Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016 – Problema 2: I-M-O

Segundo problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016, celebrada en Hong Kong los pasados días 11 y 12 de julio.

Hallar todos los enteros positivos n para los que en cada casilla de un tablero n \times n se puede escribir una de las letras I,M y O de manera que:

  • en cada fila y en cada columna, un tercio de las caillas tiene I, un tercio tiene M y un tercio tiene O; y
  • en cualquier línea diagonal compuesta por un número de casilla divisible por 3, exactamente un tercio de las casillas tiene I, un tercio tiene M y un tercio tiene O.

Nota: Las filas y las columnas del tablero n \times n se numeran desde 1 hasta n, en su orden natural. Así, cada casilla corresponde a un par de enteros positivos (i,j) con 1 \le i,j \le n. Para n > 1, el tablero tiene 4n-2 líneas diagonales de dos tipos. Una línea diagonal del primer tipo se compone de todas las casillas (i,j) para las que i+j es una constante, mientras que una línea diagonal del segundo tipo se compone de todas las casillas (i,j) para las que i-j es una constante.

Si ya habéis visto la solución del problema en algún sitio, os agradecería que no la publicarais aquí, para así dar la posibilidad a los demás a resolverlo. Gracias.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

2 Comentarios

  1. Os deseo que verifiquen si la siguiente conjetura es cierta:

    Sea el conjunto K=\big\{n\in\mathbb{N}:(\exists a_{1},a_{2},\ldots,a_{n+1}\in\mathbb{N})(a_{1}\lt a_{2}\lt\ldots\lt a_{n+1}\land a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\ldots+a_{n}^{n}=a_{n+1}^{n})\big\}. Entonces K es infinito.

    Por ejemplo:
    $latex 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\
    3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$

    Si es válida, significa que en los naturales existiría una sucesión de llamadas “potencias perfectas” (que son los a_{n+1}^{n}).

    Si n\in K y m es un número entero mayor que n, entonces no existen números enteros positivos a_{1},a_{2},\ldots,a_{n+1} (distintos) que cumplan la igualdad:

    a_{1}^{m}+a_{2}^{m}+\ldots+a_{n}^{m}=a_{n+1}^{m}

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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