Olimpiada Matemática de Baleares 2013 – Problema 3

Tercer problema de la primera sesión de la Olimpiada Matemática de Baleares 2013, que se celebró el pasado día 11 de enero. El enunciado es el siguiente:

Sea A el subconjunto de los números enteros que cumple las siguientes condiciones:

a) 0 \in A
b) Si x^2-6x+9 \in A \Rightarrow x \in A
c) Si x \in A \Rightarrow x^2 \in A

Demostrar que:

i) Existen a,b,c,d \in A no nulos tales que a+b+c+d=0
ii) 2013 \in A

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

39 Comentarios

  1. Las condiciones que se pone para que x pertenezca a A contienen un => o un ?.
    Es decir si p->q no significa que q ->p. pero si tenemos p q alreves si es cierto

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  2. ¡Buenas! Gurt: Creo que el enunciado es correcto (o puede serlo). De hecho lo que implica (b) es que las raíces de p(x)=x^2-6x+9 (x=3 en este caso) pertenecen a A y a partir de ahí vas escarbando (yo soy partidario de ir mediante la “cuenta de la vieja” sacando valores del conjunto A). De hecho esa ecuación igualando a un número de A te va suministrando nuevas soluciones pertenecientes al conjunto A. De esa manera he sacado que:
    {3,6,9,12,36,-3,-6}\in A
    De donde es obvio sacar que si a=3, b=6, c=-3, d=-6, se verifica (i).
    Ahora bien para demostrar (ii) he intentado tirar metiendo el valor en las ecuaciones para ver si su pertenencia a A podía deducirse de alguno de los anteriores valores, pero sin éxito.
    Suerte al resto 😉

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  3. Pero hete ahí el problema si te fijas bien Ruben, que a mi como mínimo me confunde o me hace dudar de si está bien o no el enunciado. Por ejemplo: La ecuación igualada a 0 (pues 0 pertenece a A) da como solución doble x=+3,-3, ergo 3 y -3 pertenecen a A. Cojamos 3 por ejemplo, entonces 3^2=9 pertenece a A. Cojamos de nuevo la ecuación e igualemos a 9 (perteneciente a A), tenemos pues x^2-6x=0, que da como soluciones x=6 y x=0 (que ya sabíamos que era de A); igualandao la ecuación a 6 (que es de A), tenemos x^2-6x+3=0 con soluciones irracionales. Entonces no pertenecen a A las soluciones como pretende el enunciado, y tampoco 6 debería pertenecer a A porque la condición con ella no se cumple.

    No sé, me resulta confuso qué pretende decir el problema ahí si está correctamente copiado.

    Por otra parte 2013 no cumple tampoco la condición b del problema, lo cual si bien podría ser, resulta extraño en un problema de estas características (en los que la respuesta suele ser afirmativa).

    Saludos.

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  4. Como 0 pertenece a A, igualamos la ecuación de b) a 0. x = 3 => 3 también pertenece a A y 9 (tres al cuadrado) también pertenece al subconjunto.
    Vamos repitiendo el proceso sucesivamente: igualando la ecuación a 3, no tiene solución entera así que lo descartamos. Igualándola a 9, nos da 0 (ya sabíamos que pertenecía a A) y 6. Por tanto 36 (6 al cuadrado) también pertenece a A. Si seguimos con este proceso vamos obteniendo un patrón de resultados:
    -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 …

    Ahí ya tenemos la primera respuesta:

    i) -3+3-6+6 = 0

    Para la ii) podríamos seguir el proceso anterior hasta llegar a que nos dé 2013 pero por los datos obtenidos deducimos que los integrantes de A tienen la forma 3x siendo x un número entero. Vemos que 2013 = 3*671 por lo que entenderemos que pertenece a A.

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  5. Es fácil ver que el conjunto A es el de los múltiplos de 3. A partir del término n se obtiene la siguiente ecuación para el término n+1:

    (x_{n+1}-3)^2=x_{n}^2

    cuya solución es

    x_{n+1}= \pm x_n+3

    Por lo tanto, se van recorriendo todos los múltiplos de 3, y de ahí se deducen las dos condiciones fácilmente.

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  6. Seguramente tenga razon Gurt, y en el enunciado las condiciones deberian tener un “si y solo si” y no un “entonces”. De la forma que esta escrito el enunciado, el razonamiento de Yinyi es falso porque no se puede descartar la solucion de la ecuacion igualada a 3 por ser irracional, ya que la condicion es que si la ecuacion pertenece a “A” ENTONCES su solucion tambien; no al revés.

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  7. No entiendo las dudas con el enunciado, a mí me parece que está bien. Lo primero que se dice es que A es un subconjunto de los números enteros, entonces no tiene sentido probar con 3+\sqrt{3} para ver si pertenece a A o no.

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  8. Que alguien me diga en qué parte del enunciado pone explícitamente que b) significa que las raíces de ese polinomio (es decir, lo valores de x para los cuales ese polinomio es cero) deben pertenecer a A. Ese apartado b) está bien claro:

    Si x es un número entero (recordad que A es un subconjunto de los números enteros) tal que x^2-6x+9 pertenece a A, entonces el propio x también pertenece a A.

    No pongáis un =0 donde no está porque entonces parece que solamente los valores de x para los cuales ese polinomio es igual a cero son los que pertenecen a A.

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  9. Cierto, gaussianos. Yo estaba particularizando para comenzar a “tirar del hilo” nada más, pero si he confundido a alguien con mi frase inicial, lo siento. La verdad es que la explicación que he dado está bastante pobremente redactada. Gracias por la precisión 😉

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  10. Pues yo obtengo que el conjunto de A son todos los enteros:

    He hecho:

    0 pertenece (por ‘a’)
    1 si pertenece 4 (por ‘b’)
    2 si 1
    3 si 0
    4 si 1
    5 si 4 (si 1)
    6 si 9 (si 3 por ‘c’ si 0)
    7 si 16 (si 4 si 1)
    8 si 25 (si 5 si 1)
    … para los enteros positivos parece que todo se reduce a que si el 1 pertence a A entonces todos pertenecen a A.
    Si todos los positivos pertenecen a A, entonces es facil ver que tambien todos los negativos. Y de ahí, es obvio que se cumple (i) y (ii)

    Ahora bien, el 1 pertenece a A?

    Parece que si 2013 pertenece a A es porque el 1 pertenece, y si el 1 no pertenece entonces el 2013 no perteneceria. Pero esto es mas engorroso. Habria que ir descontando hacia atras con las condiciones (b) y (c) negadas.

    alguien se anima? 🙂

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  11. pues, estaba demostrando que todos los multiplos de 3 pertenecen como hace golvano, pero la respuesta de Cartesiano me ha cautivado. 4 pertenece si 1 pertence y viceversa (por b). Por c, si 1 pertenece, 1 pertence, osea OK.
    Entonces para ver que no se puede encontrar contradiccion basta ver que b no es mas que (x+3)^2, osea que recorre todos los cuadrados (condicion c).
    No hay problema. A son todos los enteros!!!

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  12. Cartesiano Caotico

    Dos cosas.

    De tu lista, las entradas que se refieren a múltiplos de 3 (0 pertenece, 3 si 0, 6 si 9 si 3), al contrario que las otras, no son hipotéticas, si no que son ciertas, siempre que se cumpla la primera (0 pertenece), que sabemos que es así.

    Además, algunas entradas están mal: ¿2 si 1? ¿5 si 4? ¿Cómo justificas eso?

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  13. Por favor, no hagáis caso a la segunda parte de mi comentario anterior. No lo había calculado bien. Perdón.

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  14. 2 si uno viene de: (2-3)^2=1
    y aprovecho para corregir mi entrada anterior b) es (x-3)^2
    (no x+3…)

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  15. Digo que los elementos del conjunto A se definen recursivamente:

    1) Con a) se define la existencia de 0 como elemento de A.
    2) Con 0 y b) se define la existencia de 3.
    3) Con 3 y c) se define a 9.
    4) Con 9 y b) se define a 6 y a 0 (que ya existe)
    5) Con 6 y c) se define a 36.
    6) Con 36 y b) se define a 9 y -3
    7) Con 9 y c) se define a 81.
    8) Con 81 y b) se define a 12 y -6
    9) Con 12 y c)….y así y así….

    Entonces, como -6, -3 , 3 y 6 pertenecen a A, i) está demostrado.
    Como 2013 es multiplo de 3, podemos llegar recursivamente que 2013 pertenece a A.

    Ahora, creo que para hacerlo más entretenido, veamos quién demuestra primero que 2013 pertenece a A, mediante el menor número de aplicaciones de a) b) y c)

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  16. A estas alturas, entre que escribía y no escribía el LaTex, creo que ya está todo probado, pero ya que he hecho el esfuerzo… Para i) buscamos 4 valores para a,b,c y d (  \pm 3, \pm 6 nos valen).

    En ii), por inducción:
    Sabemos que  A \ne \varnothing .
    Supongamos que  n \in A \Rightarrow n^2 \in A
    Puesto que  (n+3)^2-6(n+3)+9=[(n+3)-3]^2=n^2 \in A \Rightarrow (n+3) \in A
    Por lo tanto \forall n \in A, n+3k \in A, k=0,1,2,3…

    Como 0 \in A \land 2013=671*3 , en la expresión anterior,  n=0 , k=671 c.q.d.

    Por fin me animo con el LaTex! La verdad es que queda “divinodelamuerte”, pero es entretenido… ¡la práctica hará al experto!

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  17. Walton, lo consigo en 23 pasos:

    0 + b) ->
    3 + c) ->
    9 + b) ->
    6 + c) ->
    36 + c) ->
    1296 + b) ->
    39 + c) ->
    1521 + b) ->
    42 + c) ->
    1764 + b) ->
    45 + c) ->
    2025 + c) ->
    4100625 + b) ->
    -2022 + c) ->
    4088484 + b) ->
    -2019 + c) ->
    4076361 + b) ->
    -2016 + c) ->
    4064256 + b) ->
    -2013 + c) ->
    4052169 + b) ->
    -2010 + c) ->
    4040100 + b) ->
    2013

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  18. golvano, me parece más correcta tu respuesta, yo he obviado el primer paso:

    a) -> 0

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  19. Sea p(x)=(x+3)^2 i p(x+3)=x^2, entonces obtenemos que si p(x+3) pertenece a A, entonces x+3 pertenece a A, es decir, si x pertenece a A, x+3 también. Como 0 pertenece a A, podemos decir que todos los múltiplos de 3 también pertenecen, es decir, 2013 pertenece a A

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  20. Pues no estoy muy seguro de lo que decis:

    1º rtomas:
    Con la condicion ‘c’ no se demuestra la pertenencia que 1 \in A
    Simplemente evidencia que es coherente, es decir, no lo niega, pero tampoco lo demuestra.

    2º walton, ha encontrado suficientes valores para demostrar el problema, bien hecho! pero aunque no es necesario, ¿el 1 pertence o no? 😀

    Para demostrar la existencia del 1 hay que encontrar algún valor cierto (no hipotetico) que implica la pertenencia del 1. O bien demostrar, que no existe forma de negarlo. Aunque parece ser que no es necesario ni siquiera plantearselo, ya que pertenezca o no el 1, el problema queda resuelto. Leo lo ha resuelto de forma más elegante, y nuevamente no es necesario pasar por el 1.

    Por mi parte, cometí el error de pensar que la existencia del 2013 es parte de la definición (que no lo es. Así que no puede usarse para demostrar la pertencia del 1 (es tiempo perdido).

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  21. Alguien sería capaz de explicarme que se supone que ha hecho alfarero con p(x+3)?

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  22. Para alfarero: tienes una pequeña errata (¡Ay, las prisas!). Tu primera expresión debe ser p(x)=(x-3)^2. Aparte de eso tu solución es perfecta.

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  23. Que 1 pertenece a A es indecidible. Es imposible demostrar que 1 no pertenece a A con los datos del enunciado. A podria ser todos los numeros enteros o solo los multiplos de 3 y en ambos casos se cumplen las condiciones del enunciado.
    Esto lleva a una contradiccion en el enunciado ya que dice asi: “Sea A el subconjunto de los números enteros que cumple …”
    Este enunciado implica unicidad de A, pero hay al menos 2 subconjuntos de los enteros que cumplen las premisas (sin contradiccion alguna), por lo que el problema esta mal planteado. El enunciado deberia pedir que se demostrara para todos los subconjuntos de los enteros que cumplen … o algo asi.

    Asi que yo prefiero la solucion que A es el subconjunto de los enteros, pues todo conjunto es subconjunto de si mismo.

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  24. Eso está bonito…creo que el objetivo del ejercicio iba por ese lado, porque todos estos ejercicios debe tener la “solución” de las soluciones…¿ o no?

    Eso de suponer que el 1 pertenece, y que al final se saca la conclusión de que el conjunto es el de los enteros, podría ser válido si no existe a), o afirmar que cierto número, no múltiplo de 3, pertenece a A…por ejemplo, si supongo que 2 pertenece a A, hasta ahora, encuentro en A a 4, 1, 5, 25, -2, 8, 64, 11, -5, 121, pero wow, por más que veo no puedo ver -1, -3, 0, etc…creo que únicamente llegamos a todos los enteros si suponemos que 1 pertenece a A.

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  25. Hola, soy un estudiante de matemáticas de Zaragoza y me ha gustado mucho est problema.

    [RESOLUCIÓN] (¡Quien quiera pensarlo que no siga leyendo! ¡esto es solo para quien no sepa por donde cojerlo!)

    Si nos damos cuenta de un pequeño detalle, como pasa siempre en este arte, sale todo solo… tenemos dos condiciones, si me permitis voy a reordenarlas y “maquillarlas”:

    1) x está en A implica x^2 está en A
    2) (t-3)^2 está en A implica t está en A

    Si tomamos x=t-3 es inmediato comprobar utilizando 1) y 2) consecutivamente que:
    x está en A implica t está en A
    como t= x+3 tenemos:
    3) x está en A implica x+3 está en A
    0 está en A por tanto, aplicando 3) tenemos que 3, 6, 9, 12, 15… están todos en A

    osea, todos los múltiplos de 3 están en A (2013 es multiplo de 3, luego está en A)

    La otra demostración se saca de comprobar la pertenencia a A de números negativos (-3, -6, -9…) es facil utilizando 2)

    Soy nuevo en esta página y espero no estar cometiendo ninguna “atrocidad” poniendo el resultado, espero que os sirva. Ánimo y a darle a las mates.

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  26. Observemos que la condición b) implica una nueva condición b’) que es la siguiente: si x pertenece a A,36-12x+x*2 (6-x) también pertenece a A. Veámoslo:
    (6-x)^2-6(6-x)+9 = 36-12x+x^2-36+6x+9 = x*2-6x+9
    Esto significa que tenemos únicamente tres mecanismos para generar números que pertenezcan a A conociendo algún valor x de A:
    1) Elevar x al cuadrado
    2) Sumar 3 a x
    3) Restar x de 6
    Como solo nos dan un elemento de A que es el 0 las tres opciones citadas nos permitirán obtener cualquier múltiplo de 3 positivo o negativo pero nunca un no múltiplo de 3, luego, con los datos del enunciado, o no pertenece a A ningún número de la forma 3k+1 o 3k+2 o pertenecen todos los de cada una de las formas en cuanto supongamos que uno solo de ellos también pertenece.

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  27. Corrección: en la segunda línea de mi comentario anterior debe decir
    Si x pertenece a A,(6-x) también pertenece a A. Veámoslo:

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  28. JJGJJG

    Cuando dices “todos los de cada una de las formas” no sé si te entiendo bien. En realidad, si un no múltiplo de 3 (de cualquiera de las dos formas) pertenece al conjunto, todos los no múltiplos de 3 (de las dos formas) pertenecen.

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  29. No estoy de acuerdo con golvano.
    Si un número de la forma 3k+1 pertenece a A y utilizamos los criterios del enunciado (sumar 3, restar 6 o elevar al cuadrado), únicamente podemos obtener números del mismo subconjunto 3k+1 ya que (3k+1)^2 pertenece al mismo subconjunto.
    Curiosamente, si consideramos que un número del subconjunto 3k+2 pertenece a A, obtendríamos todos los no múltiplos de 3 ya que (3k+2)^2 = 3k’+1.
    Resumiendo: si nos dan el 0 tendremos todos los múltiplos de 3, si nos dan el 1 tendremos todo el subconjunto 3k+1 y si nos dan el 2 tendremos los dos subconjuntos 3k+1 y 3k+2.

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  30. JJGJJG

    A partir del 1, aplicando b) directamente, se obtienen el 2 y el 4, y a partir de ahí, todos los demás.

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  31. 1º) Llamo p a un número cualquiera que pertenezca al subconjunto A.

    2º) p \in A \Rightarrow p^2 \in A

    3º) p^2 = x^2 -6x + 9 \Rightarrow x \in A
    x = {6 \pm \sqrt{6^2+4(p^2 - 9)} \over {2 }}; x = {6 \pm \sqrt{36+4p^2-36} \over {2 }}; x = 3 \pm p

    4º) Todos los números de la sucesión a_{n} = 3n \pm p forman parte del subconjunto A.

    5º) Como sabemos que 0 \in A daremos a p el valor de 0 y de este modo cualquier número múltiplo de 3 pertenecerá al subconjunto A.

    6º) 2013 es múltiplo de 3 con lo cual queda demostrado.

    7º) Para demostrar el apartado i) simplemente basta con darse cuenta de que todo número p que pertenezca a A tiene su opuesto -p .

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  32. Lo que da la característica de que sean múltiplos de 3, asumiendo la pertenencia de cero, es el 3 de (x-3)^2…o sea, si el término fuese (x-5)^2, serían múltiplos de 5, y así

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  33. No sé de donde sacaron lo de las raices… yo esa parte la entendí simplemente como que si (x-3)^2 \in A \Rightarrow x \in A.

    Luego como x \in A implica que x^2 \in A, con ii) sacas que x+3 \in A. Luego como 0 también está, deduces que A contiene todos los múltiplos de 3 y ahí el problema se reduce a una migaja, jajaja.

    Saludos

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  34. Bueno vamos allá:

    Se tiene
    1) 0 está en A
    2) Si (x-3)^2 está en A -> x está en A
    3) Si x está en A -> x^2 también está en A

    Supongamos n está en A, sabemos por la condición 3ª que n^2 también lo estará.

    Por otra parte sabemos que A es no vacío por contener al 0
    y que (n+3-3)^2=n^2 está en A, de donde se tiene que n+3 también está en A.

    Rápidamente vemos que (n+6) también está en A por estarlo n+3, y así sucesivamente con n+9, n+12, .. n+3k …

    Concluyendo: los elementos de la forma n+3k con k=0,1,2,3,.. están en A bajo la hipótesis de que n esté en A

    Como sabemos con seguridad que 0 está en A, entonces todos los enteros positivos multiplos de 3 estarán en el conjunto A, esto es: 0+3k con k=0,1,2,…

    Ahora bien, ¿A contiene números negativos? observemos que:

    (-3-3)^2=36 que está en A y por tanto -3 lo estará también

    (-6-3)^2=81 está en A y por lo tanto también lo está el -6

    Esto mismo ocurre con -9,-12, … -3k (con k=0,1,2,3….)

    Concluyendo, podemos afirmar que todos los números enteros en la forma

    …,-3k,…0,…..+3k,…. (k cualquier natural) están en A

    Contestando a las cuestiones:

    – Con todo lo anterior vemos que -3,-6, 3, 6 por ejemplo, son cuatro números de A no nulos tales que su suma es nula. Es decir, i) se verifica.

    – 2013 es multiplo de 3 y por tanto está en A

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  35. Sea S=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\} el conjunto de las soluciones que satisfacen la ecuación  x^2-6x+9=0. Si igualamos la ecuación a una solución x_j^2-6x_j+9=x_i, entonces x_j=\frac{1}{2}(6 \pm \sqrt{36+4(j_i-9)})=3\pm \frac{1}{2}\sqrt{4x_i}=3\pm \sqrt{x_i}. Pero si x_i es solución, entonces existe una solución x_k tal que x_k^2=x_i. Entonces x_j=3\pm x_k\Rightarrow x_j\mp x_k=3. Pero si la suma o la diferencia de dos números es igual a tres, las soluciones de estas dos ecuaciones se pueden expresar mediante la clase de residuos \frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}} como:
    # \bar{x_j}+\bar{x_k}=\bar{0}
    # \bar{x_j}-\bar{x_k}=\bar{0}
    De aquí se deduce que todas las soluciones serán múltiples de tres, y como 2+0+1+3 \equiv 0 \pmod 3, entonces 2013 está dentro del conjunto A.

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  36. Antes de nada, creo que el problema no está del todo bien formulado. Dice “Sea A el subconjunto…” y eso da a entender que sólo un conjunto satisface esas condiciones cuando es fácilmente comprobable que eso no es cierto.
    x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2
    si x pertenece a A => x^2 pertenece a A =>(x + 3 – 3)^2 pertenece a A => x + 3 pertenece a A.
    Puesto que 0 pertenece a A => todos los múltiplos positivos de 3 pertenecen a A => 2013 = 3*671 pertenece a A
    (x-3)^2 = (3n)^2 => x = 3 + 3n o x = 3 – 3n y por lo tanto también todos los múltiplos negativos de 3 pertenecen a A.
    -6, -3, 3, 6 pertenecen a A => 3 – 3 + 6 – 6 = 0

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