Olimpiada Internacional de Matemáticas 2008 – Problema 6: Intersección de tangentes

Sexto y último problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:

Sea ABCD un cuadrilátero convexo tal que las longitudes de los lados BA y BC son diferentes. Sean \omega _1 y \omega _2 las circunferencias inscritas dentro de los triángulos ABC y ADC respectivamente. Se supone que existe una circunferencia \omega tangente a la prolongación del segmento BA a continuación de A y tangente a la prolongación del segmento BC a continuación de C, la cual también es tangente a las rectas AD y CD. Demostrar que el punto de intersección de las tangentes comunes exteriores de \omega _1 y \omega _2 está sobre \omega.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

27 Comentarios

  1. Incluyo un par de problemas que quizas resulten de algun interes:
    Directo: Dados 4 vértices de un cuadrilátero cualquiera, contruir un cuadrado tal que cada uno de los lados del cuadrado (o sus prolongaciones) pase por cada uno de los vértices dados.
    Inverso: dado un cuadrilátero cualquiera, determinar 4 puntos, uno sobre cada uno de los lados del cuadrilátero (o sus prolongaciones), tales que los 4 puntos sean vértices de un cuadrado.

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  2. Mi admiración por l@s participantes que lograron resolver este señor problema!

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  3. Con respecto al problema 6 “Interseccion de tangentes”, no entiendo parte del enunciado del problema. Cuando se dice que se supone que existe una circunferencia tangente a 4 rectas dadas (AB, BC, CD y DA) parece haber un error, pues no hay circunferencias tangentes a mas de 3 rectas dadas.
    ¿Podrían aclararme este punto?

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  4. jorge alberto, las cuatro rectas AB, BC, CD, DA no son arbitrarias, sino tangentes a una circunferencia de la forma descrita en el enunciado.

    Ello implica que se da determinada relación entre los lados, parecida a la que se da cuando un cuadrilátero tiene un círculo inscrito…pero no digo más, porque miré la solución.

    Este problema es más difícil que los otros.

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  5. Fede:

    ¿Quiere decir que el cuadrilatero convexo esta cicunscrito a una circunferencia dada?

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  6. Las prolongaciones de los lados del cuadrilátero convexo son tangentes a una circunferencia dada \omega . Podríamos decir que es circunscrito externamente.

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  7. Fede:

    No existe ningun cuadrilátero convexo tal que las prolongaciones de sus 4 lados sean tangentes a una circunferencia dada.

    Jorge.

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  8. Fede:

    Esto fue clarisimo. Tratare de seguir avanzando en la solucion.

    Jorge.

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  9. Ni sé los cuadriláteros que dibujé anoche y en ninguno me salía nada parecido a lo que describía el enunciado.

    En fin, gracias fede, aunque no lo voy a intentar siquiera tenía curiosidad por ver qué se planteaba.

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  10. Indudablemente éste era el “problema de la Olimpiada”, y alguien que lo resolviera en el plazo de tiempo dado merecería la medalla de oro (aun sin haber resuelto los anteriores).

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  11. Lo que parece claro es que no se cumple en todos los cuadriláteros convexos, o al menos es lo que parece demostrar mi AutoCAD (a falta de recursos matemáticos..)

    Debe haber alguna condición que debe cumplir el cuadrilátero para que exista. Lo que no se es cual ¿?

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  12. Ya que todos los demás problemas olímpicos han sido resueltos en el blog, me parece que va siendo hora de escribir la solución a este sexto problema de la saga, no creéis? Fede, atendiendo a un comentario tuyo anterior, y en el supuesto de que conozcas una solución, ¿tendrías la amabilidad de darla a conocer? No sé si ^Diamond^ cree conviente publicar ya la solución.

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  13. ^Diamond^: honestamente, no me he sentido con fuerzas para atacar este problema.

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  14. hola M, no serás, por casualidad (y perdona la indiscreción), Domingo H.A. con otro nick, verdad?

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  15. vaya, ¡¡qué casualidad!!

    hemos hecho el mismo comentario Omar-P y yo a la vez, diciendo lo mismo!! No había leído su comentario.

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  16. buenoooo…ni ínfima comparación con el personaje al que se alude!!

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  17. Fede:

    He resuelto abandonar por el momento, el intento de resolución del problema 6, aún despues de haber visto el link “artofproblemsolving”. Puesto que me excede.

    Queero saber, aparte, si pudiste ver los problemas que planteé el 2/9. No se si esa es la forma de presentarlos y, en fin, si son de algún interes.
    Espero tu comentario.

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  18. Jorge, no me paré a pensar sobre los problemas que planteaste. A primera vista parecen interesantes.
    Respecto a la solución que enlacé de Ivan, veo que cuando dice por ejemplo “Hence K_3, k_4 meets AC at L and J”, asume que se conocen algunos hechos sobre los equicírculos (el incirculo y los excírculos) del triángulo.

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  19. Otro mas de relojes…

    en un reloj de 3 agujas: horaria, minutera y segundera,
    a las 12 horas y a las 6 horas, ambas exactas, las 3 agujas están alineadas sobre la misma recta. ¿Hay alguna/s otra/s hora/s exactas donde se produzca tal alineación?

    ¿A que hora/s exacta/s las 3 agujas forman entre si ángulos de 120 grados?

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