Olimpiada Matemática de Baleares 2013 – Problema 6

Terminamos hoy con los problema de la Olimpiada Matemática de Baleares 2013, que se celebró el pasado 11 de enero, con el sexto problema, tercero de la segunda sesión. El enunciado es el siguiente:

i) Demostrar que si a,b son números reales positivos cualesquiera, entonces

\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b} \geq \cfrac{4}{a+b}

¿En qué condiciones se da la igualdad?

ii) Dados dos números reales positivos u,v tales que u+v=1, demostrar que

\cfrac{u}{1+v}+\cfrac{v}{1+u} \geq \cfrac{2}{3}

Decir cuándo es válida la igualdad.

iii) Demostrar que si x,y,z son números reales positivos tales que x+y+z=1, entonces

\cfrac{x}{1+y+z}+\cfrac{y}{1+z+x}+\cfrac{z}{1+x+y} \geq \cfrac{3}{5}

¿En qué casos hay igualdad?

Que se dé bien este último problema.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Respuesta al problema i):

    Hacemos denominador común en la parte izquierda:

    \frac{b+a}{ab} \ge \frac{4}{a+b}

    Multimplicamos la ecuación por (b+a), luego aquí tenemos la primera condición para que se cumpla (b+a) \ne 0

    \frac{(b+a)^2}{ab} \ge 4

    Desarrollamos el paréntesis:

    \frac{b^2 + a^2 + 2ab}{ab} \ge 4

    Multiplicamos la ecuación por ab, como son dos enteros positivos, esta operación no cambia el signo de la desigualdad:

    b^2 + a^2 + 2ab \ge 4ab

    Restamos a los dos términos de la ecuación el número 4ab:

    b^2 + a^2 - 2ab \ge 0

    Agrupamos la parte izquierda:

    (b-a)^2 \ge 0

    Que se cumple siempre, independientemente del valor de a y b, solamente teniendo en cuenta la condición que hemos impuesto al principio: (b+a) \ne 0.

    Publica una respuesta
    • La condición que planteas de que b+a no sea 0 está implícita en las condiciones del problema, que dice que tanto a como b son números reales POSITIVOS cualesquiera.

      Publica una respuesta
  2. Llevo casi un par de años siguiéndoos, y siempre he disfrutado mucho con el blog. Hoy me ha dado por comentar, así que allá va.

    A mí el más sencillo me ha parecido el problema ii).

    Aunque no sea muy relevante, si u y v son reales positivos tales que u+v=1, en realidad u y v estan entre el 0 y el 1: u,v\in\left(0,1\right).

    Lo que si uso es que u+v=1 (despejando v; v=1-u) y lo meto en la desigualdad a demostrar. Así
    \displaystyle\frac{u}{1+v}+\frac{v}{1+u}\geq\frac{2}{3}
    queda
    \displaystyle\frac{u}{1+1-u}+\frac{1-u}{1+u}\geq\frac{2}{3}\text{.}

    Así tenemos una función de una sola variable a la izquierda de la desigualdad:
    \displaystyle f(u)=\frac{u}{1+1-u}+\frac{1-u}{1+u}\text{,}
    que (usando las derivadas) alcanza su mínimo en u=\frac{1}{2}. En u=\frac{1}{2}, f toma precisamente el valor \frac{2}{3}, f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}.

    Como precisamente en u=\frac{1}{2} la función alcanza un mínimo, f siempre (en realidad sólo entre -1 y 2) toma valores superiores o iguales a f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}:
    \displaystyle f(u)\geq f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}.
    O lo que es lo mismo:
    \displaystyle \frac{u}{1+1-u}+\frac{1-u}{1+u}\geq \frac{2}{3};
    que desaciendo el cambio v=1-u,
    \displaystyle\frac{u}{1+v}+\frac{v}{1+u}\geq\frac{2}{3}. 🙂

    La igualdad se alcanza precisamente cuando se alcanza el mínimo: u=\frac{1}{2} y por tanto v=\frac{1}{2}.

    Para iii) he usado prácticamente el mismo razonamiento, pero con funciones de 2 variables. Seguro que alguien encuentra una forma más elegante de probarlo.

    Para i) he hecho algo muy parecido a lo que hizo JesusF

    Publica una respuesta
  3. El primer apartado viene de la desigualdad aritmética-armónica , que dice que para n números reales positivos, \frac{a_1+a_2+…+a_n}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}}. Esto se demuestra, por ejemplo, a partir de la desigualdad de Cauchy, o multiplicando y aplicando que (x-y)^2\geq0. El apartado i es un caso especial de esto, con n=2, y la igualdad sólo se da cuando a=b.

    Para demostrar la segunda desigualdad sumamos 2, de manera que queda \frac{u+v+1}{1+v} + \frac{u+v+1}{1+u} \geq \frac{8}{3}. Podemos factorizar la parte de la izquierda como (v+u+1)(\frac{1}{1+v} + \frac{1}{1+u}). El primer factor es igual a 2, mientras que el segundo, por la desigualdad demostrada en el apartado i, es mayor o igual a \frac{4}{u+v+2}=\frac{4}{3}. Con eso queda demostrado este apartado.

    La tercera parte se hace de manera muy similar a la segunda: se suma 3 en cada lado y se factoriza, quedando: (x+y+z+1)(\frac{1}{1+y+z}+\frac{1}{1+z+x}+\frac{1}{1+x+y})\geq\frac{18}{5}. Ahora se sustituye que x+y+z+1=2 y, por la desigualdad de media aritmética-armónica explicada antes, \frac{1}{1+y+z}+\frac{1}{1+z+x}+\frac{1}{1+x+y}\geq\frac{3^2}{3+2(x+y+z)}=\frac{9}{5}, como se quería demostrar.

    Los casos de igualdad de las dos últimas desigualdades también ocurren, por la desigualdad de medias aritmética-armónica, cuando los tres números son iguales.

    Publica una respuesta
  4. Gat
    No veo el tercer punto.

    la fórmula final, en el numerador lleva 1 en xez de x,y,z

    ¿me lo puedes explicar?

    Publica una respuesta
  5. Juanjo, en la fórmula de la media aritmética-armónica hay un ‘n’ que pasándola al otro lado se transforma en n^2 (en nuestro caso es la fórmula original sólo que invertida), dejándolo todo en 1 en el lado donde hemos “quitado” la ‘n’. En los casos ii) y iii) está igual; no hay ningün paso de más.

    O si te refieres al paso previo, lo que ha hecho es sumar 3 al lado derecho y 3 = (1+y+z)/(1+y+z) + (1+x+y)/(1+x+y) + (1+x+z)/(1+x+z) al lado izquierdo. Y luego como todos los numeradores quedan de la forma 1+x+y+z, lo saca como factor común

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Terminamos hoy con los problema de la Olimpiada Matemática de Baleares 2013, que se…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *