Olimpiada Matemática de Asturias 2013 – Problema 4

Cuarto problema de la Olimpiada Matemática de Asturias 2013. El enunciado de éste es el siguiente:

Calcula la suma de los inversos de los dos mil trece primeros términos de la sucesión de término general:

a_n = 1 - \cfrac{1}{4n^2}

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Definitivamente, había que saber de series.

    Éste, aparte de lo enrevesado de dar los inversos, se resuelve también con series telescópicas.

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  2. Yo no veo lo telescópico de la serie (o no he entendido del todo la definición). Más bien lo que pasa es que un término con parte del siguiente y parte del anterior saca dos unidades. La idea feliz, desde luego es pensar en la serie telescópica aunque luego la tengamos que dejar de lado.

    Luego me pongo a ver si doy la solución con álgebra.

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  3. Mmonchi, creo que tu resultado no es correcto, no puede dar como resultado un número mayor que 2013 ya que todos los términos son menores que 1. Un saludo

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  4. @Antonio A.: Ten en cuenta que es la suma de los inversos.

    @Maestrillo: Supongo que lo hemos resuelto de forma distinta. Yo no sé muy bien a qué te refieres tú. Si tengo tiempo más tarde, escribo cómo lo he resuelto yo.

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  5. Mi solución es similar a la de Maestrillo, se basa en 2/(2N+1)/(2N-1)=1/(2N-1)-1/(2N+1) y el resto sale solo.

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  6. Mi solución es similar a la de Maestrillo, se basa en 2/(2N+1)/(2N-1)=1/(2N-1)-1/(2N+1) y el resto sale solo.

    Golvano

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  7. OCL, sigo in ver la suma telescópica, esta vez en la solución oficial (aunque ahora sí en la de golvano). Me he perdido algo, seguro.

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  8. Maestrillo…..resuelve an, después haces 1/an , haces -1 + 1 en el numerador y después te queda

    1/an = 1 + 1/(2n + 1)/2n – 1) y ahí está la telescópica.

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  9. 1 - {1 \over 4n^2}={4n^2 - 1 \over 4n^2}

    Pero como es la suma de las inversas tenemos:

    {1 \over {4n^2 - 1 \over 4n^2}} = {4n^2 \over 4n^2 - 1} = {4n^2 + 1 - 1\over 4n^2 - 1} = 1 + {1 \over 4n^2 - 1}

    La segunda parte es:

    {1 \over 4n^2 - 1} = {1 \over (2n+1)(2n-1)} = {n \over 2n-1} - {n \over 2n+1}

    Cuando incrementas la n, se van cancelando términos, así que al final acabas con los 2013 (porque tienes el 1 delante), y:

     S = 2013 + {1 \over 2 \cdot 1-1} - {2013 \over 2 \cdot 2013+1} = 2013 + {4027 - 2013 \over 4027} = 2013 + {2014 \over 4027}

    Lo último es más o menos 0.5, de ahí la aproximación a 2013.5

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  10. A partir del problema de Basilea.
    S(sumatorio)((1-1/4n^2),n,1,2013)=2013-1/4(S(1/n^2),n,1,+inf-z(2,2014)=2013-1/4(pi^2/6-0,0005)=2013-pi^2/24+0,000125=
    =2012,588891.
    (Seguidamente veré si coincido con otros del foro)
    Saludos

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  11. Veo que la solución de Maestrillo coincide con la primera solución de OCL, pero ésta a su vez no coincide con la segunda de OCL y sin embargo ninguna coincide con la de golvano, que es la que me parece más correcta… y yo diría que impecable.

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  12. A ver. La demostración que enlazas NO hace uso de la “capacidad” telescópica de la serie. Das OTRA demostración que sí.

    Sería necesario tal vez definir “telescópica” referido a “serie” y, desde luego, “más” referido a “demostración correcta”.

    Yo alucino a veces.

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  13. Pero si la suma Tiene que ser menor que 2013; es 2013 menos algo (sumatorio de 1/4n^2)
    No estoy de acuerdo con 2013,5 que da la solución del enlace.
    Saludos.

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  14. En mi solución, donde pone 2047 debería ser 4027. Coincide con la que dio primero Mmonchi, con la de Maestrillo y con la oficial de OCL.

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  15. OCL, ojito con la descomposición en “telescópica” en tu último comentario: los numeadores han de ser 1 y no ‘n’ (y para que de bien, divididos por 2, como ha hecho golvano). De pura chiripa te ha dao un resultado muy cercano al real, pero no deja de estar mal. En la oficial que has dado en tu penúltimo mensaje sí que está, sin embargo, bien

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  16. Vuestros resultados me hicieron ver mi error al leer a la ligera el problema.
    Suma que piden=S(sumatorio)4n^2/(4n^2-1)=S((1+4n^2-1)/(4n^2-1),n ,1,2013)=2013+1/3+1/15+1/35+1/63+1/99+…+1/16208675 =
    =2013+2013/(2n+1)=2013+2013/4027=2013,499876
    (Ya era extraño que fuera tan complicado tratándose de una olimpiada de secundaria)

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