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Números irracionales cebra

Los números irracionales son los números reales que no pueden expresarse en forma de fracción. Por tanto estos números tienen infinitos decimales en los cuales no hay un patrón que se repita indefinidamente. A partir de esta definición uno podría pensar que por norma general un número irracional no presentaría patrones de tipo racional en sus, digamos, cien primeros dígitos. Si consideráramos esos supuestos patrones como rayas los números irracionales que tuvieran esa propiedad serían los que denominaríamos números irracionales cebra.

Pues los hay, claro que sí. Vamos a ver algunos de ellos:

$\sqrt[3]{\cfrac{7^3 \cdot 10^{51} +7^5}{11^3}}$

cuyo desarrollo es el siguiente:

$\begin{matrix} 63636363636363636, \\ 36363636363636363636363636363636 \\ 46 \\ 757575757575757575757575757575757575757575757575 \\ 587 \\ 80808080808080808080808080808080808080808080808 \\ 5429534231200897867564534231200897867564534231200746900086045641 \ldots \end{matrix}$

y continúa sin presentar ningún otro patrón más en los siguientes dígitos.

$\sqrt{\cfrac{9}{169} \cdot 100^{199} + \cfrac{38 - 17 \cdot 199}{169}}$

en cuyo desarrollo se repiten los patrones $230769$ , $410256$ , $213675$ , $296$ , $590693257359924026$ y $914529$ . Como el plugin de $\LaTeX$ no lo coge entero os dejo parte del número:

23076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076\
923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076\
92307692307692307692307692307692307692307692,3076923076923076923076923076923076\
923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076\
923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076923076\
923076880192307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692267845352564102564102564102564102564102564102564102564102564102564\
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102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564\
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102564102564102564028515177617521367521367521367521367521367521367521367521367\
521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367521367\
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521367521367521367521367349358039460358796296296296296296296296296296296296296\
296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296\
296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296\
296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296\
296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296\
296296296296296296296296296295848784960867828340159069325735992402659069325735\
992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402\
659069325735992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402659069\
325735992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402659069325735\
992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402659069325735992402\
659069325735992402659069325735992401411631478229137974926549145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145295502483621567819214350213427904400126\
622348844571066793289015511237733459955682177904400126622348844571066793289015\
511237733459955682177904400126622348844571066793289015511237733459955682177904\
400126622348844571066793289015511237733459955682177904400126622348844571066793\
289015511237733459955682177904400126622348844571066793289015511237733459955682\
177904400126622348844571066793289015511237733448955138216136572710142188954230\
060277513981217684921388625092328796032499736203439907143610847314551018254721\
958425662129365833069536773240476944180647884351588055291758995462699166402870\
106573810277513981217684921388625092328796032499736203439907143610847314551018\
254721958425662129365833069536773240476944180647884351588055291758995462699166\
402870106573810277513981217684921388625092328796032465665074224987344807026819\
335100970652266305558486628445476182101696504988686058644906381531895…

Otro irracional cebra es el siguiente:

$\sqrt{\cfrac{9}{64} \cdot 100^(155)+\cfrac{92-22 \cdot 155}{64}}$

en cuyo desarrollo podemos ver repeticiones de $9$ , $6$ , $2$ , $1481$ y $209876543$ entre otros. Éste tampoco lo coge entero el plugin de $\LaTeX$ . Os dejo parte del número:

37499999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
9,99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999308\
749999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
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999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999993628979\
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666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666\
666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666549227515972\
222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222\
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222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222219516228458304398\
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333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\
333333333333333333333333333333333333333333333333277402362075594214664673353909\
465020576131687242798353909465020576131687242798353909465020576131687242798353\
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798353909465020576131687242798353909465020574456321607915493392344201442472565\
157750342935528120713305898491083676268861454046639231824417009602194787379972\
565157750342935528120713305898491083676268861454046639231824417009602194787379\
972565157750342935528120713305898491083676268861454046639231824417009602194787\
379972565157750342935528120713305898491032205313523108387418797769921815462581\
92348727328151196463953665599756134735558603871361073007…

Y los que a mí me parecen más sorprendentes, los generados por la siguiente fórmula:

$f(n)= \sqrt{\cfrac{9}{121} \cdot 100^n+\cfrac{112-44 \cdot n}{121}}$

Por ejemplo, $f(30)$ es así en sus primeras cifras:

$\begin{matrix} 272727272727272727272727272727, \\ 2727272727272727272727272727 \\ 08 \\ 969696969696969696969696969696969696969696969696969696969 \\ 08 \\ 280134 \\ 680134680134680134680134680134680134680134680134 \\ 676012928095772 \ldots \end{matrix}$

Aumentando el valor de $n$ encontramos números cada vez más increíbles.

Os animo desde aquí a que intentéis encontrar números irracionales cebra distintos a éstos. Y si puede ser alguna fórmula para generarlos como la anterior mucho mejor.

Fuente: Las Matemáticas de Oz, de Clifford A. Pickover

Escrito por ^DiAmOnD^, 3 de Marzo de 2008 en Curiosidades

35 comentarios

Trackback para este post

robiño - 3 de Marzo de 2008 11:44

Si $r$ es racional periódico y $\alpha$ es irracional, el número $r+\cfrac{\alpha}{10^n}$ sería uno de esos números, pues cambiamos la expresión decimal sólo a partir del dígito $n-1$ .
Asier - 3 de Marzo de 2008 11:56

Así es, robiño, concretamente $r$ puede ser la suma de distintos racionales no periódicos, con lo cual obtenemos los distintos patrones que queramos y con los dígitos que queramos.
mangu - 3 de Marzo de 2008 16:04

No soy matematico xD, pero puesto que los numeros irracionales tienen infinitos decimales, se supone que TODOS los patrones posibles se repetiran en los decimales alguna vez ¿no?

Entonces podriamos decir que cualquier numero irracional tiene infinitos patrones cebra en sus decimales

Es mas, podemos decir que en cualquiera de ellos se repite la secuencia de numeros equivalentes al codigo ascii de “El Quijote” cien veces seguidas, jejeje… Que majo el infinito

Aun asi, muy ilustrativos los ejemplos xD

Salu2
mangu - 3 de Marzo de 2008 16:07

…por supuesto ya se que el caso se refiere a los 100 primeros digitos…

Aun asi, si fuera posible encontrar una funcion para que los 10000 primero digitos por ejemplo fueran unos determinados, seria un sistema estupendo de compresion de datos…

Claro que seguramente la formula fuera mas larga que los propios datos xD

Salu2
TEILLU - 3 de Marzo de 2008 16:09

“Os animo desde aquí a que intentéis encontrar números irracionales cebra distintos a éstos. Y si puede ser alguna fórmula para generarlos como la anterior mucho mejor.”

jeje Pues no pides nada…

De todos modos, siempre son curiosos estos “divertimentos” matemáticos!
Asier - 3 de Marzo de 2008 17:27

mangu, el que un número irracional tenga infinitos decimales no es garantía de que un patrón vaya a aparecer. Si el número es normal (dígitos equiprobables) aparecerá pero si no, no tenemos la garantía.
nisti2 - 3 de Marzo de 2008 17:48

me sorprende ver tantos numeros!!
robiño - 3 de Marzo de 2008 17:48

mangu lleva razón. Al tratarse de un número irracional, cualquier cadena de dígitos que se imagine (por ejemplo cien veces el texto de El Quijote en binario) aparecerá en un momento dado.
mangu - 3 de Marzo de 2008 17:51

Se supone que si son infinitos, habra infinitas combinaciones, y un patron por raro y poco probable que sea siempre aparecera en un numero infinito de posibilidades…

Otra cosa es que los decimales no incluyan alguna cifra nunca, o que sea siempre un mismo patron repitiendose, pero entonces creo que ya no seria irracional, ¿no?

Salu2
Asier - 3 de Marzo de 2008 18:38

robiño, mangu: el número 0,101001000100001000001… es irracional pero nunca vais a encontrar 11 en los decimales.
dorwinrin - 3 de Marzo de 2008 18:43

En realidad, que un número tenga infinitas cifras no significa en absoluto que contenga todos los patrones posibles de ellas. Son cosas diferentes.

Por ejemplo, 0,12034005600078000090000012000000340000000… es un número irracional de infinitas cifras en el que jamás encontraremos secuencias de más de dos cifras distintas de cero.

Cuando una ecuación tiene infinitas soluciones eso no significa que cualquier número que se nos ocurra sea automáticamente solución.

O, simplificando mucho, aunque tuviéramos un conjunto de infinitas monedas europeas NUNCA encontraríamos un dólar en ellas.
Julian - 3 de Marzo de 2008 18:51

un numero es racional SI Y SOLO su desarrollo decimal es periodico a partir de un cierto rango. i.e $\alpha = \frac{a}{b}$ con a y b enteros
Asier tiene razon: el número 0,101001000100001000001… no solamente es irracional, es mucho peor: es trascendente.
Saludos
mangu - 3 de Marzo de 2008 19:41

Esos casos no dejan de tener un patron, yo me referia a los que no lo tienen, como digo mas arriba…Digitos equiprobables com odice Asier…

Me parecia divertido que en estos numeros se repitiera cualquier patron (obviamente no los 100 primeros digitos) infinitamente, por lo que podemos decir que cualquier patron, sean digitos “cebra”, o incluso los decimales (¿completos? xD) de otro numero racional de cualquier tipo incluso transcendente (pi, por ejemplo) aparezcan en los decimales de uno solo xD

¿Es correcto decir que un numero de decimales infinito contenga una secuencia infinita de numeros?

Eso si, se agradece la explicacion
mangu - 3 de Marzo de 2008 19:45

…O dicho de otra manera…
(Ya he dicho que no soy matematico xD)

¿Es correcto decir que entre los infinitos decimales de “e” estan incluidos en orden correcto los infinitos decimales de “pi”?

Quizas es rizar el rizo, no se xD
Sobre la teoria matematica en lo que respecta al infinito y los irracionales no se mucho, pero parece cuanto menos divertido.

SAlu2
Sebax - 3 de Marzo de 2008 19:52

jaja, tranky muchachos, tomen un café, pero por un rato dejen de pensar..
Domingo H.A. - 3 de Marzo de 2008 20:55

mangu, aunque no ibas mal encaminado, hay que precisar un poco las cosas ya que no valen cadenas infinitas de dígitos. Lo que sí se puede probar (y no es difícil) es lo siguiente:

“En [ $0,1$ ) (o en $\mathbb{R}$ ) existe un subconjunto $E$ de medida nula, de tal modo que para cada $x\in [0,1)\setminus E$ y para cada $n\in\mathbb{N}$ , el desarrollo decimal del número $x$ contiene todas las $10^n$ secuencias que se pueden formar con $n$ dígitos.”

Y para dichos números sí se puede encontrar el Quijote entero las veces seguidas que quieras (en cantidad finita)
Agustín Morales - 3 de Marzo de 2008 21:08

Una cuestión interesante: Sabemos que si los decimales de PI siguieran una distribución normal, podríamos afirmar que cualquier combinación de digitos aparecerá PERO ¿es cierta la inversa? es decir, si PI tiene cualquier secuencia de dígitos en sus infinitos decimales, ¿ha de seguir necesariamente una distribución normal?
Claudio - 3 de Marzo de 2008 21:21

En una sucesión de números puramente aleatoria, el número de veces que aparece cada dígito debe ser regular.

Si encontráramos un dígito que se repitiera más que los otros en una magnitud apreciable, ya no sería puramente aleatoria.
Asier - 3 de Marzo de 2008 21:36

La inversa no es cierta, Agustín. Imagina un número irracional construido de la siguiente manera: desde $n = 1$ hasta infinito, los decimales van a ser éstos: las $10^n$ secuencias que se pueden formar con $n$ dígitos seguidos de $n \cdot 10^n$ ceros. Este número irracional contiene cualquier secuencia de dígitos pero la probabildad del cero es mayor de 0,5.
oscar - 3 de Marzo de 2008 22:47

Está interesante el tema pero quisiera colar un paréntesis.

Me llama la atención lo sensibles que somos a la apariencia de las cosas, como a la apariencia de un número, por ejemplo. Quiero decir que un número en base 10 tiene una apariencia, pero en otra base menos antropomórfica que la 10 (o menos chauvinista, que diría Sagan), puede tener otra muy distinta, o bien sosísima o bien maravillosa.

Como el culto a las apariencias no me gusta nada, y me disgusta que nos valoremos en función del logotipo que llevemos cosido en la gorra, reivindico amigablemente que recordemos que existe una diferencia entre “cantidad” y “número”. Los números son los vestiditos que las cantidades se ponen para que podamos verlas guapas y enamorarnos de ellas (¡y lo consiguen!), pero digo yo que lo importante es lo que va debajo (la cantidad), el vestidito se lo puede llevar el viento (qué más quisieras, pillín). Pi en base 10 no es menos Pi que Pi en base 2 o que Pi en base Pi… ¿qué estoy diciendo? Me pierdo. Bueno, ahí queda este pensamiento aleatorio.

Por ejemplo, la ecuación de antes:
$\sqrt [3]{{\frac {{7}^{3}{10}^{51}+{7}^{5}}{{11}^{3}}}}$

Se pone este otro traje al verla en base 4:

02332310033100331003310032121111300233000233302000022102000213213302031312200102002312130302112331331
0332333310301303310130333230303030213101113102001023021033100210131

que también tiene su elegancia, ¿no os parece?
Benet - 3 de Marzo de 2008 22:48

Cuidado, Agustin y Asier. Supongo que cuando os referis a a una distribución “normal”, deberíais decir una distribución “uniforme”, ¿no?. Si cada posible decimal de “pi” o de “e” tienen la misma probabilidad de aparecer, entonces siguen una distribución uniforme, no normal.
Asier - 3 de Marzo de 2008 23:44

Oscar, creo que vas a disfrutar con este artículo de Tío Petros, si es que no lo conocías ya:
http://tiopetrus.blogia.com/2006/110601-el-zoo-de-las-bases-de-numeracion.php

Benet, efectivamente nos referimos a una distribución uniforme. He buscado y al parecer en castellano ‘normal’ no tiene esa acepción y creo que la usamos tomada del inglés, donde ‘normal number’ sí significa ‘número real con distribución uniforme de sus dígitos’:
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number
Omar-P - 4 de Marzo de 2008 0:14

En base infinita los números tienen un dígito.
Y digo yo… » http://gaussianos.com/numeros-irracionales-cebra/ - 4 de Marzo de 2008 10:30

[...] Gaussianos » Números irracionales cebra * 0 puntos, 0 [...]
Manuel - 4 de Marzo de 2008 10:47

Pero… esto depende de la base de representación, ¿no? ¿Se puede asegurar que un “número cebra” en base 10, lo es también en base 3, 6, 17, o cualquiera?
oscar - 4 de Marzo de 2008 19:13

Delicioso el paseo con el tío petros. Le conocía por el libro, pero no sabía lo del blog. Creo que una vida no es suficiente para disfrutar de todo esto.

Por cierto, aprovecho para una consulta: un amigo mío aeronáutico, muy forofo de la física y de toda ciencia “aplicada” dice que esto de emocionarse con los números es perder el tiempo, porque no es “real”, lo ve como inventarse sudokus para luego entretenerse con las propiedades artificiales que de ellos se deriven.

Como yo tampoco sé mucho del tema, no sé explicarle la razón de qué a mí sí mi parezca interesante, quizá debido a que mi asombro procede de mi ignorancia. Siento como si las matemáticas (o la teoría de números, más concretamente), aún siendo poco aplicables en la realidad, nos hablan de algo profundo, son como las reglas básicas del juego del universo. Pero él no lo cree así. ¿Tiene razón? ¿Qué le diríais?
Agustín Morales - 4 de Marzo de 2008 19:55

Gracias Asier por la respuesta y a Benet por la aclaración. Para Oscar, en mi modesta opinión, creo que se plantea una cuestión filosófica difícil de contestar… y me recuerda una anécdota del genial ajedrecista Alekhine. Estando reunido con algunos colegas suyos en Buenos Aires dijo que su vida había sido una frustración a lo que el Gran Maestro Roberto Grau replicó:
- Pero, maestro, usted es campeón del mundo.
- Si, asi es, pero el ajedrez es solo un juego.

La inmediata sería decir que la matemática sí tiene aplicaciones importantes, que incluso la Teoría de números tiene aplicaciones en la criptografía… pero me pregunto ¿fue el sentido de lo útil lo que recluyo a Wiles durante ocho años intentando demostrar la conjetura de Fermat? ¿O lo que recluyó a Grigori Perelman? Por no citar a otros miles de matemáticos o aficionados, realmente, ¿Que nos reúne aqui en este foro? Dejo abierta la cuestión.
Omar-P - 4 de Marzo de 2008 21:35

Oscar, desde que el hombre es hombre siempre ha tratado de comprender como funciona el universo. Para ello ha utilizado su más preciada creación intelectual, que es la ciencia y su método. Con la tecnología podemos construir cosas muy útiles para la vida cotidiana, pero no puede existir progreso tecncológico si no existe la ciencia aplicada. Las ciencias aplicadas se apoyan y se nutren de las ciencias básicas. Sin ciencia básica no hay ciencia aplicada. Sabemos también que las ciencias en general se apoyan en los modelos que funcionan gracias a la matemática y la reina de la matemática es la teoría de números.
La conclusión que podemos sacar entonces es que cualquier nuevo descubrimiento relacionado con la teoría de números puede repercutir en todas las áreas de la matemática, de las ciencias en general y en todo conocimiento humano.
Ahora puedes hacerle a tu amigo las siguientes preguntas ¿Podría existir un universo sin números? ¿Acaso hay algo que sea más básico?
Omar-P - 5 de Marzo de 2008 23:52

Agustín Morales, creo que podríamos recordar una frase de C.G.J. Jacobi en una carta enviada a Legrenge en julio de 1830:
“La finalidad única de la ciencia es la de rendir honor al espíritu humano”.
maximo - 10 de Marzo de 2008 14:24

hola
Sive - 12 de Marzo de 2008 14:52

Oscar también podrías hablarle a tu amigo aeronáutico el uso cotidiano (e impagable) que se da actualmente en internet a algunos de esos juegos con números que eran aparentemente inútiles hace nada, y que nos han proporcionado privacidad en nuestras comunicaciones, seguridad en las transacciones online, firmas digitales…

¡Pero si se saca provecho hasta de los problemas matemáticos imposibles de resolver!
lucia - 13 de Marzo de 2008 0:22

hola tengo un problema y espero que alguno de ustedes pueda ayudarme
resulta que devido a circunstancias irrevelables tengo que hacer un curso de geometria ecuclidea II, pero nunca hice el curso de la I… supongo que ya se imaginan el resultado…
estoy intentando hacer el primer practico y mi duda es la siguiente:
estamos operando con segmentos (suma y multiplicacion por un racional)y tengo que “demostrar” la propidad distributiva, tan conocida por todos:
si A es un segmento, x, y pertenecen a los racionales y son positivos, entonces:

(x+y)A = xA + yA

alguien podria decirme como se “demuestra” esta propiedad aparentemente tan “facil”
Belen - 14 de Marzo de 2008 19:58

Hola Óscar,

Dile a tu amigo aeronáutico que puesto a hablar de la inutilidad de los números, que piense en los números complejos y en cómo se hubiera sacado esa carrera sin ellos (a saber, Circuitos de segundo, Aerodinámica de tercero).

Yo lo veo así. Las matemáticas son a la ingeniería como la geografía a la minería. Te dice cómo es el universo y la ingeniería lo explota y lo aprovecha, la parte que sabe o que le interesa.

Saludos!
(otra aeronáutica, por cierto)
Gaussianos » Número normal - 17 de Marzo de 2008 9:00

[...] en algunos comentarios en ciertos artículos (por ejemplo, en algunos de números irracionales cebra) vi que no estaba demasiado claro qué era un número normal voy a intentar explicarlo en esta [...]
Omar-P - 30 de Marzo de 2008 16:50

El número n en base n es 10.

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