Números primos gemelos y demás familia

Como ya hemos comentado varias veces, un número primo es un número natural n que no tiene divisores propios, es decir, sólo es divisible por 1 y por el propio n. Los números 3, 5, 19 y 31 son algunos ejemplos de números primos.

Y como también vimos en un par de posts anteriores (concretamente en este y en este) existen infinitos números primos. Pero el post que nos ocupa no está dedicado a la infinitud de este conjunto. El objetivo del post es presentaros tres tipos concretos de números primos:

Números primos gemelos

Dos números primos se denominan primos gemelos si su diferencia es igual a 2, es decir, una pareja de la forma (p,p+2) siendo p un número primo. Por ejemplo las parejas (3,5) y (17,19) son dos parejas de primos gemelos.

Pero, ¿cuántas parejas de primos gemelos existen? Pues se conjetura que hay infinitas, aunque todavía no hay demostración de este hecho. Uno de los resultados que podrían llevarnos a pensar que esto no es así es la convergencia de la serie de los inversos de las parejas de los números primos:

Constante de Brun

Este número B2 se denomina constante de Brun. Usando todas las parejas de primos gemelos existentes hasta 1016 obtenemos 1’902160583104 como valor aproximado de esta constante.

De todas formas este resultado ni mucho menos significa que la conjetura sea falsa.

La pareja de números primos gemelos más grande conocida hasta 2006 es la formada por los números 100314512544015·2171960-1 y 100314512544015·2171960+1. Cada uno de estos números tiene la friolera de 51780 cifras.

Números primos primos

No, no me ha salido repetida la palabra primo en el título anterior. Dos números primos se denominan primos primos (del inglés cousin prime) si su diferencia es igual a 4, es decir, una pareja de la forma (p,p+4) siendo p un número primo. Por ejemplo las parejas (3,7) y (7,11) son dos parejas de números primos primos.

Hasta 2005 la pareja de números primos primos más grande conocida es 9771919142·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+1 y 9771919142·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+5, siendo n# el primorial de n, es decir, el producto de todos los números primos menores o igual es a n. Estos dos números poseen 10154 cifras.

Estos números primos primos también poseen una cosntante análoga a la constante de Brun anterior:

Constante de Brun para primos primos

Usando todas las parejas de números primos primos que existen hasta 242 su valor es, aproximadamente, 1’1970449.

Números primos sexys

Y terminamos el post hablando de este tipo de números primos. Dos números primos se denominan primos sexys (del inglés sexy prime) si su diferencia es igual a 6, es decir, una pareja de la forma (p,p+6) siendo p un número primo. Se llaman así porque la palabra latina para el número seis era sex. Por ejemplo (5,11) y (11,17) son dos parejas de números primos sexys.

La pareja de primos sexys más grande conocida es la formada por (48011837012·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+1 y (48011837012·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+7. Estos números tienen también 10154 cifras.

Pero aún podemos llegar más lejos con estos tres tipos de números: podemos formar tripletes (por ejemplo (p,p+2,p+4) con p un número primo), cuartetos (por ejemplo (p,p+6,p+12,p+18) con p un número primo), etc. Por ejemplo, el triplete más grande conocido de primos sexys comienza en p=(84055657369·205881·4001#·(205881·4001#+1)+210)·(205881·4001#-1)/35+1. Cada número de este triplete tiene 5132 cifras.

Fuentes:

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16 comentarios

  1. MdC | 10 de enero de 2007 | 11:52

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    Así a cualquiera le gustan las Matemáticas.
    Enhorabuena.

  2. Papá Oso | 10 de enero de 2007 | 16:11

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    Joer, mira que he visto cosas en la carrera… el teorema del bocadillo de jamón… vacas vestidas de uniforme… pero primos sexys… nunca lo hubiese dicho!

  3. leandro | 10 de enero de 2007 | 20:26

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    hola. me parece que te faltan los primos de mersenne, fermat y sophie germain.

  4. ^DiAmOnD^ | 11 de enero de 2007 | 00:04

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    leandro de los tipos de primos que comentas ya hemos hablado en este blog. Echa un ojo por él y los encontrarás.

    Papá Oso del teorema del sandwich de jamón también hemos hablado :)

    Por cierto, yo tampoco conocía la existencia de estos primos sexys hasta hace poco

  5. Hansi | 18 de enero de 2007 | 01:24

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    Consulta:

    Cuál sería la demostración formal de que todo número primo es de la forma 6X +/- 1 ?
    O sea, todo primo está pegado a un múltiplo de 2*3

    Además porqué en los primos consecutivos a igual distancia, la separación siempre es múltiplo de 6. (al menos hasta el sexteto separado a 30)

    Hansi

  6. Trackback | 23 ene, 2007

    Gaussianos » Nuevo récord de primos gemelos

  7. Yrekthelas | 23 de enero de 2007 | 22:40

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    Como respuesta a la consulta de Hansi:

    Primero de todo, aclarar una cosa: todo primo DISTINTO DE 2 Y 3 es de la forma 6k +ó- 1.

    A parte de que 2 y 3 no lo cumplen, obviamente, con la demostración entenderás el motivo:

    Si p es un numero primo distinto de 2 y de 3, és impar, y por lo tanto los numeros p+1 y p-1 son pares.
    Además, siendo p-1, p y p+1 una terna de numeros consecutivos, uno de ellos debe ser multiplo de 3. Como p no lo és, p-1 ó p+1 lo seran. De este modo, el que sea multiplo de 3 lo sera, al mismo tiempo, de 6.
    QED

    Comentario: con una demostración muy similar, ya que hablábamos de tipos de primos, se ve que toda pareja de primos gemelos distinta del (3,5) es de la forma (6k-1, 6k+1).

  8. Yrekthelas | 24 de enero de 2007 | 01:51

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    Ui, no habia visto la segunda pregunta, la de la separacion.
    Aun asi, no me queda muy clara, puedes intentar explicarte un poco mejor, por favor?

    (si, ya se q viendo mi demostracion, yo tp me explico muy bien)

  9. Hansi | 24 de enero de 2007 | 02:15

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    Hola Yrekthelas
    Gracias por su amable respuesta.
    La 2da duda era acerca de la distancia entre primos consecutivos, y cuantos puede haber.

    El primer sexteto lo hallo en 121.174.811, los 5 siguientes a +30 son primos consecutivos.
    Y solo 11 quintetos antes de los 150Mega.

  10. manuel lopez | 15 de marzo de 2007 | 13:03

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    estoy estudiando las diferencias en la sucesion de primos(ejs el la sucesión 2,3,5,7.11,13,17
    las diferencias son 1,2,2,4,2,4,…)y veo que a partir de los 100 primeros primos la diferenci dominante es 6 y con “diferencia”,las diferencias 2 y 4 son casi iguales…se ve también que la diferencias 12 y 18 van progresando .¿¿¿Hay algo publicado????

  11. JJGJJG | 6 de abril de 2014 | 12:29

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    Es fácil demostrar la convergencia de la serie 1/4+1/6+1/12+1/18+1/30+1/42+…de los inversos de los números intercalados en cada pareja de primos gemelos.
    Dicha suma vale, aproximadamente 0,928835…
    Me gustaría saber si esa constante es conocida, al igual que la de Brun, y si tiene nombre.
    ¿Alguien la conoce?

  12. gaussianos | 7 de abril de 2014 | 01:27

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    JJGJJG, pues el caso es que no la conocía. He estado buscando información sobre el tema y la verdad es que no he encontrado nada. Sería interesante que si alguien encuentra algo sobre ella lo comente.

  13. Andri Lopez | 7 de mayo de 2014 | 11:30

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    Soy Andri Lopez.

    Les informo que cualquier problema de los números primos ó relacionados con ello esta resuelto por medio del articulo:

    titulo: Equation for all primes numbers.

    Universal Journal of Computational Mathematics Vol 1 (3) 2013.

    No obstante les indico las ecuaciones para lo números primos.

    Todo número cuyo origen sea (5 + 6[5a + (1;2;3;4)]) ó (7 + 6[7a + (1;2;3;4;5;6]) y no sea multiplo de ninguno de los números respectivos (5;7;11;17;23;29) ó (3;5;13;19;31;37;43) es absolutamente primo.

    Andri Lopez

  14. Francesc | 12 de mayo de 2014 | 17:18

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    @Andri
    a=20; 611 es múltiple de 47 y cumple tu primera ecuación
    y para todo k, a= 20+47*k cumple tu primera ecuación y es múltiple de 47 (y por lo tanto, no primos)

  15. John Bryan | 25 de mayo de 2014 | 00:11

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    Bueno, entrando por acá se me despertó de nuevo el interés por los primos, y los primos gemelos jeje, así que dejaré esto por aquí (si el admin me recuerda, le envié algo similar por email hace un par de años masomenos :P aunque con unos conceptos equivocados debido a falta de formación en terminología, mas no con errores matemáticos). Bueno, aqui está:

    - Eliminamos de los naturales todos los pares.

    - Los impares restantes los agrupamos en triplas, quedando asi: 3, 5, 7; 9, 11, 13; 15, 17, 19; …

    - Los 2 últimos números de cada tripla serán gemelos siempre y cuando no sean divisibles por un primo mayor que 3.

    - Cualquier primo p dividirá un número en 3 de cada p triplas seguidas (fácilmente demostrable), en 2 de las cuales descarta el par final, y en la otra no porque divide al número inicial (multiplo de 3). Por si no queda claro, el 5 divide uno de los números de 3 de cada 5 triplas, una vez el primero, una vez el segundo y una vez el tercero (no necesariamente en ese orden), descartando como gemelos 2 de los 5 posibles.

    - Si calculamos, la probabilidad de que el par final de una tripla no sea descartado por el 5 es 3/5, la de que no lo sea por el 7 es 5/7, y en general la de que no lo sea por p es (p-2)/p.

    - La probabilidad de que una tripla no sea descartada por ninguno de los primos menores o iguales que p es la multiplicatoria de (q-2)/q para todo q primo menor o igual que p y mayor que 3.

    - Para hallar una cota inferior a esa probabilidad que podamos llevar al infinito, hacemos la multiplicatoria de todos los impares menores que p y mayores que 3 de (p-2)/p, lo que nos da 3/p.

    - Como es bien sabido, si n no es divisible por primos menores o iguales a su raíz cuadrada, entonces n es primo. De lo anterior, entre p^2 y q^2, donde q es el primo que le sigue a p, basta comprobar la no divisibilidad entre primos menores que p para saber si un n de ese intervalo es primo.

    - Teniendo en cuenta lo anterior, la cota inferior de la probabilidad de que una tripla contenida entre p^2 y q^2 no sea descartada es de 3/p. La probabilidad de que sí sea descartada tendra entonces una cota superior de (p-3)/p.

    - La distancia entre p y q es, cuando menos, 2, y (p+2)^2=p^2+2p+2, por tanto, la distancia entre p^2 y q^2 es, cuando menos, 2p+2. En tal intervalo, habrá aproximadamente unas (2p+2)/6 triplas.

    - Dado lo anterior, la probabilidad de que una tripla entre p^2 y q^2 NO contenga un par de primos gemelos, tiene una cota superior de ((p-3)/p)^((2p+2)/6), lo cual, si no estoy mal, converge a 1/e.

    - Bueno, según lo anterior, la probabilidad de NO encontrar un par de primos gemelos entre p^2 y q^2 es cuando menos 1/e, pero de hecho, como los primos son cada vez mens entre los impares, la diferencia entre la probabilidad real y la cota superior es cada vez mayor, por lo que diciha probabilidad es cada vez menor y menor.

    - En conclusion, los primos gemelos deben de ser infinitos.

  16. John Bryan | 25 de mayo de 2014 | 02:56

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    Ya hasta se me olvidaron las mates por dios ¬¬ Bueno, corrijo:

    (p+2)²=p²+4p+4

    La distancia mínima entre p² y q² es entonces de 4p+4, y la cantidad de triplas en ella es entonces de unas (4p+4)/6

    Entonces la probabilidad de que una tripla entre p² y q² no contenga un par de primos gemelos, tiene una cota superior de ((p-3)/p)^((4p+4)/6) y eso converge a 1/e².

    Así que, la probabilidad de no encontrar un par de primos gemelos entre p² y q² tiene una cota superior de 1/e².

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