Olimpiada Internacional de Matemáticas 2008 - Problema 2: Desigualdad

Segundo problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:

(a) Demostrar que

$\cfrac{x^2}{(x - 1)^2} + \cfrac{y^2}{(y - 1)^2} + \cfrac{z^2}{(z - 1)^2} \ge 1$ (*)

para todos los números reales $x, y, z$ , distintos de $1$ , con $xyz = 1$ .
(b) Demostrar que existen infinitas ternas de números racionales $x, y, z$ , distintos de $1$ , con $xyz = 1$ para los cuales la expresión (*) es una igualdad.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de Agosto de 2008
Categorías: Juegos

7 comentarios

no somos nadie | 5 de Agosto de 2008 | 15:09

a) Si $xyz=1$ , con paciencia

$\dfrac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \dfrac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \dfrac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} = \dfrac {\left(yz+zx+xy - 3\right)^2}{\left(x - 1\right)^2\left(y - 1\right)^2\left(z - 1\right)^2}+1$

b) Si $xyz=1$ , se dará la igualdad pedida si y sólo si $xy+yz+zx=3$ .

Si $z\neq 0$ , poniendo, $x=\dfrac{1}{yz}$ , llegamos a una cuadrática en y,z:

$y^2z^2+y(1-3z)+z=0$ ,

cuyo discrimante es $\Delta_y=(z-1)^2(-4z+1)$

Ponemos $z=\dfrac{1-m^2}{4}$ (con $m$ racional) para que el discriminante (en la incógnita $y$ ) sea un cuadrado perfecto: $\Delta_y=(z-1)^2m^2$ . Así, $y$ (y también x,z) sale racional, para cada m racional.
Javier | 6 de Agosto de 2008 | 13:42

Perfecto no somos nadie, pero que pasaría si $z=0$ ?
En este caso no es un problema, ya que si $z=0$ entonces $xyz=0$ y contradeciría la hipótesi de $xyz=1$ . Ese es uno de los fallos más comunes a la hora de hacer una demostración, plantearla según diferentes casos y olvidarse de justificar que pasa con uno de ellos.
no somos nadie | 6 de Agosto de 2008 | 20:16

No es que lo haya dejado en el tintero, Javier. Es que es un caso trivial. Efectivamente, z no puede ser 0, pues de partida se buscan soluciones racionales x,y,z tales que xyz=1.
Paco | 7 de Agosto de 2008 | 19:55

En el problema número 2, para que xyz = 1 al menos uno de los 3 números debe ser >1. Supongamos que es x > 1; entonces el primer sumando x/(x-1) al cuadrado, es > 1. Como los otros dos sumandos son siempre positivos la suma siempre es > 1
no somos nadie | 7 de Agosto de 2008 | 20:45

Paco, tu idea es buena, pero sólo vale si consideramos valores positivos de x,y,z. Si incluimos valores negativos, puede que todos los sumandos sean menores que 1 (aunque la suma sea mayor que uno), y la idea que das no se puede aplicar. Por ejemplo:

x=-4/3, y=-9/4, z=1/3
ÓsQar | 12 de Agosto de 2008 | 12:56

Javier, “contradecir” se conjuga igual que “decir”, así que lo correcto es “contradiría”.
Cristobal | 6 de Septiembre de 2008 | 11:09

Hola, a ver qué os parece esto:
a)
Si $x=0\vee y=0\vee z=0\rightarrow xyz=0$ # porque xyz=1 por hipótesis
Si $x=y=0\vee x=z=0\vee y=z=0\rightarrow xyz=0$ # porque xyz=1
Si $x=y=z=0\rightarrow xyz=0$ # porque xyz=1
Además de estos tres casos se desprende que lo que queremos demostrar es >0, estrictamente hablando.

Ahora:

$\cfrac{x^2}{(x - 1)^2}+\cfrac{y^2}{(y - 1)^2}+\cfrac{z^2}{(z - 1)^2}\gneq\cfrac{x^2}{(x - 1)^2}\gneq\cfrac{x}{x - 1}\gneq 1$
porque:
$\cfrac{x}{x - 1}\gneq 1 \leftrightarrow x\gneq x-1$ lo cual se cumple $\forall\in\Re$

Falta ver que puede ser igual a 1, para ello consideramos, por ejemplo:

$\cfrac{x^2}{(x - 1)^2}=0.2\quad\cfrac{y^2}{(y - 1)^2}=0.5\quad\cfrac{z^2}{(z - 1)^2}=0.3$
que si resolvemos las tres ecuaciones obtenemos dos ternas de números (x,y,z) que hacen que se de la igualdad (no lo resuelvo aquí porque me cuesta mucho escribir en latex)
Total, juntándolo todo obtenemos la demostración de la desigualdad pedida en el problema.
b) Veamos que hay infinitas ternas de racionales:

Consideremos:

$a=\cfrac{x}{x - 1}$
$b=\cfrac{y}{y - 1}$
$c=\cfrac{z}{z - 1}$

Luego sustituyendo arriba obtenemos: a^2+b^2+z^2=1, lo cual lo podemos considerar como el conjunto de la esfera unidad, el cual posee un cardinal infinito no numerable de puntos.
Si restringimos dicho conjunto esfera unidad a los racionales que cumplen a^2+b^2+c^2=1, seguimos obteniendo un conjunto de cardinal infinito no numerable.
Ahora, el conjunto de los x,y,z racionales tales que xyz=1 es, obviamente, otro conjunto de cardinal infinito no numerable.
Como $x=\cfrac{a}{a - 1}$ y así con las y,z, tenemos que el conjunto de racionales (x,y,z) tales que xyz=1 es lo mismo que el conjunto de racionales (a,b,c) tales abc=1; por lo tanto; este último es de cardinal infinito no numerable.
Así pues el conjunto de (a,b,c) racionales con a²+b²+c²=1 y con abc=1 es un conjunto de cardinal infinito no numerable.
Por tanto, el apartado b) queda demostrado.

Saludos