + cos.w*cos.w = 1; por tanto siempre sen,w y cos.w son raíces cuadradas de números en base diez y por tanto también de enteros; por lo que el número que pone Dani como seno de 36º no es el seno de ningún ángulo.
    Es evidente que para que se verifique la ecuación anterior es necesaio que cos.36º = uno dividido por cuatro de raíz cuadrada de seis más dos raíz cuadrada de cinco;y eso es imposible; esto se aprende con catorce años, no hace falta ir a Salamanca.

  125. oscar | 25 de febrero de 2010 | 15:12

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    No creo que debas desanimarte a seguir participando en el foro, aunque haya personas que se pongan muy nerviosas con estos asuntos, y a los que también hay que intentar comprender. Esto ha pasado desde el comienzo de la Humanidad (eternos problemas entre culturas, entre religiones, etc, etc…), y no va dejar de pasar ahora, cuenta con ello.

    Voy al grano, mi duda en tu razonamiento, en el que he puesto toda mi atención en comprender paso a paso, está en esa frase:

    >> “todos los números en base diez se trasforman en enteros multiplicándolos por alguna potencia de la base”

    Te refieres a las longitudes de los lados del triángulo, con las que luego formarás cuadrados (geométricos) y sumarás (áreas), como hizo Pitágoras.

    Pregunta\ 1:
    ¿Cómo se interpretaría esa frase si, por ejemplo, uno de los catetos de tu triángulo fuese de longitud \pi, y el otro de longitud e, siendo por tanto la hipotenusa h=\sqrt{\pi^2 + e^2}, con muy poca pinta por cierto de ser entera? ¿Cómo convertirías \pi,e,h en enteros?

    Pregunta\ 2:
    O lo que es lo mismo, aplicaría ésta pregunta a mi último mensaje, que replanteado otra vez (siempre con tu frase en mente) sería: ¿Por qué número multiplicarías a la vez los tres números \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{8} para que acabasen siendo enteros, y que el nuevo triángulo fuese proporcional al original? (Por ejemplo: el triángulo de lados 3,5,8 no vale porque, como te comenté y puedes comprobar tú mismo incluso con un transportador de ángulos, no da un ángulo de 36º)

    Saludos

    P.D: El latex mola\ mazo una vez que le pillas el truco, y aunque cueste un poco te lo aconsejo. Creo que mi próximo mensaje lo escribiré completamente en latex\ \color{red}\boldsymbol{XD}

  126. jose antonio | 27 de febrero de 2010 | 18:57

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    Contestando a Oscar
    Acabo de leer tus preguntas y sólo tengo unos minutos para contestar a las más sencillas; la contestación a la que dices pregunta 1, tiene mucha enjundia y te la responderé cuando tenga un poco más de tiempo, pues esa pregunta me la hice yo mismo y tuve que dedicar bastabte tiempo para encontrar la respuesta de que no existe un ángulo cuya tg. sea el cociente de esos dos números.
    Es evidente que un número decimal como p.ej.37,146 si se multiplica por 1000 se obtiene un número entero, el 37146, sin embargo eso no se puede hacer con ninguno de los tres : raíz cuadrada de ocho, raíz cuadrada de cinco y raíz cuadrada de tres, por la sencilla razón de que esos números no están en base diez, sin embargo si está en base diez el número raíz cubica de ocho.
    En cuanto a la pregunta 2, es evidente que existen infinitos triángulos rectángulos de lados : hipotenusa raíz cuadrada de ocho unidades, (metros p.ej.), un cateto de raíz cuadrada de cinco metros y el otro raíz cuadrada de tres metros; los cuadrados son de 8 metros cuadrados, cinco metros cuadrados y tres metros cuadrados; no existe ningún triángulo de lados (8, 5, 3) unidades.
    Los números que cuantifican los lados de todos los triángulos rectángulos son primos entre si y con la excepción de los conocidos como ternas decimales pitagóricas, (los enteros pitagóricos son decimales), todas las demás ternas tienen al menos un radical no entero, dos radicales no enteros o los tres no enteros.
    Los tres números que siempre están en base diez, o son múltiplos de números en base diez, son A, B y C mientras que a, b, y c, sólo están en base diez, (o son múltiplos), excepcionalmente.
    Espero que esto aclare tus dudas.
    Un saludo

  127. josejuan | 28 de febrero de 2010 | 23:42

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    ¿Cómo?

    “…no existe un ángulo cuya tg. sea el cociente de esos dos números…”

    Reconozco que no sigo en detalle la conversación de “José Antonio”, pero siendo la imagen de la función tangente la recta real, me resulta difícil imaginar dos números finitos no nulos cuyo cociente no esté en dicha recta (la real).

    Para los dos dados, los ángulos válidos son

    \left\{ \arctan \left( \pi e^{-1}\right) +\pi k\mid k\in Z \right\}

    (Ya que meto baza, en mi opinión José Antonio, excepto en tu último mensaje, se hace bastante difícil seguir tus exposiciones [siempre en mi opinión, por poco rigurosas], quizás concretando las demostraciones sería más fácil, no se)

  128. jose antonio | 1 de marzo de 2010 | 19:50

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    Josejuan
    Para explicar que no existe un ángulo cuya tg. sea “e” dividido por “pi” hay que tener primero la certeza, yo la tengo, de que en todos los infinitos ángulos que existen se verifica que seno al cuadrado más coseno al cuadrado, del mismo ángulo, es el número uno; 2º que coseno al cudrado más coseno al cuadrado, de dos ángulos distintos, es igual a uno, sólo cuando los dos ángulos son complementarios, o sea suman 90º.
    Para explicar como llegar a la conclusión de que esa tg. no existe tengo que utilizar conceptos que el Sr. Morales eliminaría al instante, como hizo, por mucho menos, cuando el 2 de abril de 2009, eliminó mi envío, como puede comprobar todavía, si antes no elimina éste y el suyo, de esa fecha.

  129. josejuan | 2 de marzo de 2010 | 00:19

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    Uhm… yo no tengo ningún inconveniente (y en mi opinión, dudo que Morales o cualquier otro lo tenga) en que se me muestren diferentes puntos de vista de ver las cosas, es más, ¡me interesa!, pero por supuesto, éstos deben basarse en pruebas sólidas y coherentes. A priori, no dudo que las tuyas lo sean, pero tus comentarios como el último, dan muy poca confianza e, intentando ser lo más constructivo posible, suenan a charlatanería (no quiero ser hiriente, pero es el adjetivo que describe el recelo que siento al leer tus comentarios sin pruebas).

    Oscar como otros han hecho un esfuerzo por concederte el don de la duda y entenderte. Yo mismo he indicado mi sorpresa por tu afirmación de que no existe un ángulo cuya tangente sea Pi/e (o al revés, me da igual).

    Es probable que debas bajar a niveles muy básicos para remover y reestructurar determinados elementos, pero dicho esfuerzo es imprescindible si realmente deseas que los demás te entendamos.

    Vaya, que no se pueden hacer afirmaciones como las que haces diciendo que no tienes tiempo.

    Si se ha eliminado algún comentario, seguro que no contendría una prueba irrefutable (ni aproximada), sino alguna afirmación “sorprendente” (por ser fino) sin ninguna prueba.

    De todos modos, te animo a exponer en un documento tus propias conclusiones, yo al menos te aseguro que me tomaré el tiempo suficiente para (intentar al menos) entender tus explicaciones ¡pero que sean completas!.

    Siento si mi comentario parece duro, pero: o no deseas que te comprendamos, o deberás hacer un esfuerzo por exponer de forma clara y completa tus ideas ¡pues los demás estamos haciendo un esfuerzo por comprenderte!

  130. oscar | 2 de marzo de 2010 | 01:49

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    Lo siento, José Antonio, pero cuesta seguirte, no sé si eres consciente de ello. Para mí es intuitivo que por supuesto que se podría construir un triángulo de catetos \pi y e, y que su ángulo existe…¿Pero cómo no va existir, hombre?

    La simple calculadora del pc te dirá que la hipotenusa de tal triángulo mide 4,1543544 unidades. Ya puedes dibujar el triángulo en un programa de cad por ejemplo, y comprobar tú mismo si sus ángulos “existen” o no, y si están de acuerdo o no con la fórmula del arco tangente. Yo, desde luego, lo he comprobado muchas veces (con otros catetos, claro) como para no dudar de ello a estas alturas. Cuando coges la calculadora y ves que el arco tangente funciona y da el ángulo que todos esperamos, ¿no sospechas que podrías estar equivocado? No sería nada vergonzoso, el reconocimiento de errores es parte natural (y muy noble en mi opinión) del método científico.

    De verdad me sorprende, no quiero caer en el criticar por criticar, aunque reconozco que me sobrevuela la sospecha, como les pasó a otros aquí seguramente, de que nos puedes estar tomando el pelo con una especie de jerga patafísica, o sea, una parodia de la ciencia con la que a lo mejor te tronchas de nosotros. Espero que no sea así.

    Las únicas razones que se me ocurren que podrías aducir serían técnicas, supongo, del tipo de que nunca será técnicamente posible construir un lado de longitud \pi exacto, por ejemplo. Y por la misma razón nunca podrás dibujar una línea de longitud exacta igual a 1, a 2 o a 100 unidades, dando igual si es en base 10 o en base googolplex. La última molécula de tinta (o de cualquier material de este universo) con la que pintes sufrirá vibraciones térmicas aleatorias, oscilará en anchura y posición, oscilará cuánticamente recorriendo infinitas rutas superpuestas, ya de por sí inimaginable. Luego nunca se conseguirá la exactitud requerida, y el ángulo no existirá como tal (ni ese ni ninguno), al menos durante un tiempo mensurable. ¿Te refieres a eso? Si no es así, entonces no lo entiendo, me quedo con las ganas, a no ser que intentes explicarte mejor.

    A modo de guasa/curiosidad, el ángulo \arctan \left( {\frac {\pi }{{e}}} \right) resulta ser
    49.13180624091392048047562736089003355478364854698230479823811462421378193984\º
    en decimal, o si lo prefieres
    110001.0010000110111110000011011100011000100010010011001110000110011001101001\º

    en binario, que para no existir… ¡abultan bastante! Bueno, espero que tengas sentido del humor.

    En caso de que decidas continuar explicándote, me gustaría que te centraras concretamente en la frase:
    “…no existe un ángulo cuya tg. sea el cociente de esos dos números…”

    Saludos

  131. jose antonio | 3 de marzo de 2010 | 20:55

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    Oscar :
    Me gustaría saber que valores de “pi” y de “e” ha tomado para calcular la tg.= “e”/”pi”, pero supongo que ha tomado dos números en base diez, (muy aproximados, por supuesto, a los límites “e” y “pi”), por tanto no ha utilizado ni “e” ni “pi” y en las tablas le da un ángulo al que no le corresponde esa tg.
    El seno y el coseno de todos los ángulos son siempre los cocientes de las longitudes de los catetos divididas por la longitud de la hipotenusa, por tanto números, y siempre se verifica el invariante,(para cada ángulo): seno*sen + coseno*coseno = 1 . ¿Qué denominador común pueden tener “e” y “pi” para que la suma de esos dos “QUEBRADOS” sea el número UNO? Con numeros decimales, tan cerca de “e” y de “pi” como queramos, siempre encontraremos ese denominador común, basta con sumarles; pero alguien sabe sumar “e” + “pi” = ?.
    Los conceptos seno y coseno son números y por tanto discontínuos y por tanto pasaremos de un valor del seno para valores menores que “e” y “pi” a otro valor si tomamos valores mayores y podremos acercarnos a los de “e” y “pi”, pero nunca llegaremos a ellos.
    Que cada uno saque la conclusión que se deduce de este invariante numérico; yo la tengo muy clara.
    Por cierto, con elementos materiales no se puede, en la práctica, hacer lo que usted dice bien, ni siquira el metro patrón que se guarda en París tiene las cuatro aristas exactamente iguales, pues la probabilidad que en las cuatro haya el mismo número de moléculas de platino e iridio es casi cero.
    Muchas gracias por la corrección con que me hace sus observaciones; por supuesto que tengo sentido del humor, pero cuando digo algo en serio es por que creo en lo que digo, por eso nunca me ha dedicado a la política.

  132. josejuan | 4 de marzo de 2010 | 10:12

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    Hombre, aquí tienes un error garrafal, y creo (sólo creo debilmente) entender donde está tu “forma de verlo”.

    Si te limitas ESTRICTAMENTE a enfocar el tema de las relaciones de un triángulo rectángulo desde un punto de vista de fracciones (cateto1/cateto2) y además aderezas esa rígida forma de verlo con una interpretación truncada de “un número en base 10″ entonces (y sólo entonces) tu razonamiento es cierto, no cualquier ángulo es válido.

    Antes de indicar cual es (según yo y creo que es lo habitual) la forma “correcta” de verlo, decir que cuando Oscar pone (en base 10) tal o cual cifra que luego tú consideras incorrecta, es únicamente por las limitaciones técnicas de transmitir mediante una página HTML dos números irracionales (y su división o cualquier otra operación) pero él ha dejado claro que se trata de

    \frac{\pi }{e}

    y no

    1.\,\allowbreak 155\,7

    quizás, habría quedado más claro estableciendo la identidad como

    \frac{\pi }{e}\simeq \allowbreak 1.\,\allowbreak 155\,7

    aunque creo que se le puede perdonar a Oscar, puesto que todo el mundo (perdón, casi todo el mundo) entiende que los decimales se han truncado para no desbordar la pobre memoria de nuestros ordenadores (y las nuestras mismas).

    En cualquier caso, ¿en que base está el número \pi ?, ¿podrías decírmelo?, ¿y en que base dirías que está expresado el valor \frac{\pi }{e} (porque efectivamente con dicha expresión queda PERFECTAMENTE definido un valor numérico)?.

    La respuesta está clara ¡en ninguna! puesto que las bases, no son más que un convenio para “formatear” los números.

    Por poner un ejemplo al respecto, cuando se dice que un número N (entero) es divisible por tres cuando la suma de todos sus dígitos en base 10 es divisible por tres, ¡tampoco aquí está “actuando” la “magia” de las bases! ¡no! son relaciones puramente matemáticas (y platónicas) las que están actuando, puesto que una base sólo es un convenio para poder “ver” los números., de hecho, para demostrar tal propiedad ¡expresamos la demostración en base 10! (aunque podríamos expresarla en base 16, 43, … y por supuesto en base 3).

    Toda esta retaíla anterior, únicamente quiere decir que, ¡pases de las bases!, ¡que pases de la base 10! y que un NUMERO no tiene nada que ver con la base en la que está expresado (hombre, nada, nada, …).

    Bien, así la cosas, a tu pregunta “…Qué denominador común…” es obvia, ¡un denominador común irracional! es decir, si lo pones en base 10, ¡tendrá infinitos decimales!.

    Simplificando tu pregunta (de la suma del cuadrado del seno y coseno dan 1), ¿qué “misterioso” denominador común existe entre los dos siguientes sumando para que den 1?

    \frac{\pi }{a}+\frac{\pi }{b}=1

    obviamente y aunque he puesto (adrede) ‘a’ y ‘b’ sabemos que es a=b. Bien, ¿cual es ese “misterioso” denominador común?

    ¡pues 2\pi ! que por supuesto no se puede poner estrictamente en base 10, puesto que obtendríamos infinitos dígitos decimales.

    ¡Pero eso no quiere decir que tal denominador no exista!

    En fin, creo haber entendido el lío…

  133. josejuan | 4 de marzo de 2010 | 10:17

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    Jose Antonio, si sigues teniendo dudas, antes de contestar, repasa la frase que pongo “…porque efectivamente con dicha expresión queda PERFECTAMENTE definido un valor numérico…”.

    Porque (como sueles expresar tú) “para mí está muy claro que el valor, el número \frac{\pi }{e} sí existe (aunque no pueda dibujarlo directamente)”

  134. josejuan | 4 de marzo de 2010 | 10:22

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    Otra más Jose Antonio (estoy que me lanzo)

    ¿Cuestionarías la siguiente afirmación?

    “El número [cero coma nueve periodo] es exactamente el mismo número que 1″

    Burdamente expresado, la habitual habría sido indicar (es que no se como se pone periodo en latex)

    0.99999\cdot \cdot \cdot =1

    De tu última exposición yo diría que sí que lo cuestionarías.

  135. josejuan | 4 de marzo de 2010 | 10:25

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    Otra más (espero que no me hechen por pesao)

    Dices que “…conceptos seno y coseno son números y por tanto discontínuos…”.

    Y eso quien lo dice, ¿tú?.

    Entonces el operador “división” es también una función discontinua (según tú, claro).

    En fin, creo que si realmente ves las cosas así estás en un error o, de lo contrario, sugiero que encuentres algún caso (e.g. alguna propiedad de los números) que tenga sentido a tu manera y no a la habitual.

    (Perdón si uso “habitual” alegremente).

  136. mper23 | 5 de marzo de 2010 | 11:04

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    Guau, hacia tiempo que no veía tanta ¿pasión?. Debe ser el paro, que deja mucho tiempo libre. Está pasando esto:
    El profesor de inglés a un novato le da la frase siguiente para después traducírsela y explicársela:
    “My name is Agustín”
    “Mi nombre es Agustín”
    My (mai) es Mi
    name (neim) es nombre
    is, es
    y…
    El alumno: espere, espere, no lo entiendo, ¿no ha dicho que el nombre es Agustín? ¿En qué quedamos, Agustín o neim?

    Pues eso.

  137. jose antonio | 9 de marzo de 2010 | 21:23

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    ¿Cuantos valores hay de “pi”?
    Me parece evidente que infinitos, ya que podemos tomar aquel que nos calcule el perímetro del polígono regular inscrito en la circunferencia, cuya diferencia con ésta esté por debajo de un determinado valor; si estamos dispuestos a aceptar un error menor del 14.2% nos basta con : pi = 3; si es suficiente con un error inferior al 4.2% tomaremos pi = 3.1; si menor del 0.2% tomaremos 3.14 y así sucesivamente; por tanto debemos tomar el valor de “pi” que nos sirva,(hay valores de “pi” con varios miles de decimales y todos están en base diez).
    Ustedes saquen la conclusión que procede.
    Para mi está claro que ninguno de los infinitos polígonos inscritos, o circunscritos, a una circunferencia puede ser esa circunferencia.

  138. josejuan | 9 de marzo de 2010 | 21:45

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    Sinceramente “jose antonio”, tienes un grave problema con tu forma de interpretar los resultados matemáticos. Y si pensaras 5 minutos en tu último párrafo, te darías cuenta de que sólo dices barbaridades sin sentido (o igual lo sabes y lo haces a drede).

    En fin, me rindo. Únicamente te recomiendo una buena lectura para saber lo que es un número (ya que para tí parece ser únicamente una secuencia más o menos larga de dígitos decimales).

    “Fundamentos de Análisis Matemático” de “V. Llín” y “E. Pozniak” Editorial Mir Moscú. Capítulo 2 “Teoría de los números reales”, especialmente el punto 1 “Números reales”. Ya que parece que no sabes lo que son.

    Quizás “mper23″ pueda explicarte tu error en un par de frases.

    (Sí, es sarcasmo).

  139. Angel | 10 de marzo de 2010 | 03:37

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    hola, ke discucion mas larga no kreen, weno io solo estoi a ki pa molestar solo soi una dolescente en una conversasion de adultos xD, io solo les voi a decir algo las matematicas son geniales io las amo aunke mi nivel de entendimiento es inferior al de uds me encantaron las discuciones aunke me fue mui dificil entenderlas (demasiado a muchas casi no les entendi) i me gustaria ampliar mi conocimientos si me pudieran recomendar algun no ce libro o algo asi soi de noveno año no ce de donde son uds io soide costa rica i apenas estoi entendiendo poko acerka de los numeros irracionales me gustaeria aprender un poko asi ke si me recomiendan uno se los agradesko

  140. Angel | 10 de marzo de 2010 | 03:47

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    ahh tambien me gustari saber como sacar las raices sin usar una calculadora si alguien me pudiera decir como es ke ami no me gusta usar la calkuladora prefiero probarme ami mi mismo y por eso e sakado kalificaciones bajas xS weno grax adios

  141. oscar | 10 de marzo de 2010 | 15:18

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    Mulder tenía razón… están ahí fuera… y aquí, entre nosotros… ahora lo comprendo todo.

    He desencriptado el código secreto del mensaje anterior usando los algoritmos de John F.Nash (perdón por la pequeña burla) y lo he comprendido.

    Tal vez Carl Sagan tenía razón (léase y disfrútese su novela “Contacto”), y al escribir Pi en base 11 aparecerá, en el dígito chorromil trillones y medio más uno, codificada mi propia cara en forma de unos y ceros, sacando la lengua, riéndose de sí misma y fumándose un puro… Y lo más extraño de todo es… ¡Que yo no fumo! El misterio es insondable, amigos racionales, irracionales, cebras y resto de adorables cuadrúpedos.

    Así que me rindo también, dejo al devenir que ruede tranquilo hacia su propio futuro…

    Saludos a tod@s.

  142. jose antonio | 26 de marzo de 2010 | 20:57

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    Supongo que todos están de acuerdo que es imposible la cuadratura del círculo, por tanto esto es lo habitual.
    Por otra parte, es también habitual, que todo número cuantifica una longitud, por tanto si “pi” es un número existe una longitud de “pi” unidades, de uno dividido por raíz cuadrada de “pi” (unidades), del cuadrado de “pi” y demás potencias y raíces, de donde se deduce que existe un cuadrado cuyos lados miden “raíz cuadrada de “pi” unidades” y de superficie “pi” (unidades de superficie; si tomamos un círculo cuyo radio es la unidad es evidente que existen un cuadrado y un círculo con igual superficie.
    Según este razonamiento, si “pi” es un número, la cuadratura del círculo es evidente, pero si la cuadratura del círculo es imposible “pi” no puede ser un número.
    Espero que alguien me aclare esta cuestión, pues me falla lo “habitual”.
    Les recomiendo que no pontifiquen tan a la ligera como lo hacen y dejen esa profesión para el Papa y los Ayatolas.

  143. oscar | 27 de marzo de 2010 | 19:57

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    Quizá nos metamos en lo que llaman un offtopic, o sea, cambiar de tema y acabar lejos del tema de partida… pero me atrevo a decir que el núcleo de esta discusión está en la forma en que cada uno de nosotros distinguimos el concepto de cantidad, frente a los distintos “garabatos” (dígitos, guarismos, etc) que trazamos en un papel cuando queremos representarla.

    Respondiendo a Josá Antonio, matizaría algo que seguro que él ya sabe (y que espera que recordemos), y es que la cuadratura es imposible pero SÓLO cuando se intenta con regla y compás. Pero de ahí a decir que \pi no exista es mucho camino.

    Muy pocos dudarán que entre las cantidades “3″ y “4″ hay infinitas cantidades más, entre las que estará \pi, ¿por qué no?, igual que otros tantos más, racionales e irracionales. No hay razón para pensar que el espacio (abstracto) entre esas dos cantidades “3″ y “4″ sea discreto (finito) y resulte que ciertas cantidades no existan mientras que otras sí. ¿Qué razón habría?

    La cuadratura del círculo es un problema clásico que sirve para visualizar la imposibilidad de construir una ecuación finita que genere la cantidad “\pi” como resultado de un cálculo (y que no haga trampa e involucre al propio \pi en la ecuación, claro, jeje). Sólo una serie infinita de cálculos lo generaría, cosa que parece un inconveniente… ¡pero eso tampoco quiere decir que no exista esa cantidad!

    El hombre o la mujer perfectos tampoco existen… ¡y nadie debería usar esto como razón para decir que, “por lo tanto”, los seres humanos no existen!

  144. jose antonio | 28 de marzo de 2010 | 13:20

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    Extimado Oscar.
    Me alegra que usted me conteste con razonamientos y no con descalificaciones; espero que usted me saque de mi error, (se lo agradeceré), o yo le saque del suyo, si es usted el equivocado.
    Casi a diario me acuerdo del mejor profesor que he conocido y que cuando dibujaba una “figura” en el encerado decía : “supongamos que esto es un triángulo, un cuadrado, una circunferencia, etc.”, una vez yo le pregunté : “por que esa figura no es un cuadrado”,él me respondió : “por la sencilla razón de que el perímetro del cuadrado es invisible y las líneas que yo he dibujado ni siquiera son rectas, tampoco iguales, ni paralelas”, por tanto esta figura no puede ser un verdadero cuadrado, pero nos sirve para utilizarlo como si lo fuera.
    Con regla y compás podemos dibujar una figura que es una representación de un cuadrado y otra con un compás que representa una circunferncia, pero lo que vemos es una masa de tinta, de tiza, una grabación en una piedra, etc., pero no un cuadrado ni una circunferencia, lo que si ocurre es que nos sirve para representar el conepto de cuadrado y de circunferencia.
    Con la misma precisión que podemos tener para acotar una longitud de un metro, (por ejemplo), podemos acotar una longitud de “pi” metros y con la misma que podemos acotar una de “raíz cuadrada de dos” podemos hacerlo de otra de “raíz cuadrada de “pi””,por tanto : La afirmación de que es imposble la cuadratura del círculo, implica que no puede existir el número “pi” y viceversa : si “pi” es un número la cuadratura del círculo es un ejecicio para niños.
    Espero que me explique, y se lo agradeceré, en que falla mi razonamiento.
    Un cordial saludo.

    .

  145. josejuan | 30 de marzo de 2010 | 08:50

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    “…La afirmación de que es imposible la cuadratura del círculo, implica que no puede existir el número “pi”…”

    Demuestralo valiente (la implicación), que hablar es muy fácil (y no es descalificación, es un reto).

    Yo afirmo (bueno, yo no, [que + quisiera], Euler y otros) que

    \frac{1}{\zeta (2)}=\frac{6}{\pi ^{2}}

    (despéjese Pi, que es la única incógnita en la expresión).

    Y si te sales por peteneras (como sueles hacer), tú no estás hablando de matemáticas, estás hablando de otra cosa.

  146. oscar | 30 de marzo de 2010 | 10:58

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    No soy la persona más indicada para enumerar los errores de los demás, vaya esto por delante, pues me cuesta enumerar incluso los los míos. Luego todo lo que sigue no son más que opiniones.

    Creo que José Antonio sabe perfectamente que la mayoría de nosotros va a ser incapaz de aceptar su “no existencia” de \pi, y sospecho que se divierte viendo cómo tratamos de defender nuestras posiciones, cosa que me parece muy positiva (aunque a algunos les ofenda hasta la desesperación). Su estrategia puede variar, ya sea omitiendo responder a algunas preguntas clave, o esquivando esas respuestas por medio de nuevas preguntas que desvíen la atención, o llevándola hacia terrenos más ambiguos donde la discusión (¡y la diversión!) pueda eternizarse aún más.

    Por ejemplo, la demostración de Dani más arriba me pareció clave en esta discusión, era clara y precisa, pero fue eludida con una nube de tinta que la relegó al olvido.

    Esto me recuerda a las eternas polémicas del tipo “¿Llegó realmente el hombre a la Luna?”. La mayoría respodemos que sí (y tenemos razones para hacerlo), pero siempre aparece una minoría de personas que sostienen teorías alternativas, esquivando al estilo Matrix los argumentos contrarios que no les convienen, y disfrutando mientras sacan de quicio a los fieles seguidores del dogma oficial.

    Tal vez José Antonio siente el intenso placer de creer que ha descubierto algo único y especial (a mí me pasó hace tiempo cuando “descubrí” una teoría gravitatoria alternativa, y resultó que un tal John Le Sage ya la propuso… ¡nada menos que en 1700 y pico!). Por eso sé que la sensación del descubrimiento, sobre todo para un aficionado, es algo de lo que cuesta desprenderse.

    No sé si será el caso de José Antonio, pero sí sé que mi ignorancia de aficionado se resiste a creer que entre los números 3 y 4 no se pueda encontrar otro, llamado \pi por convenio, uno más entre los infinitos con la propiedad de ser mayor que 3 y menor que 4. ¿Que no se puede expresar con quebrados (irracional) ni con polinomios (trascendental)? Pues no, no se puede. Pero eso es normal, no hay que alarmarse, entra dentro de la democracia de los números, algunos tienen propiedades especiales que otros no tienen, es uno de los misterios que vino en el equipamiento de serie de nuestro universo.

    Si cometo algún error, también se debería a mi incapacidad para aceptar esto:
    >> “La afirmación de que es imposble la cuadratura del círculo, implica que no puede existir el número “pi””

    La imposibilidad de la cuadratura del círculo sólo refleja las propiedades de irracionalidad y trascendentalidad de \sqrt{\pi}, pero de ahí a afirmar su “no existencia” es dar un salto arbitrario.

    Por ejemplo, la demostración de la no racionalidad de \sqrt{2} (aquí) demuestra sólo eso, su no racionalidad, ¡pero no justifica que \sqrt{2} no exista! Eso sería también una afirmación arbitraria. Con la trascendentalidad de \pi pasa lo mismo.

    Yo estoy dispuesto a reconocer mi error allí donde esté, por supuesto, pero hasta ahora no consigo ver un punto de conexión. Mientras los administradores de la web lo permitan (desde aquí bendigo su paciencia, amén), podemos seguir intercambiando ideas.

  147. jose antonio | 31 de marzo de 2010 | 14:10

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    Extimado Oscar:
    Hasta que no vi esa demostración de Dani, de fecha 6 de enero de 2010, yo no ponía en duda la existencia del número “pi”. Calcule usted la ecuación :
    sen.w·sen.w + cos.w·cos.w = 1 de donde se deduce :
    16 = (10 – a) + (6 + a)= 10 + 6
    en la que “a” es “dos raíz cuadrada de cinco”, (o cualquier otro número).
    y despues me explique como es posible que si :
    16 = 10 + 6 son los cuadrados de las unidades de longitud de los lados de un triángulo rectángulo, también lo sean de otro:
    16 = (10 – a) + (6 + a)
    ¿Son poibles los dos triángulos?
    si usted descubrió esa teoría grabitatoria ¡enorabuena!; no tenga pena por el hecho de que alguien se le adelantara 300 años

  148. josejuan | 31 de marzo de 2010 | 14:41

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    Anda que no lías las cosas.

    Para empezar no es el 6 de enero de 2010, sino 8 de enero de 2010 y mucho mejor poner el enlace:

    http://gaussianos.com/numeros-irracionales-cebra/#comment-32374

    Por otra parte (y como comenta Oscar) vuelves a hacer de Neo en Matrix y esquivas las peticiones de que demuestres las cosas que dices (algo que para tí debe ser superficial, claro).

    Por último, no mezcles churras con meninas, tú estás afirmando que:

    sen.w·sen.w + cos.w·cos.w = 1 de donde se deduce :
    16 = (10 – a) + (6 + a)= 10 + 6

    Demúestra eso primero y luego hablamos de triángulos.

  149. oscar | 1 de abril de 2010 | 23:25

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    José Antonio, creo que con su pregunta vuelve a descartar la demostración de Dani, y es una pena porque era elegante.

    Así que acepto ese capote rojo que usted agita ante mí en forma de dos triangulitos, y echaré a correr tras él, consciente del error que cometo.

    Dice usted: >> ¿Son posibles los dos triángulos?

    Bueno… Yo diría que sí. Si entiendo bien, las dos ecuaciones:

    16 = 10 + 6
    16 = (10 – a) + (6 + a)

    representan dos triángulos de hipotenusa \sqrt{16}, aunque con diferentes catetos.

    ¿Cuántos triángulos rectángulos posibles existen con hipotenusa igual a \sqrt{16}, y diferentes catetos?

    Algo más que dos, ¡Infinitos!. Tantos como puntos dibujaría un compás abierto mientras gira sobre el papel, con radio \sqrt{16}. Entre ellos, los dos que usted presenta, para cualquier valor de a entre 0 y 9.\widehat{9}. ¿Qué tienen de malo estos triángulos para no ser posibles? ¿Y qué tiene que ver con la no existencia de Pi? ¿Y con la demostración de Dani? ¿No son demasiados cambios de tema?

  150. jose antonio | 5 de abril de 2010 | 09:37

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    Buenos días Oscar :
    Anoche vi sus consideraciones y quiero aclarar que simplemente hacía una pregunta, ya que no estoy seguro de que siempre sea posible y también que no cambio de tema.
    Creo que es evidente que si “pi” es un número existen sus potencias y sus raíces, por tanto existe una longitud, en el eje OX, que dista del origen “pi” unidades de longitud, (metros por ejemplo) y otra en el eje OY que dista también “pi” metros y el cuadrado cuyos lados son esas longitudes mide exactamente el cuadrado de “pi” metros cuadrados; asi mismo existe otra longitud de raíz cuadrada de “pi” metros y una circunferencia cuyo radio es raíz cuadrada de “pi” metros y el círculo de ese radio mide exactamente lo mismo que el cuadrado anterior.
    Es evidente que si existe el número “pi” es posible la cuadratura del círculo; yo estaría muy orgulloso de haber resuelto un problema que todos los matemáticos que en el mundo han sido han afirmado que “es imposible la cuadraturadel círculo”
    También es evidente que se viene admitiendo que la integral de : dl = r·dw es, para el valor máximo de “w” : l = 2·pi·r, es decir que la longitud de la circunferencia es el producto del número “2″ por el ángulo “pi” y por el radio de la circunferencia; la pregunta que yo me hago es : ¿es posible esa ecuación diferencial y esa integral?. 
    Para Dani y para todo el mundoes normal admitir que “pi” es un ángulo y un número, pero el número que cuantifica al ángulo “pi”, parece que debiera ser un número mayor que 3,14 y menor  que 3,15, bastante diferente de 180 . 
    La no existencia de las ecuaciones : dl = r· dw y l = 2·pi·r, tendría una repercusión enorme en el cálculo infinitesimal, ( a mi modo de ver).
    Espero la crítica constructiva a mis deducciones.

  151. josejuan | 5 de abril de 2010 | 15:04

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    jose antonio, insistes en que Pi no existe.
     
    Bien, dejemos a un lado a Pi.
     
    Fijémonos en el número 2, del cual creo (y no es ironía) aceptas su existencia.
     
    De tu afirmación “Creo que es evidente que si “pi” es un número existen sus potencias y sus raíces, por tanto existe una longitud, deduzco tres alternativas a tu planteamiento (que no explicas):
     
    1. que 2 es un número y por tanto existe una longitud.
    2. que existe una longitud a la que llamamos 2 y por tanto 2 existe.
    3. que ambos se cumplen recíprocamente.
     
    Ahora bien, ¿cómo tú estás relacionando esa longitud con un número?, ¿de qué forma?.
     
    Por favor, responde a ésta pregunta ¿qué es para tí una longitud y/o un número? (número real por supuesto)

  152. jose antonio | 9 de abril de 2010 | 11:31

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    Josejuan
    te voy a contar algo que me ocurrió ayer; yo he sido pastor toda mi vida y ayer, en el campo, parió una oveja dos corderos, que tuve que llevar hasta el aprisco, uno en cada mano, recorriendo unos trescientos metros; junto al aprisco, entre los fardos de la paja hay una perra mastina que parió el martes ocho cachorros y como la matamos seis cachorros ahora la quedan dos.
    Lo que he relatado es verdad y de esta historia se deduce que el número uno me ha servido para cuantificar : el concepto : “oveja” “perra” y “aprisco”, el número dos para cuantificar : “corderos”, “manos” y “cachorros”; el número trescientos para cuantificar “distancia o longitud”, y el número ocho para cuantificar “cachorros”.
    Creo que con esto te quedará claro lo que es, para mi, un número. que me sirve para cuantificar elementos de distintos conceptos, entre ellos el de longitud.
         Ahora quiero hacer el siguiente razonamiento : para recorrer esos trescientos metros tuve que recorrer primero un metro, luego dos metros, luego tres metros, luego cuatro metros; entre los tres y los cuatro metros también pasé por los  “tres coma uno” y “tres coma dos” metros y entre estos debe, o debiera, estar  “pi” metros, supongo que nadie duda de la existencia de los números “uno”,  “dos” “ocho”, “trescientos”, “tres coma uno” y tres coma dos, expresados en lenguaje matemático por los símbolos : “1″, “2″, “3″, “4″, “8″, “300″, “3,1″ y “3,2″ por tanto : pregunto ¿Existe o no el número “pi” ?  
    Es evidente que si existe, y parece que si, también existe su raíz cuadrada y por tanto un círculo cuyo radio tiene la longitud de raíz cuadrada de “pi” metros, y de superficie : S = pi·pi metros cuadrados; también existe un cudrado cuyos lados miden “pi” metros y su superficie es : S = pi·pi metros cuadrados; la pregunta que yo hago, a quien pueda contestarla, es : ¿Es posible, o no, la cuadratura del círculo? y cualquiers que sea la respuesta ¿por qué?  

  153. josejuan | 9 de abril de 2010 | 15:14

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    Entonces, basas tu no existencia del número Pi en la no posibilidad de la cuadratura del círculo. ¡Pero es que estás ignorando la definición de “cuadratura del círculo”!.
     
    Por favor, léete la definición de cuadratura del círculo
    http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_del_circulo
     
    Como puedes comprender, que no tenga solución el problema “cuadratura del círculo” no implica (ni remotamente) que no exista el número Pi.
     
    Vaya, que tu razonamiento mezcla churras con meninas y es normal que se monte un lío de mucho cuidado.

  154. oscar | 9 de abril de 2010 | 21:11

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    Las últimas ideas de José Antonio me van cuadrando más, casi del todo.

    José Juan tiene razón, deberías repasar la definición del problema de la “cuadratura del círculo”. El elemento clave de la definición es que se te impone una condición, que lo hagas “con regla y compás”.

    ¿Y eso qué quiere decir? Combinando regla y compás, puedes generar lo que llaman números construíbles. Te pongo una definición, sacada de aquí: “Llamamos números construibles a los números que con ayuda de los instrumentos clásicos de dibujo (regla y compás) se pueden representar sobre una recta en la que hemos señalado dos puntos que representan al 0 y al 1. Todos los números racionales son construibles y algunos irracionales también”. Por ejemplo, sería como tomar un segmento de tamaño 1 y reducirlo a la quinta parte sólo por procedimientos geométricos, sin hacer ninguna suma, resta, etc.

    La siguiente pista te la saco de aquí: “Un número real es construible si y solo si es solución de una ecuación de grado potencia de dos en Q”. La demostración de esto viene de la teoría de Galois, que se escapa a mi entendimiento. Tengo fe en que sea cierta… jejeje

    Luego ya tienes la dos piezas del puzle. Ahora únelas. Si yo mismo lo entiendo bien (que no estoy seguro), sólo los números que son solución de una ecuación como por ejemplo a*x^2+b*x+c (donde a, b y c son enteros o racionales), o cualquier otra de grado 2^n, pueden construirse con operaciones de regla y compás.

    En Wikipedia te da la tercera pieza del puzle: “el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que \pi es un número trascendente”. Trascendente significa que \pi  nunca será solución de un polinomio como el de antes… Luego ya está, nunca podrás extraerlo con regla y compás a partir de una figura conocida, ni siquiera de una circunferencia de radio 1, y tampoco llegarás a hacer un cuadrado con él… ¡pero sólo con regla y compás, ojo!. Numéricamente siempre podrás, por supuesto.

    A los no entendidos nos pasa lo que a los fieles de una religión (parece mentira, hablando de ciencia…), pero hay que “tener fe” en aceptar aquello que no se entiende. Ya me gustaría a mí entender la teoría de grupos de Galois, por ejemplo. Como no puedo, hago un acto de fe (espero se me perdone la herejía científica) para poder seguir adelante.

    Sobre los cachorros sacrificados, yo bajaría el tono de voz un poco, porque nosotros (los animalistas de la ciudad) nos hemos vuelto muy sensibles a esas cosas, llevamos tanto tiempo encerrados entre paredes, viendo la tele y huyendo de la muerte, que es muy fácil escandalizarnos al oír a alguien decir tranquilamente algo como “la matamos seis cachorros”.

    Me agrada mucho la idea de que a un pastor le gusten los números, ojalá sea cierto y no una broma como he llegado a sospechar alguna vez, que internet a veces no es muy fiable.
     
    Ánimo y que no decaiga esa ilusión, y no haga mucho caso de los berrinches de los sabios cuando se enfadan con los aficionados…
    Saludos

  155. Andor | 9 de abril de 2010 | 21:17

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    Por cierto, supongo que quisiste decir “le matamos 6 cachorros” en lugar de “la matamos 6 cachorros”. Cuidado con esos laísmos y que no te pille la protectora de animales (la de los perros, no la de los humanos).

  156. jose antonio | 11 de abril de 2010 | 10:44

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    Buenos días :
    Me alegra enormemente que al menos Oscar admita que “numéricamente siempre es posible”, supongo que eso es admitir que como la superficie es un concepto continuo existen siempre dos superficies, una cuadrada y otra circular, iguales.
    Doy por recibida respuesta a una de mis dos preguntas, la otra les recuerdo que es  ¿Es correcta la ecuación : dl = r·dw? , de donde se deduce que : l = r·w = 2·pi· r y por tanto en esta ecuación “pi” no es un número, ya que es un ángulo, a no ser que yo esté equivocado y ambas palabras “número y ángulo” expresen el mismo concepto, en cuyo caso el concepto número sería continuo y derivable.
    En cuanto a la fe, yo sólo creo en los teoremas y corolarios, no soy tan afortunado como los que me descalifican citando a  Euler y otros, con los que, evidentemente, no puedo contar para que me aporten sus conocimientos y me aclaren las dudas que me van surgiendo al tratar de aprender matemáticas.
    En cuanto a las dudas de si yo soy, o no, pastor puedo asegurarle que desde muy niño hasta el año 1986 lo fuí de mi propio rebaño, habiendo sido el primer pastor y ganadero, no confundir los términos, que instaló una sala de ordeño mecánico para ovejas, la cual recibió muchas visitas de ganadros, estudiantes, curiosos y hasta del ministro de dearrollo de uno de los gobiernos de la dictadura.
    Además de pastor y ganadero, durante catorce años estudié, pero durante las vacaciones ejercía de pastor y cuando ya dejé der ser ganadero, al menos una semana la dedico a sustituir a un pastor durante el verano en los pastos de montaña.
    En cuanto a tener que sacrificar algunos cachorros, no queda otro remedio, pues nacen muchos y no suele haber a quien darlos, creo no exagerar diciendo que he regalado más de mil mastines, sólo el año pasado, pasaron de cuarenta.
    En cuanto a la corrección de Andor, gracias, pero te agradecería mucho más si me aportaras algún conocimiento de matemáticas y a Josejuan decirle que conozco muy bien todas las razas españolas y no las confundo. 

  157. josejuan | 11 de abril de 2010 | 13:34

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    “…a Josejuan decirle que conozco muy bien todas las razas…”
    Dudo que yo haya aseverado nada acerca de razas de perros, pues mi ignorancia en el tema es enorme.
     
    Por otra parte, me alegro que hayas entendido el error del tema de la cuadratura del círculo.
     
    En cuanto a tu cuestión pendiente, yo creo que el error es el mismo:
    “…a no ser que yo esté equivocado y ambas palabras “número y ángulo” expresen el mismo concepto…”
     
    Tienes una serie de ideas y conceptos parcialmente aprendidos y los usas de forma incorrecta. Por ejemplo:
    “…en cuyo caso el concepto número sería continuo y derivable…”
     
    Las ideas de “número”, “contínuo” y “derivable” que tu esgrimes con tanta alegría tienen profundas raíces e implicaciones en las matemáticas.
     
    Explicar adecuadamente dichos conceptos sería muy largo y laborioso y por supuesto excede el ámbito de este blog.
     
    Números hay muchos e incluso los enteros pueden ser contínuos si se elige adecuadamente la topología en la que dicha continuidad se define.
    En tu caso, el error está en limitar los números a los racionales pero exigir (eso sí) la continuidad en los reales, tu conclusión clara es que los números sólo pueden ser racionales y cualquier aproximación a Pi en ellos nunca será contínua (en los reales), tu error, obviamente es ignorar que Pi es un número real.
     
    Te animo a seguir profundizando en los conceptos básicos antes de cuestionar (como haces) resultados aceptados universalmente.
     

  158. josejuan | 11 de abril de 2010 | 19:48

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    En cualquier caso joseantnio, mi mas sincera enhorabuena y ánimo, pues (por lo que he podido entender, perdón si me equivoco) no es frecuente que, no habiendo tenido una formación completa tengas tanto interés en las matemáticas. máxime cuando ya se llega a una edad (calculo que como mínimo tienes 35 años y probablemente más de 45) lo cual (normalmente) lo hace más dificultoso.
    Mi más sincero ánimo y te aconsejo que asientes las bases con firmeza; tal como tu dices, debes sólo fiarte de teoremas (i.e. demostrados) y sus corolarios, pero ten siempre en mente que todos podemos estar equivocados en todo momento y, por tanto, debemos tener la mente abierta para que nos corrijan.
    Por último, los irracionales ya los descubrieron los pitagóricos hace 2500 años y dichos números no cumplen ninguna de tus premisas para ser “números”.
    Te sugiero que revises tus ideas sobre la extensión de los números, tu visión crítica seguro que será muy productiva (no hay que creerse las cosas “porque sí”) pero también puede ser un impedimento para seguir aprendiendo.
    Un enlace para empezar podría ser
    http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales
    ¡Ánimo!

  159. jose antonio | 12 de abril de 2010 | 19:09

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    Buenas tardes :
    Me alegro que Josejuan haya cambiado su discurso, por eso dedico unos minutos para aclararle que la frase : “no mazclar churras con meRinas” es una frase hecha y se refiere a no mezclar esas dos razas de ovejas, yo aunque él escribe “mezcla churras con meNinas”,  entendí que se refería a esas dos razas, que nada tienen que ver con el cuadro de Velázquez en el que las meninas son dos docellas, que en poco se parecen a las ovejas; el único personaje próximo a las merinas es el perro mastín que figura en el cuadro; a las razas de ovejas, y no de perros, me refería al decir que las conozco todas, (las razas de ovejas).
      En cuanto a mi edad, le aclaro, que el próximo 13/6/2010 cumpliré, si mi salud me lo permite, 73 años y que mi interés, y mis dudas, sobre matemáticas me han surgido recientemente.    
    También aclarar que no tengo ni un sólo libro de matemáticas, pues prefiero que nadie me condicione a creer algo que no comprenda, como según parece es lo normal; de momento no tengo dudas de que el teorema de Pitágoras es una verdad incuestionable, aunque no es la única.

  160. oscar | 12 de abril de 2010 | 19:44

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    >> “las meninas son dos doncellas, que en poco se parecen a las ovejas”
    Bueno, según se mire… ¡Jaaaajaja!
     
    Cuando yo tenga su edad, José Antonio, si llego, quiero tener la misma ilusión que usted. Creo que Goya dijo una frase famosa cuando disfrutó de esa sensación, “Aún aprendo” creo que fue.
     
    Por poco que mire uno alrededor resulta que hay un orden asombroso, matemático y no matemático, en la vida y en el resto de la naturaleza.
     
    Me atrevo a decir que es más asombroso para un agnóstico que para un creyente (sin ánimo de ofender a éstos). El creyente relega en su dios el acto de la Creación y ya está, problema resuelto. Pero, ¿y el agnóstico? ¿En quién relega la creación de Todo? En nada y todo a la vez. Un Universo construído sin dios es aún más digno de ser admirado, ya que se ha creado literalmente a sí mismo, se ha levantado de la nada tirando de los cordones de sus propios zapatos.
     
    Bueno, no me enrollo, me alegro de que de una forma u otra todos compartamos esa admiración por las compeljidades que nos rodean y que nos han dado el privilegio de existir. Mucho ánimo.

  161. jose antonio | 14 de abril de 2010 | 10:16

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    Sigo sin tener respuesta a si es posible multiplicar una longitud por un ángulo y que el producto resultante de esa multiplicación sea una longitud, que es lo que expresan las ecuaciones :
    dl = r·dw y su integral   l = r·w = 2·pi·r
    mi convicción es que si “w” es un ángulo de 360º y “pi” es un ángulo de 180º, “pi” no es un número y como todos aceptan que pi = 3.1416 esa ecuación hace aguas por todas partes; espero una respuesta razonada y no una pontificación basada en lo dijo un teólogo, ayatola, gurú  o chamán de las matemáticas. 
    yo no soy creyente, tal vez sea porque aunque las vírgenes se aparecen a los pastores a mi no se me ha aparecido ninguna; tampoco creo, sin más, lo que digan los santones de las matemáticas, me lo tienen que demostrar a partir de AXIOMAS y TEOREMAS.
    un saludo

  162. Omar-P | 14 de abril de 2010 | 16:16

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    “Vi de igual modo a Sísifo, el cual padecía duros trabajos empujando con entrambas manos una enorme piedra. Forcejeaba con los pies y las manos e iba conduciendo la piedra hacia la cumbre de un monte; pero cuando ya le faltaba poco para doblarla, una fuerza poderosa derrocaba la insolente piedra, que caía rodando a la llanura. Tornaba entonces a empujarla, haciendo fuerza, y el sudor le corría de los miembros y el polvo se levantaba sobre su cabeza”.
    LA ODISEA; XI, 593

  163. oscar | 14 de abril de 2010 | 21:12

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    Hay que ver el lado bueno, y es que Sísifo era un tipo que no se rendía fácilmente…

    Salvo que otro diga lo contrario, la relación que hay entre dl, r y dw no es diferente a la que hay entre 3 niños que tienen 2 manzanas cada uno. En total hay 3 niños x 2 manzanas c/u  = 6 manzanas (no creo que haya duda de ésto).
    Sin embargo, eso no quiere decir que la mezcla de unidades niños· manzanas = manzanas deba interpretarse de forma esotérica, como por ejemplo, afirmando que los niños no existen…
     
    Creo que José Antonio lo puede entender pensando en dw como la fracción del radio (que tiene unidades de distancia) que se va conviertiendo en arco (unidades de distancia también) cada vez que se mueve un poco el compás.
     
    En el ejemplo de las manzanas hice trampa, y la fórmula realmente es:
     
    3 niños x 2 manzanas/niño = 6 manzanas
     
    donde ahora sí cuadran las unidades.
     
    El dw de José Antonio, en lugar de ser manzanas/niño,  tiene unidades de distancia/distancia, o sea que es adimensional. Aún así se ha dado en llamarlo radianes, grados, etc, porque de alguna manera hay que referirse a ello.
     
    El interés bancario, por ejemplo, también se da en unidades de “euros que me dan por cada euro que tengo”, o sea, \frac {euros}{euros} =  adimensional también, lo que no impide trabajar con él, presentarlo con un “%” como si fuera su unidad de medida, y ponerle nombre, como el “º” de los grados o el “rad” de los radianes.
     
    Espero que esto aclare algo, y que alguien confirme si es correcto o no.

  164. jose antonio | 15 de abril de 2010 | 10:54

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    Buenos días
    Yo no he leído la Odisea y tampoco he leído El Quijote (hasta el final), pero eso, ahora, no me preocupa, si tengo tiempo lo haré.En este foro estamos tratando de dilucidar otras cosas, que para mi son más interesantes.
    Gracias Oscar por tus razonamientos, pero ahora me surge la duda de por que motivo se utiliza la diferencial del ángulo, o del arco, pues si “dw” es la diferencial del ángulo es evidente que estamos multiplicando (longitud * ángulo), dos conceptos distintos y el resultado no puede ser una longitud; en su ejemplo, en el correcto se multiplican (los niños por las manzanas que tiene cada niño), lo que es correcto, pero en la ecuación dl = r·dw se multiplican el radio por un ángulo; en el caso de ser “dw” un arco es evidente que se multiplican dos longitudes, teoricamente perpendiculares, pues no se multiplican por el seno del ángulo que forman; y el producto geométrico de dos longitudes, entiendo, es una superficie; si “dw” fuera una fracción muy pequeña del radio la ecuación sería : dl = r·dr  y  l = r·r/2 y lo corrcto tendría que ser s (superficie) = r·r/2; en ambos casos la ecuación diferencial no es correcta ( a mi entender) y en el que “dw” es un ángulo el concepto de esa ecuación no puede ser una longitud, yo pienso que sólo una multiplicación de dos, o más, números es un número y no otro concepto; (la multiplicación de dos longitudes no tiene sentido si no se multiplican por el seno del ángulo que forman y el resultado es una superficie)         

  165. josejuan | 15 de abril de 2010 | 21:10

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    Uhm… a ver, Oscar y JoseAntonio, ¿os habéis mirado la definición de “radian”?, desde luego es un ejercicio muy interesante el intentar deducir y entender los conceptos antes de mirar una demostración y aprendersela de memoria, ¡pero es que estamos hablando de definiciones! y por tanto, quien establece el término, lo establece como le viene en gana y ésto, por mucho que queramos hay que aceptarlo “tal cual”.
     
    Es decir, un “radian” es un “radian” lo miréis por donde lo miréis y para poder discutir sobre la diferencial que propone JoseAntonio hay que aceptar y respetar la definición de radian.
     
    ¿Quién ha dicho que el radian no tiene magnitud?, por definición un radian es “El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios”.
     
    Vaya, la definición viene del círculo de radio unidad, haciendo coincidir los “radianes” como las longitudes de los diferentes “trozos de perímetro” que pueden tomarse en dicho círculo.
     
    No hay ningún problema en inventarse los “grados centesimales”, “grados sexagesimales” o los “tatines mandarines” (si hablamos de ángulos) pues éstos se podrán poner en correspondencia con los radianes (que son una longitud).
     
    Así, cuando hablamos de 180º decimos que es un ángulo, pero si no hemos LEIDO Y APRENDIDO las definiciones que alguien fijó cuando los creó (en este caso los grados sexagesimales) no sabremos que tanto da decir 180º como Pi radianes y que por tanto ambos están relacionados con una longitud sobre el perímetro del disco unidad.
     
    En fin, en este comentario no he querido meter NADA de matemáticas, únicamente para destacar, poner de manifiesto que es IMPRESCINDIBLE atenerse a las DEFINICIONES si queremos entendernos entre todos.
     
    Es decir, si usamos un término, deberíamos intentar ceñirnos a las definiciones y si como yo, mezclo churras con meninas indebidamente, no me quedará más remedio que reconocerlo (reconocido queda) por más que yo me empeñe que las churras están relacionadas con las meninas.
     
    ¿No creeis?
     

  166. Omar-P | 15 de abril de 2010 | 21:32

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    En el tártaro, Sísifo fue condenado a  empujar  una piedra enorme, cuesta arriba por una ladera empinada, pero antes de alcanzar la cima de la colina la piedra siempre rodaba hacia abajo y Sísifo tenía que empezar de nuevo desde el principio, una y otra vez.

  167. josejuan | 15 de abril de 2010 | 22:46

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    “…Welcker ha sugerido que la leyenda es un símbolo de la vana lucha del hombre por alcanzar la sabiduría…”

    Y ya hablando de matemáticas, 2Pi es ni más ni menos que la longitud del perímetro del disco unidad, cuando se pone la ecuación
     
    l = r w
     
    no hay ningún problema en las magnitudes, puesto que aquí, r es un cambio de escala entre el círculo de radio unidad y el círculo de radio r (no como oscar comenta que son los ángulos el %).
     
    ¿Y de donde viene ese “cambio de escala” entre círculos?
     
    Si medimos un trozo de perímetro cualquiera de un círculo con radio R1 (longitud R1) y nos da la longitud L1 y luego medimos el mismo trozo de perímetro homólogo en otro círculo de radio R2 (longitud R2) y nos da la longitud L2, entonces esas dos medidas estarán relacionadas por las proporciones de dichos círculos, es decir:
     
    L1 / R1 = L2 / R2
     
    que en vuestra ecuación se reescribe
     
    L1 = L2 R1 / R2
     
    Y como podéis ver, las magnitudes que “arrojan” el cambio de escala se cancelan ( por la división R1 / R2 ).
     
    Como resulta que el cículo unidad es el 2º, tenemos que L2 actúa de ángulo y que R2 es 1 (por ser radio unidad), quedando la ecuación buscada
     
    L1 = R1 L2
     
    es decir
     
    l = r w
     
    y por eso, no hay NINGUN “misterio” con las magnitudes, y podemos diferenciar e integrar sin ningún problema, puesto que todas las magnitudes están perfectamente “colocadas”.
     
    El problema viene, cuando se utiliza esa ecuación y no se sabe de donde viene (y por tanto el significado de cada elemento de la misma).
     
    Por supuesto, no he demostrado porqué existe esa relación entre el círculo 1 y el círculo 2 (y por tanto entre el círculo unidad y cualquier otro), tan sólo creo haber aclarado el tema de las magnitudes y porqué sí es correcta la diferencial.

  168. jose antonio | 16 de abril de 2010 | 19:05

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    Buenas terdes
    La palabra “radián” tiene dos acepciones :
    1ª) Ángulo delimitado por dos radios de una circunferencia, al que le corresponde una longitud, de la misma circunferencia, igual al radio.
    2ª) Longitud del arco de la circunferencia igual al radio.
    La misma palabra se puede utilizar para denominar un ángulo, que para una longitud, es decir para dos conceptos bien diferenciados y no es lo mismo la ecuación diferencial :
    dl = r·dw cuando “w” es un ángulo que cuando es una longitud; si es una longitud ; dw = dr, ya que  “dw”  es la diferencial de una longitud, sea en una recta o en una curva.
    La integral, si “w” es un ángulo es :  l = r·w,   pero si es una longitud ¿ cual es la integral?.
     

  169. oscar | 17 de abril de 2010 | 00:09

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    Perdón por el posible desastre, sólo intentaba visualizar el problema dejándome llevar por el análisis dimensional que nos proponía José Antonio para la ecuación l = r*w…  Podéis apedrearme virtualmente.
    El caso es que tras pensarlo otra vez (vergüenza de no hacerlo bien antes…), resulta que la ecuación dimensional L=L*Radián sigue sin cuadrarme… a no ser que Radián tenga esa especie de “adimensionalidad” a la que me referí antes… A la hoguera por hereje, ¿no es cierto?
     
    Las definiciones no me ayudan mucho. Incluso un googleo rápido aumenta mis dudas más aún, por ejemplo este: Unidades derivadas sin dimensión, donde expresa el radián como {{metros}\over{metros}}=1, o sea, adimensional, coincidiendo con lo que pensaba antes en voz alta.
     
    En cuanto a la integración, José Antonio dirá: Si tenemos dw que es un ángulo, ¿qué magia hace que al integrarlo deje de ser ángulo y se convierta en distancia?
     
    Si integramos radianes, lo lógico es obtener un ángulo final en radianes, no en metros. ¿Y la magia entonces? Creo que nace del error de que tendemos a imaginar el concepto de “ángulo” más como la apertura de una superficie que se abre entre dos líneas que como una distancia, como creo que dejaba entrever José Antonio en un mensaje anterior.
     
    La idea intuitiva de que dos líneas, que se van abriendo mientras comparten un punto común, van generando una forma de “superficie” nos confunde, como si el área creada por su separación fuese parte de la definición de ángulo. La definición menos dudosa de ángulo en mi opinión sería la distancia que ambas líneas recorren sobre la circunferencia unidad centrada en el punto común.
     
    De hecho la definición de Wikipedia de ángulo es: “Los ángulos son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.” (la negrilla es mía).
    Descripciones como esa producen la sensación de que estamos hablando de superficies o similares, así que aplaudo las razones de José Antonio para intentar aclarar el concepto de ángulo frente al concepto de distancia, y espero que para fusionarlos en un mismo concepto (distancia sobre la circunferencia unidad) y alejarlos de conceptos como “plano” o “espacio” que más bien confunden.
     
    Aquí me quedo con el amigo Sísifo, esperando la voz atronadora de los dioses.

  170. soto | 17 de abril de 2010 | 10:55

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    Estoy obserbando la polémica levantadda por los conceptos ÁNGULO y ARCO; vaya por delante que soy economista y mi preparación en matemáticas no es mucha, pero el sentido común me dice que son cosas distintas, pues a un solo ángulo le corresponden infinidad de arcos.

  171. josejuan | 17 de abril de 2010 | 11:29

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    Deduzco de vuestros dos comentarios (Oscar y JoseAntonio) que habéis pasado Olímpicamente de los míos, en los que se responden a vuestras dudas anteriores y ¡posteriores!.
     
    JoseAntonio: “…La palabra “radián” tiene dos acepciones…”
     
    ¡Falso! un radián COMO MAGNITUD es un radián y punto, otra cosa es que se use en un contexto u otro de una forma u otra, igual que yo puedo medir la distancia de aquí a la luna en metros, yardas o “dedos pulgares” pero en cualquiera de los tres casos, me referiré a la “distancia”. De la misma forma, se utilizan los radianes para indicar cuan abiertas están las puntas de un compás, pero el RADIAN sigue haciendo referencia a un tramo de longitud del perímetro DEL CIRCULO UNIDAD, es decir, DISTANCIA. Puedes hacer todos los cambios de variable que quieras (de radianes a grados sexagesimales) ¡pero entonces para intepretar el resultado deberás también tener en cuenta ese cambio de variable! (no se puede decir que paso de que un radián implica una longitud y “sólo” es un ángulo y luego decir que cómo es posible multiplicar una longitud por un ángulo…¡pero si hemos quedado que es una longitud!).
     
    Oscar: “…por ejemplo este: Unidades derivadas sin dimensión, donde expresa el radián como , o sea, adimensional, coincidiendo con lo que pensaba antes en voz alta…”
     
    Tu duda, quedó respondida y también el porqué se cancelan las magnitudes de distancia en la ecuación allí donde aparece el ángulo, ¿no ves que está coincidiendo lo que pone en esa web con mi explicación?, los metros de “arriba” son los del círculo de radio cualquiera R1 y los metros de “abajo” son los del círculo de radio unidad, por eso expresan de esa forma los radianes.
    Si tú ves
     
    l = r w
     
    pon las magnitudes y listo
     
    l metros = r metros ( w metros ) / 1 (metro)
     
    de ahí sale que en SI el radián lo pongan como metro/metro ¡pero esto ya lo puse antes!.
     
    Si te fijas también en la definición que dan, aparece cancelado el círculo de radio unidad, es decir, ponen en correspondencia el radián como la proporción del trozo de perímetro y el radio del círculo… luego si el círculo es la unidad, ¡su perímetro son las medidas del radián! (de 0 a 2Pi).

  172. josejuan | 17 de abril de 2010 | 20:39

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    Soto, a un ángulo únicamente le corresponde un arco y a un arco sólo un ángulo ¡pues son lo mismo!.
     
    La confusión viene de que en determinadas ecuaciones (e.g. el cos w) infinitos valores en el dominio de la función (función “cos”, parámetro “w”, dominio los reales) tienen el mismo valor en la imagen, y entonces INCORRECTAMENTE le estamos asignando al parámetro (los radianes) una propiedad de la función, que lógicamente no posee.
     
    Concretamente, para cualquier ángulo A (radián pero equivalentemente si se usan grados sexagesimales con su función cos equivalente), tenemos que la expresión
     
    \cos (2\pi n+A)
     
    toma el mismo valor para cualquier n entero (…, -2, -1, 0, 1, 2, …).
     
    Pero ésto es diferente (y aquí tu confusión) a que dado un ángulo A, la longitud del arco sea la misma ¡no!, la longitud es
     
    l = r A
     
    y tantas veces como el ángulo A de vueltas al círculo, tantas veces la longitud será mayor, es decir, si A son 3 vueltas, la longitud l será (como es lógico) 3 veces el perímetro.
    Si el ángulo es negativo, entonces l también es negativo, debido al sentido en que recorremos el círculo.
     
    El problema, es que tenemos TAN asimilado el tema de un ángulo, que al enseñarlo se obvia e ignora las implicaciones y sentidos que realmente tienen.
     
    En última instancia todo son relaciones matemáticas y las comentadas son las relacionadas con los RADIANES, otras estructuras y otras relaciones serán otro tema…

  173. jose antonio | 17 de abril de 2010 | 21:06

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    En el trilátero, el concepto de longitud de los lados, no parece que sea objeto de varias interpretaciones; mi pregunta es ¿cual es el concepto, ¿ángulo? o ¿radián?, que corresponde a esa separación que desde cada vértice definen los lados?; yo no conozco a nadie que no utilice, normalmente, la palabra ANGULO y de hecho la palabra TRIÁNGULO en lugar de trilátero, para el polígono de tres lados. por cierto, POLÍGONO es una figura geométrica con tres o más ángulos, pero no se usa normalmente POLILÁTERO.
    El concepto expresado con la palabra “radián” es un invento, no es un descubrimiento, mientras que los expresados con las palabras “ángulo”, “longitud”, “superficie” y “volumen”, entre otros conceptos matemáticos, si son descubrimientos del hombre; están en el ESPACIO y el hombre los descubrió hace miles de años. 
    Soto, me parece muy acertada tu observación, aunque escrubas obserbando

  174. josejuan | 17 de abril de 2010 | 21:16

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    Tu réplica, JoseAntonio, se limita a cuestiones de lenguaje, igual que antes indicastes las acepciones de “radián”, sin embargo (y afortunadamente), ésto a las matemáticas les trae sin cuidado, la relación que existe entre el radio de un círculo y su perímetro es la que es, con independencia de quien la haya apercibido por primera vez y con independencia de qué nombre se le haya dado (Pi, Pa, Pe, Fu, Ja, Je, Ji, …).
     
    Si ves algún error en mis ecuaciones (que no sean de gramática, semántica, etc…) coméntalo, en ese caso, seguro que el error será mío, no de las relaciones que poseen los círculo, triángulos, etc…
     
    Es decir, Pi existe, con independencia del nombre que le des y quien lo haya descubierto, y las relaciones indicadas del radián son las que son, lo que pasa es que fué (por lo que parece) Thomas Muir en dar nombre a dicha relación (que es la que es).
     
    Otros la llaman “arco”, otros “grados”, otros …
     
    Pero las relaciones mostradas son las que son.

  175. jose antonio | 19 de abril de 2010 | 11:52

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    josejuan
    aquí hay dos posibilidades :
    1ª) yo debo ser muy torpe, ya que no entiendo tus razonamientos.
    2ª) que tu pedagogía no se adapta a mis capacidades intelectuales.
    El día 15/4/2010 dices “Y hablando de matemáticas, 2Pi es ni más ni menos que la longitud del perímetro del disco unidad”.
     Yo ya he asumido que Pi es un número y ahora resulta que es una longitud,
    me parece imposible tal afirmación.
    Más adelante pones :
    L1/L2 = R1/R2   L1 = L2 R1/R2
    Hasta aquí lo entiendo, ya que todas son longitudes y el cociente es un número, como diría Oscar “adimensional”; el problema me surge cuando en base a que, según dices, como R2 es  radio unidad, en la ecuación :
    L1 = L2R1 
    L2 dices que actúa como un ángulo, o sea que ha pasado de ser una longitud a ser un ángulo; lo siento pero no lo entiendo; si alguien me lo puede aclarar se lo agradeceré.

  176. josejuan | 19 de abril de 2010 | 12:57

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    No te preocupes, yo lo seguiré intentando, pero por favor, centrémonos sólo en éste problema (si surgen otros, ya pasaremos a ellos luego). Tu razonamiento a la hora de comparar diferentes objetos abstractos es correcto y, efectivamente y siendo cartesianos (estrictos, rígidos, …) un número no es lo mismo que una longitud. Sin embargo, estamos hablando de un problema matemático (de una relación matemática) y por tanto, es normal asumir determinados conocimientos que, no puede ser de otro modo, provienen de conceptos y patrones aprendidos (¿cómo sino podríamos compartir un conocimiento?). Así, tu “quisquillosidad” a la hora de criticar mi argumento es similar a lo siguiente: Tenemos sobre una mesa tres bolas de billar, dos de ellas son blancas y una de ellas es negra. A la pregunta ¿hay dos bolas iguales?, lo habitual sería responder que sí, que hay dos bolas iguales, las blancas. Sin embargo, si JoseAntonio responde que no, que no hay dos bolas iguales, no se le puede quitar la razón, porque, aunque haya dos bolas que compartan una propiedad (ser blancas), las bolas, en sí mismas son diferentes, pues no son la misma bola. Este tipo de problemas al razonar, surgen del nivel de precisión (quisquillosidad) en la que dos personas hablan, si están en niveles diferentes, entonces la comunicación es imposible (como en este caso). No pasa nada, sólo es cuestión de equilibrar el nivel, en este caso lo haré yo, y seré más preciso para aclarar tu réplica: Bien, siguiendo el tema de las bolas de billar, podríamos replantear la pregunta y hacerla un poco más concreta: ¿hay en la mesa dos bolas del mismo color?, en este caso, otra vez lo habitual sería decir que sí, que existen dos bolas del mismo color, aunque otra vez a JoseAntonio no se le podría quitar la razón si dijera que no, que tan sólo son de un color “parecido”. Pero JoseAntonio sabe o puede intuir (porque su experiencia en la vida le ha llevado a tratar con muchas personas) el significado real que las preguntas planteadas quieren transmitir y JoseAntonio una vez hayamos hablado un rato, comprenderá sin problemas qué tipo de pregunta realmente queríamos hacer con el tema de las bolas de billar. No parece razonable, ser eternamente quisquillosos. Sí es posible por supuesto, que la pregunta no esté clara, pero hablando, poco a poco deberán converger ambos razonamientos. Ésto último lo digo, porque va a ser inevitable dar la explicación de Pí y su relación con el perímetro de un círculo en base a conceptos y abstracciones matemáticas, símples sí, pero abstracciones al fin y al cabo. Y si no nos ponemos de acuerdo en las más básicas, va a ser imposible… La cuestión que nuevamente planteas JoseAntonio “…Yo ya he asumido que Pi es un número y ahora resulta que es una longitud, me parece imposible tal afirmación….”, es la misma cuestión que las bolas de billar, y me cuesta creer (aunque estoy haciendo un esfuerzo tremendo) que no entiendas (y por tanto deba explicar) la íntima relación que existe entre los números (reales en este caso) y las longitudes. Así las cosas, no se hasta que nivel deberemos de bajar, pero podemos empezar por establecer una correspondencia entre una longitud y un número (veremos luego si hay que bajar más aún): 1. en primer lugar es importante notar que estamos hablando de ideas abstractas y como tales, si yo digo que puedo estirar una goma elástica tanto como desee (o cualquier otra cosa “imposible”), no me deberías cuestionar que es imposible de fabricar o que físicamente es imposible, pues estamos hablando de ideas, y en el mundo de las ideas nos debemos de quedar. Eso sí, desde el mundo de las ideas, yo podré tomar todas las ideas del mundo real que me apetezcan. 2. si yo tomo una tabla de madera perfectamente recta y perfectamente bien pulida (en el mundo de las ideas es perfectamente posible) puedo poner en correspondencia la longitud de esa tabla con el número uno (sea lo que sea el número “uno”). 3. si yo duplico esa tabla (puedo hacerlo muy bien en mi mundo de las ideas) y las pongo una detrás de la otra, entonces, puedo poner en correspondencia el número dos (sea lo que sea el número “dos”) con esa nueva longitud. 4. y así sucesivamente, con otra tabla, y otra, y otra, … habré puesto en correspondencia los llamados números naturales con todas las “distancias naturales” (permíteme al menos ahorrarme la explicación de la metáfora). 5. así, cuando yo digo que un coche mide 3 tablas, DEBEMOS entender que 3 no es una distancia, pero, puesto que hemos ESTUDIADO y comprendido la correspondencia entre las distancias y los números, podemos COMUNICARNOS más fácilmente, si símplemente decimos “3 tablas” a tener que juntar una tabla, a otra tabla, a otra tabla. Antes de seguir intentado aclarar más cosas, estaría bien ver si tenemos alguna crítica con lo dicho y si ahora sí, hemos aceptado que ES POSIBLE establecer una correspondencia entre distancias y números (al menos con los naturales, ya se verá con otros).

  177. jose antonio | 21 de abril de 2010 | 12:17

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    Josejuan
     Te agradezco tus esfuerzos, pero no soy capaz de entender por que hace falta liar tanto la madeja para llegar a la ecuación : L = 2·pi· r, que es a la que llega despues de las ecuaciones          L1 /R1 = L2/R2 = 2·pi
    (lo de = 2·pi lo añado yo). 
    A continuación deduce :  L1 = L2·R1/R2  (correcto) = 2·pi·R1
    ya que L2/R2 = 2·pi , sea o no, R2 el radio unidad; o sea que hemos llegado a la misma fórmula que ya conocían, probablemente, los sumerios, egipcios y griegos para calcular  “la longitud de la circunferencia”,  en la que para nada aparece el concepto “ángulo”, concepto que si aparece en la ecuación diferencial : dl = r·dw, en la que “w” es un ángulo y no una longitud; claro que es muy fácil decir que su integral es : 2·pi·r, por que sabemos de antemano, que es esa la ecuación de la longitud de la circunferencia a la que queremos llegar.
    Partamos de la ecuación de la superficie del círculo : s = pi·r·r
    Supongo que la derivada es :  s´= 2·pi·r y que esta derivada (por ser el círculo una superficie), es una longitud, a la que yo encuentro igual a la longitud de la circunferencia del mismo radio que el círculo
    Si derivamos la ecuación s´= 2·pi·r = l,  obtenemos : l´= 2·pi, que no es otra cosa que un número, en tanto que en la ecuación : l = r·w en la que “w” es un ángulo y “r” una longitud, (ambas variables de conceptos continuos) y por tanto “l” es una función de variables continuas, por tanto la derivada respecto a “r” es : l´= w  y  la derivada respecto a “w” es : l´= r, Si, como se dice, “dw” es la diferencial del “radián longitud” de la circunferencia, es evidente que es la diferencial de una longitud, que por ser el radián igual que el radio, dr = diferencial del radián, por tanto : dl = r·dr y su integral, no puede ser una longitud, es una superficie : s = r·r/2, exactamente igual a la : s = x·x/2, o a la s = y·y/2 y a la s = z·z·/2.   
    Por otra parte la única figura geométrica en la que tiene, si lo tiene,  sentido el concepto “radián”, a mi corto entender, es en la circunferencia, al menos yo no soy capaz de encontrarle sentido al radián en las otras cónicas y menos aún en las curvas de grado superior.

  178. josejuan | 21 de abril de 2010 | 13:34

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    Te has adelantado enormemente y saltado el post anterior
     
    http://gaussianos.com/numeros-irracionales-cebra/#comment-34896
     
    y muchas de las “confusiones” son consecuencia de lo que ahí se analiza.
     
    No podemos discutir sobre si un ángulo y un arco son lo mismo, en tanto en cuanto, no aceptemos ambos el mismo criterio de “ser lo mismo” (lo de las bolas de billar).
     
    De ahí, que yo creo que sería interesante detenerse en tu cuestión “Yo ya he asumido que Pi es un número y ahora resulta que es una longitud,
    me parece imposible tal afirmación”.
     
    Zanjemos primero si es lícito decir que un número identifica una distancia y que, aun no siendo el mismo objeto (abstracto o no), podemos HABLAR de uno u otro indistintamente (tanto me da decir: la distancia que haya de Madrid a Barcelona que 600Km; siempre que lo uno exprese el sentido del otro y al revés en el contexto en el que hablemos).
     
    Es decir, ¿te parece correcto que yo diga que el perímetro de un círculo son “2 Pi”? (metros, pulgadas, kilómetros, … la magnitud únicamente realizará un cambio de escala entre nuestro mundo de las ideas [platónico] y un mundo real). ¿Aun siendo Pi un número? (tome el valor que tome dicho número y tenga el número de decimales que tenga, etc…).

  179. Pedro | 27 de mayo de 2010 | 00:09

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    Invitaría a todos los interesados en este tema a visitar el siguiente articulo de este foro: http://pedro-pastor.mforos.com/1583056/8165532-numeros-kafkianos-descubrimiento-personal/
    Aquí se exponen los “Numeros Kafkianos”, similares a los cebra; pero de un origen mucho más sencillo; y con una patronización que es bastante más asombrosa que los “esquizofrénicos” de pickover, y a mi juicio; que los cebra expuestos en esta web.
    No es necesario crear complejas fórmulas con exponentes tan altos, y a la postre, de tantos dígitos.
    Interesados, visitad el foro de http://www.pedropastor.net

  180. jose antonio | 5 de junio de 2010 | 12:07

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    Despues de mes y medio sin que nadie haya hecho un comentario sobre si es, o no, correcto que la longitud de la circunferencia, según josejuan, es 2pi, tomo la decisión de ser yo quien diga que la longitud de la circunferencia es 2pi·r, pues la longitud de cualquier concepto es, y valga la redundancia, “una longitud”, y no un número.
    Durante este mes y medio de mi ausencia en este foro he visitado algunas islas del mar Egeo, por las que anduvo Pitágoras y al que allí le suelen recordar como Pitagoras, sin acento; despues de ver como todo el mundo conoce la existencia de este importantísimo matemático, me he hecho la siguiente pregunta ¿Alguien se ha dedicado a estudiar en profundidad el teorema que lleva su nombre?, yo he llegado a la conclusión de que se trata de un teorema al que, utilizando una terminología muy pastoril, nadie se ha molestado en ordeñar, es decir, en términos matemáticos, nadie ha estudiado y sacado a la luz todas las verdades, corolarios, que de este teorema se deducen.
    Supongo que no es necesario reproducir la demostración que hizo pitágoras demostrando que la superficie del cuadrado cuyos lados son igualeaes la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las superficies de los dos cuadrados cuyos lados son iguales a las longitudes de los catetos.
    Partamos de un triángulo cuya hipotenusa “h” es de “a” metros y los catetos son de “b” y “d” metros, Pitágoras demostró que : S = h·sen.90º·h = C·sen.90º·C + c·sen.90º·c
    En esta ecuación no interviene ningún sistema métrico, por tanto es válida para todos los sistemas métricos y para el métrico decimal :
    S = a·sen,90º·a = b·sen.90º·b + d·sen.90º·d (metros cuadrados) y por ser sen.90º = 1 podemos podemos expresar la igualdad aritmética : a·a = b·b + d·d.
    PERO NO LA GEOMÉTRICA : S = h·h = C·C + c·c
    ya que h·sen.0º·h = 0, C·sen.0º·C = 0 y c·sen.0º·c = 0 METROS CUADRADOS, es decir no hay superficies que igualar.
    De la ecuación aritmética se deduce que ´para todas las ternas de números que verifican la ecuación : A = B + C, las raíces cuadradas de A, B, y C son tres números “a”, “b” y “c” Y QUE SIEMPRE EXISTE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO de hipotenusa h = a metros y catetos de b metros y c metros.
    Por otra parte es evidente que de los infinitos triángulos rectángulos que existen, con “a” entero, los números “a”, “b” y “c” sólo son enteros los tres para algunas ternas angulares (90º, xº, yº) y en todas las demás al menos uno de los números “b” o “c” o los dos son números no enteros y casi siempre “irracionales”.
    Pongamos un ejemplo :
    h = 10 metros; de los infinitos triángulos con vértice en una ciircunferencia de diámetro 10 metros sólo tenemos triángulos con un cateto entero los de lados ( 10,1,raíz de 99), (10,2,raíz de 96), (10,3,raíz de 91), (10,4,raíz de 84), (10,5,raíz de 75), (10,6,raíz de 64 = 8), y (10,7,raíz de 51). Sólo la terna (10,6,8), que se coresponde con la misma terna angular que la de la terna (5,3,4) es de enteros y 6 tienen dos enteros y las infinitas restante sólo un entero (la hipotenusa).
    Si partimos de una terna A = B + C en la que :
    A = a·a·a·a····· (cualquier potencia de”a”, distinta de 2)
    es evidente que exite un triángulo rectángulo cuya hipotenusa h = raíz cuadrada de A (metros), ý los catetos miden raíz cuarada de B (metros) y raíz cuadrada de C (metros) y todos los matemáticos saben, o debieran saber, que no existen triángulos rectángulos cuyos tres lados se cuantifiquen con tres potencias de enteros.
    Esta deducción no es otra cosa que una, de las más diez demostraciones que tengo, del conocido como “último teorema de Fermat” y del que con toda seguridad una de ellas es la del mismísimo Fermat.
    Hay que tener en cuenta que Fermat era muy inteligente
    y no tenía ninguna necesidad de mentir, por otra parte era normal en él poner a prueba a los matemáticos de su tiempo a los que proponía problemas que él tenía resueltos, cosa que incomodaba bastante, sobre todo a uno en particular; en su “último”, escrito en un libro de Diofanto, puso a prueba no sólo a sus contemporáneos, también a los de más de dos siglos después.

  181. Andor | 5 de junio de 2010 | 17:08

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    jose antonio eres incansable, veo que ninguna de mis aclaraciones sirvieron de nada.

  182. jose antonio | 6 de junio de 2010 | 09:21

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    Andor, tus supuestas aclaraciones no me sirven, lo que si me serviría, y mucho, sería que tu, o cualquier otra persona, me demostrara que no es correcta alguna de las ecuaciones, que he expuesto en el texto anterior :
    S = a·sen.90º·a = b·sen.90º·b + d·sen.90º·d
    a·a = b·b + d·d
    S = h·h = C·C + c·c = 0 (metros cuadrados)
    Que si A = B + C y A = a·a, B = b·b y C = c·c, existe un sólo caso en el que sea imposible encontrar un triángulo rectángulo en el que “a” metros, “b” metros y “c” metros, (u otra unidad de longitud), no sean la hipotenusa y los catetos.
    Que es posible una terna de enteros pitagóricos con una potencia de enteros.
    He dejado para el final la ecuación :
    S = h·sen.90º·h = C·sen.90º·C + c·sen.90º·c
    ya que a esta ecuación si se la puede poner una objeción, pues para un alumno de primaria se le debería de aclarar que como la superficie de los cuadriláteros . cuadrado, rectángulo, rombo y romboide es : S = base por altura, la ecuación más correcta, es :
    S = h·sen.90º·(l=h)= C·sen.90º·(l=C) + c·sen.90º·(l=c)
    en la que h·sen.90º se multiplica por una longitud igual a “h”, y lo mismo para los catetos; yo pienso que esta aclaración no es necesárea en este foro.
    En cuanto a las ternas de enteros pitagóricosn hay que tener en cuenta que en la más pequeña de las de cada terna angular hay siempre un número primo, por tanto no puede haber ternas de potencias de enteros.

  183. Naka Cristo | 6 de junio de 2010 | 12:18

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    Jose Antonio, ¿a cuento de que defines h\cdot h
    como h\sin(0)h? Normalmente por h\cdot h se entiende a la superficie del cuadrado con lados h. Y las superfcie del cuadrado sobre la hipotenusa iguala a la superficie de la unión de las superficies de los cuadrados sobre los catetos.

    Por otra parte, ¿estás diciendo que no existe el triángulo rectángulo con lados 1,1,\sqrt{2}? ¿o a que viene entonces lo de las ternas pitagóricas?

  184. jose antonio | 7 de junio de 2010 | 10:22

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    Naka Cristo
    Estamos acostrunbados a decir que la superficie de los cuadriláteros regulares, es base`por altura, probablemente por que se suele explicar a los niños en un encerado vertical; lo matemáticamente correcto es definir la superficie de todos los cuadriláteos regulares : Superficie = producto geométrico de la longitud de la base por la de la altura; y si la base es de “a metros” y la altura de “b metros”,(“a” y “b” son números), el producto geométrico es :
    S = a metros·sen.w·b metros; “w” es el ángulo que forman dos lados adyacentes del cuadrilátero.
    si el cuadrilátero es un rectángulo w=90º : S = a·sen.90º·b (metros cuadrados), y por ser sen.90º = 1, S = a·b (metros cuadrados).
    el cuadrado es un rectángulo en el que la base es igual a la altura, pero la altura no es la base, aunque el número de metros si es el mismo. a = b
    Es evidente que . S = base por base = 0
    por tanto h·h = 0 metros cuadrados
    El no tener en cuenta el concepto “producto geométrico”, es la causa de que cuando el ángulo es recto, se utilice la ecuación aritmétia : a·a = b·b + c·c, (en el T. de Pitágoras), en sustitución de la geométrica, que es la correcta; en la que (a,b,c) son números y no longitudes.
    El único concepto en el que el producto de dos o más elementos de ese concepto se pueden multiplicar y el producto resultante es un elemento del mismo concepto es el número:3·21·10 = 630; el producyo de tres números es un número; x·y·z = V; el producto, (siempre geométrico), de tres longitudes es un volumen, no una longitud; el de dos es una superficie; el producto : (elefante)·(elefante)= es absurdo, por tanto es cero.
    En cuanto a las ternas pitagóricas, me refiero a las ternas de enteros pitagóricos; la terna (1,1, raíz de dos), por supuesto que es pitagórica, pero “raíz cuadrada de dos” no es entero, ni siquiera es un número en base diez).
    Espero que esta explicación aclare tus dudas.

  185. Andor | 11 de junio de 2010 | 19:50

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    Alguien debería decirle a jose antonio que TODAS las bases están a 90º de las alturas. Y que deje de decir que los números irracionales están fuera de la base 10.

  186. jose antonio | 13 de junio de 2010 | 10:44

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    jose antonio no necesita que nadie le diga que base y altura son perpendiculares y tampoco me cansaré de afirmar que raíz cuadrada de dos carece de escritura en base diez.
    Lo que me resulta incomprensible es que nadie se atreva a confirmar, o en caso contrario a demostrarlo, que la ecuación, también conocida como fórmula, de la superficie de un cuadrilátero regular es el producto geométrico de dos de los lados adyacentes por el seno del ángulo que forman
    La superficie de TODOS los cuadriláteros, de lados A, B, C, y D es :
    S = (A·sen.W·B + C·sen.v·D)/2
    en la que “w” es el ángulo limitado por A y B y “v” el opuesto a “w”.
    si el cuadrilátero es regular, w = v, A = C y B = D y por tanto : S = (A·sen.w·B + C·sen.v·D)/2 = A.sen.w·B
    y si ese cuadrilátero es un rectángulo S = A·sen.90º·B
    y aunque sen.90º = 1, no debemos de olvidar que “S” es un producto geométrico.
    si el cuadrilátero es un cuadrado, aunque A = B y w = 90º
    no debemos de olvidar que S = A·B,(con A = B) y no S = A·A, puesto que “A” es una longitud y S = A·A = 0 (unidades de superficie.
    espero que esto sea validado por alguien que sepa diferenciar un producto geométrico de un producto aritmático, dos conceptos bien distintos.

  187. Andor | 13 de junio de 2010 | 19:33

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    ¿Y que me dices de sqrt {2} ? ¿No es una manera correcta de escribir raíz cuadrada de dos en base 10? Porque si te refieres a que carezca de un desarrollo decimal periódico no implica que no se pueda escribir.

  188. Andor | 13 de junio de 2010 | 19:45

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    Perdón, el latex no funcionó correctamente, quería decir \sqrt {2} .
    En cuanto a los productos geométrico y aritmético (supongo que te referías a eso en lugar de aritmático) no los conozco (conozco productos escalares, vectoriales, de matrices, mixtos, cartesianos, naturales, exteriores, etc; pero no geométricos o aritméticos); si puede alguien explicármelos le estaría muy agradecido.

    PD: ¿Puedo intuir que tienen que ver con las medias geométrica y aritmética?

  189. Naka Cristo | 13 de junio de 2010 | 19:57

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    jose antonio, deberías usar las notaciones del resto de la gente si quieres que te entiendan.

    Por lo que dijiste antes, llamas “producto geométrico” al producto vectorial y “producto aritmético” al producto en \mathbb R.

    Y no sé que problema tienes con \sqrt{2},
    es simplemente un número irracional, es decir que no está en \mathbb Q. Y como todos los irracionales no admite una expresión finita en ninguna base natural.

  190. jose antonio | 15 de junio de 2010 | 20:49

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    ANDOR
    La superficie de TODOS LOS CUADRILÁTEROS regulares e irregulares es siempre la suma de dos triángulos, en los irregulares, como en el ejemplo del de lados A, B, C, y D, en el que los cuatro son de distinta longitud y por tanto no es regular, la uperficie del de lados “A”, “B” y el tercer lado es el que une los extremos de “A” y “B” es:
    S(1) = (A·sen.w·B)/2 y la superficie del otro de lados “C”, “D” y el tercer lado es el mismo que el del anterior, es : S(2) = (C·sen.v·D)/2 Y la suma de los dos triángulos es la superficie del cuadrilátero :
    S = (A·sen.w·b + C·sen.v·D)/2
    por tanto no se trata de una medis.
    En los cuadriláteros regulares w = v y en el caso del romboide es evidente que si “A” es la base, la altura es precisamente b = B·sen.w y sólo cuando sen.90º = 1,(rectángulo que es un romboide de ángulos iguales y de 90º b = B) y (cuadrado que es un rombo de ángulos iguales,de 90º), b = B·sen.90º = B, por tanto A = B = b.
    S(superficie) es el resultado de la multiplicación de dos longitudes por el seno del ángulo que forman, (o delimitan), a esta multiplicación se la denomina multiplicación geométrica.
    la multiplicación aritmética es la de dos o más números :
    5·4·6 = 120.
    NaKa Cristo
    Creo que es fundamental utilizar las mismas notaciones, en todo el mundo y para todos los temas, pero yo no se como se puede copiar, en este foro, el texto escrito en Word, pues las letras griegas me las traduce al alfabeto latino, me resulta extraño que pudiendo tener en un foro la posibilidad de copiar cualquier simbolo se necesite un traductor, como que para que dos andaluces nacesiten interprete para entenderse, supongo que habrá ulguna razón para ello, pero la desconozco.
    en cuanto al producto geométrico, decir que un vector es una longitud, o bien representa una fuerza, y por tanto un producto vectorial es un producto geométrico o bien un “momento”; no confundir un concepto de física con un intervalo muy pequeño de tiempo.

  191. Andor | 16 de junio de 2010 | 14:08

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    Los vectores se usan tanto o más en matemáticas que en física, son parte de la geometría analítica, y si, son productos vectoriales a lo que te refieres. Deberías utilizar los términos que usamos el resto de gente, y en cuanto a lo de las letras griegas para eso está Latex, que es lo que utilizamos todos.

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