Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016 – Problema 1: Rectas concurrentes

Entre ayer, día 11 de julio, y hoy, 12 de julio, se ha celebrado en Hong Kong la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016. Comenzamos hoy a plantear en el blog los problemas propuestos en esta competición.

El enunciado del primer problema es el siguiente:

El triángulo BCF es rectángulo en B. Sea A el punto de la recta CF tal que FA=FB y F está entre A y C. Se elige el punto D de modo que DA=DC y AC es la bisectriz del ángulo \langle DAB. Se elige el punto E de modo que EA=ED y AD es bisectriz del ángulo \langle EAC. Sea M el punto medio de CF. Sea X el punto tal que AMXE es un paralelogramo (con AM \parallel EX y AE \parallel MX). Demostrar que las rectas BD, FX y ME son concurrentes.

Como siempre, os pido que si veis la solución al problema en alguna web (se publicarán en muchas webs las soluciones a estos problemas) no la pongáis directamente aquí, dejad que los que no han visto la solución puedan intentar el problema por su cuenta. Muchas gracias.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

3 Comentarios

  1. Me parece genial la propuesta, sigo el tema de cerca gracias al Facebook oficial y al del equipo mexicano. ¿España comparte la participación del equipo nacional en alguna red social?
    Ánimo a todos.

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  2. Un problema muy interesante y entretenido. Yo lo he resuelto asi:

    http://imgur.com/H3yFiCc
    http://imgur.com/iwYToiU

    En la segunda foto hay una manera añternativa de hacer la conclusion del problema sin usar desargues y un dibujo con todos los angulos porque la demostracion escrita es un poco liosa; espero que no haya erratas. Formalmente creo que esta perfecta.
    Como me parecia una construccion muy curiosa, me puse a cacharrear con geogebra y descubri que el punto en el que concurren es el circuncentro de MDF (os dejo que intenteis demostrarlo). ¿Se os ocurre alguna otra propiedad de este punto?

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