Olimpiada Matemática de Baleares 2013 – Problema 5

Quinto problema de la Olimpiada Matemática de Baleares 2013 celebrada el 11 de enero. El enunciado del mismo, segundo problema de la segunda sesión, es:

Sean O_1, O_2 dos puntos cualesquiera del plano. Sean C_1 la circunferencia de centro O_1 que pasa por O_2 y C_2 la de centro O_2 que pasa por O_1. Sea C la circunferencia que tiene como diámetro al segmento O_1 O_2.

Supongamos ahora que r es el radio de la circunferencia que es tangente interiormente a C_1, exteriormente a C_2 y tangente también al diámetro de C_1 que es perpendicular al segmento O_1 O_2, y que r^\prime es el radio de la circunferencia tangente interiormente a C_1 y C_2 y exteriormente a C. La siguiente figura muestra la situación en la que nos encontramos:

Demostrar que r=r^\prime.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Ver:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/OMBaleares2013_5.html

    Consideremos la inversión en la circunferencia c_1. Esta inversión transforma la recta d perpendicular por O_1 al segmento O_1O_2 y a la circunferencia c_1 en si mismas, a la circunferencia c_2 en la recta c’_2, paralela a d por O, punto mkedio de O_1O2_2, y a la circunferencia c en la recta c’, paralela por O_2 a d. Las rectas d, c’_2 y c’ son paralelas y están igualmente distanciadas.

    Las inversas de las dos circunferencias rojas son las circunferencias tangentea a c_1, c’_2 y a d y c’ respectivamente, por lo que tienen el mismo radio, y sus inversas, las circunferencias rojas, también, puesto que las primeras son tangentes a la circunferencia de inversión y del mismo radio, la mitad del de c. El de las circunferencias rojas es la tercera parte del de c.

    Por cierto que los problemas de la Olimpiada Matemática de Baleares no coinciden con los publicadas en la página de la OME para la 1ª fase ¿?

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  2. Llamemos O3 y O4 a los centros de las circunferencias de radios r y r’ respectivamente y 2R, 2R y R a los radios de las circunferencias O1, O2 y la de diámetro O1-O2 respectivamente.
    Unamos O3 y O4 con O1 y O2. Tenemos que en los triángulos O3-O1-O2 y O4-O1-O2 podemos expresar sus lados, bases y alturas en función de R, r y r’.
    El triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa O3-O4 y por catetos la horizontal por O4 y la vertical por O3 permite demostrar que la prolongación de O3-O4 pasa por el extremo del diámetro horizontal de la circunferencia O2.
    Con sencillas relaciones entre todos estos datos deducimos que r = r’ = R/6 que es lo que buscábamos.
    Es un poco largo pero funciona.

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  3. Con una construcción similar a la de JJGJJG (triángulos  O_1O_2O_3 \ y \ O_1O_2O_4 ), llamando  A al punto medio de  O_1O_2 , podemos descomponer el segundo en el triángulo rectángulo  O_2AO_4 del que sabemos que sus lados miden  (R/2), (R/2+r') y (R-r') puesto que  O_4 se encuentra sobre la mediatriz de  O_1O_2 y aplicando Pitágoras, sale que  r'=R/6 .

    Por otro lado, el triángulo  O_1O_2O_3 se puede descomponer en dos triángulos rectángulos (con el punto adicional que está sobre O_1O_2 en la vertical de O_3) que nos llevan a la misma conclusión por un procedimiento similar.

    Es un método feo y burdo, pero funciona…

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  4. Ignacio Larrosa, no, parece que no coinciden, de hecho ni siquiera se celebraron el mismo día.

    Por cierto, cuando termine los de Baleares publicaré los de Galicia, que también me envió _cronos2 desde Asturias :).

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  5. NO se puede ver graficamente ?? es decir deslizando una esfera hasta que las dos esferas pequeñas coincidan y por lo tanto tengan los mismos radios.. 🙂 digo una solucion grafica

    movemos la esfera cuyo centro es O2 hasta ponerla paralela con O1

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  6. Creo que no serviría esa forma. Porque para hacer la representación visual deberíamos construir los objetos, y para que una esfera se ajuste a la otra deberíamos hacerla del mismo radio, pero estaríamos suponiendo que los radios son iguales, y esto es lo que hay que demostrar, no suponer como cierto.

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  7. Estoy intentando demostrar lo siguiente.
    Sean C_1(O_1,R) y C_2(O_2,r).
    Sea P \in C_1 \cap C_2.
    Entonces O_1,O_2,P son puntos en la misma recta.
    Demostrando eso, puedo utilizarlo en el problema que tenemos, de manera tal que teniendo C_3(O_3,r) y C_4(O_4,r') y haciendo P en P \in C_1 \cap C_3 y Q \in C_1 \cap C_4 se tendría que O_1,O_3,P están en alineados y O_1,O_4,Q están también alineados.
    De esta manera trazando la cuerda PQ y una paralela a dicha cuerda por $O_3$ entonces si se pudiera demostrar que $O_4$ está en la paralela a PQ que pasa por $O_3$ tendríamos los triángulos isósceles semejantes
    O_1,P,Q y O_1,O_3,O_4 y aplicando la propiedad de los lados de triángulos semejantes (la proporcionalidad entre los lados correspondientes) se tendría que r = r'.

    Hay que demostrar dos cosas en el camino y no puedo hasta ahora con ninguna.

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