Olimpiada Matemática de Baleares 2013 – Problema 4

Hoy os traigo el cuarto problema propuesto en la Olimpiada Matemática de Baleares 2013, primer de la segunda sesión, que se celebró el 11 de enero pasado. Vamos con él:

Se escriben alrededor de un círculo siete números enteros. Demostrar que si cada uno de ellos es igual a la media aritmética de los dos que tiene a su lado entonces la suma de los siete números es múltiplo de 7.

Que se dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

20 Comentarios

  1. X2 = (X1 + X3) / 2 => X3 = 2 X2 – X1. Iterando y despejando para X4,…,X7,
    X6 = 5 X2 – 4 X1, X7 = 6 X2 – 5 X1. Como X1 = 2 X7 – X6,
    X1 = 7 X2 – 6 X1. O sea X2 = X1. Luego todos los Xi son iguales y la suma de siete números iguales es múltiplo de 7.

    Publica una respuesta
  2. Si todos los números son iguales a n la suma será 7n, es decir, múltiplo de 7. Si al menos dos consecutivos son distintos llamémoslos x y x+d.
    Para que x+d sea la media de los que lo circundan el siguiente ha de ser x+2d. Del mismo modo pasará con los restantes que serán x+3d, x+4d, x+5d y x+6d. La suma de los siete es 7x+21d, múltiplo de 7 como queríamos demostrar, pero lamentablemente nos encontramos con que x+6d ha de ser también la media entre x y x+5d, es decir, x+3d. Esto significa que x+6d=x+3d, o sea d=0. Conclusión: todos los números han de ser iguales, lo que, como vimos al principio, cumple el enunciado.
    O no lo he entendido bien, o no me parece un problema olímpico.

    Publica una respuesta
  3. Sean los números a1, …, a7. Las relaciones de media aritmética implican, para a1:
    a1+a6 = 2a7; a1+a3 = 2a2 pero también (sustituyendo en las respectivas ecuaciones para el resto de números):
    a1+a4 = 2a6; a1+a5 = 2a3.
    Sumando las cuatro igualdades y despejando a un lado a1 + … + a7, sustituyendo para dejar todo en función de a1 (usando de nuevo la ecuación de la media aritmética) se llega a que la suma de los 7 es igual a 7a1, que es un múltiplo de 7.
    Repitiendo el argumento pero empezando en otro vértice i se obtendría a1 + … + a7 = 7ai, de lo que se deduce que todos los ai son iguales.

    Publica una respuesta
  4. Me sale lo mismo, una vez que estableces un sentido y si crece o decrede (d positivo o negativo) en la última relación se deduce que 7d=-d => d es 0 con lo cual todos los números son iguales.

    Publica una respuesta
  5. No tienen por qué ser iguales. Ejemplo: 2 4 6 8 10 12 7.

    En la notación de JJGJJG: teniendo en cuenta que la media del séptimo número sería x+5d/2, tenemos que d ha de ser par y la suma es: 7x+(1+2+3+4+5+5/2)d=7(x+5d/2), que es múltiplo de 7.

    Publica una respuesta
  6. Son todos iguales, en efecto. La sucesión de números es monótona recorramos como recorramos el círculo y demos tantas vueltas como queramos, luego será constante.

    Publica una respuesta
  7. Supongo que hay algo mal en el enunciado, porque es muy fácil.

    Como curiosidad, si los números se colocan en línea, de modo que el primero y el último no se unan, la suma de todos ellos también es necesariamente múltiplo de siete. Y en general, si se colocan n números (n>2), la suma es múltiplo de n.

    De todos modos no creo que este sea el error, ya que también es demasiado fácil para una olimpiada.

    Publica una respuesta
  8. Sive

    creo que tu análisis no es correcto. Eso sólo es para n impar o si la diferencia es par. Por ejemplo, para n=4, los números 1,2,3,4 lo cumplirían y su suma es 10, que no es múltiplo de 4.

    Espero no ofender a nadie, pero este problema parece sacado de los paralímpicos.

    Publica una respuesta
  9. Tienes razón, golvano, debo aprender a coger el bolígrafo antes de comentar.

    Publica una respuesta
  10. Golvano, no corras tanto.
    Cierra el círculo y veras que (2+4)/2 no es igual a 1 y que por lo tanto tu solución no es correcta.
    Podemos demostrar que son todos iguales por reducción al absurdo, esto es:
    Sean los números a,b,c,d,e,f y g.
    Si a>b => b>c => c>d….. => f>g => g>a lo cual es imposible porque a>g por la propiedad transitiva.
    Paralímpicos 1 Golvano 0 (no te enfades :-))
    Saludos

    Publica una respuesta
  11. No, la primera parte de mi comentario no se refería al problema original, sino a la variación que proponía Sive, sin cerrar el círculo.

    Publica una respuesta
  12. Si deucarra, es que no me creo que este problema vaya a una olimpiada, así que estuve buscado muchas variantes a ver si alguna convertía este problema en algo interesante. Siento la confusión.

    Publica una respuesta
  13. Hola a todos,

    yo lo había resuelto de una forma parecida a las aquí expuestas, pero sin hacer ningún cálculo ni despejar ninguna incógnita.

    Básicamente se basa en que la media aritmética de 2 números siempre es un valor intermedio a los 2 valores de los que se calcula la media. Es decir (para N_1):

    N_7 \leq N_1 \leq N_2

    ó

    N_7 \geq N_1 \geq N_2

    ya que, a priori, no podemos saber cual de los dos números adyacentes es mayor.

    Supongamos que la primera es la correcta. Al hacer el mismo razonamiento para N_2, forzosamente tendríamos que usar signos \leq para que sea consistente con la primera media aritmética. Obtendremos:

    N_7 \leq N_1 \leq N_2 \leq N_3

    Siguiendo con el razonamiento:

    N_7 \leq N_1 \leq N_2 \leq N_3 \leq N_4 \leq N_5 \leq N_6 \leq N_7

    Que solamente puede cumplirse cuando todos los N_i son iguales (=N). Igual resultado se obtendría al elegir la ecuación con los signos \geq.

    Finalmente:

    \sum_{i=0}^{7} N_i = \sum_{i=0}^{7} N = 7 N

    Que, evidentemente, es múltiplo de 7.

    Publica una respuesta
  14. Por si hace falta, aclaro que ése es el enunciado tal cual me lo pasaron, no he cometido ningún error al escribirlo, y entiendo que quien me lo pasó tampoco se equivocó.

    Publica una respuesta
  15. Llamando X(1),X(2),…,X(7) a los números, se tiene que: X(k)= 2X(k-1)-X(k-2) para k=3,4,5,6,7 (Esto no es mas que hacer cumplir que cada número sea igual a la media aritmética de los dos que tiene a ambos lados cuando están colocados en forma circular, es decir: X(k)+ X(k-2)= 2X(k-1)). Entonces:
    X(3)=2X(2)-X(1);
    X(4)=2X(3)-X(2)=..[OPERANDO Y DEJÁNDOLO EN FUNCIÓN X(1) Y X(2)]..=3X(2)-2X(1)
    X(5)=2X(4)-X(3)=…=4X(2)-3X(1)
    X(6)=2X(5)-X(4)=…=5X(2)-4X(1)
    X(7)=2X(6)-X(5)=…=6X(2)-5X(1)

    Por tanto X(1)+X(2)+…+X(7)= X(1)+ X(2)+ 2X(2)-X(1)+ 3X(2)-2X(1)+ 4X(2)-3X(1)+ 5X(2)- 4X(1)+ 6X(2)- 5X(1)= 21X(2)-14X(1)= 7(3X(2)-2X(1))

    Luego como puede comprobarse la suma es múltiplo siempre de 7

    Un saludo!

    Publica una respuesta
  16. Sea la lista de números: {a,b,c,d,e,f,g}
    Que cumplen relaciones: [a,b,c,d,e,f,g]=[(g+b)/2, (a+c)/2, (b+d)/2, (c+e)/2, (d+f)/2, (e+g)/2, (f+a)/2]
    Ponemos cada valor en función del parámetro t: [a,b,c,d,e,f,g]=[t,9t/4,7t/2,3t,5t/2,2t,3t/2]
    Hacemos la suma: S=a+b+c+d+e+f+g=63t/4, como podemos ver 63 es múltiplo de 7.

    Nota aclaratoria: {}, para conjuntos. [], para vectores.

    Publica una respuesta
  17. Soy la anterior, rectifico, la he liado poniendo los valores en función del parámetro t:

    Resolviendo,
    a=t; b=(t+c)/2 ;c=((t+c)/2+d)/2 -> c=(t+2d)/3; (…); f=(t+5g)/6; g=t.
    Creo que bien, obtengo: [a,b,c,d,e,f,g]=[t,t,t,t,t,t,t], por lo que todos los valores tienen que ser iguales dadas las condiciones. Así que la suma=7*t.

    Siento no haber verificado antes de publicar.
    Gracias por estas propuestas 🙂
    Un saludo.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Hoy os traigo el cuarto problema propuesto en la Olimpiada Matemática de Baleares 2013,…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *