Olimpiada Matemática de Galicia 2013 – Problema 5

Quinto problema de la Olimpiada Matemática de Galicia 2013. El enunciado es el siguiente:

Resuelve esta ecuación exponencial

2^x \cdot 3^{5^{-x}} + \cfrac{3^{5^x}}{2^x} = 6

Que se os dé bien.

Actualización (2-4-2013): Arreglado el error que había en el enunciado.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

47 Comentarios

  1. Sospecho que el numerador del segundo término es 3^(5-x).
    La solución sería algo superior a 9.

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  2. Yo creo que esta ecuación no tiene solución, al menos en los números reales.

    Los dos términos son positivos. El primero es decreciente, y vale más de 6 para todo x menor de 9.1, si no me he equivocado. Por lo tanto, x tiene que ser mayor que eso. Pero el segundo término es creciente en ese intervalo y para ese valor de x vale mucho más de 6.

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  3. Al igual que JJGJJG, pienso que tiene que haber un problema con el segundo termino, de lo contrario no tiene solucion….

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  4. Ups, pues sí que hay un error, pero no en el segundo sumando, sino en el primero. Es 5^{-x} en vez de 5-x. Lo cambio ahora mismo y ya os lo dejo listo para que lo intentéis.

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  5. Es muy raro, pero a simple vista veo x=0 como respuesta, no?

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  6. La solución es 0 si 3^5^x es igual a 3^(5^x), que entiendo es la notación correcta.

    Si 3^5^x es igual a (3^5)^x = 243^x entonces la solución no es 0, sino un número 0<x< 1.

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  7. Si el primer sumando es f(x), el segundo es f(-x), de modo que tenemos f(x)+f(-x)=6.

    Como f(-x) es positiva y creciente y su derivada también es creciente, el mínimo de f(x)+f(-x) está en x=0.

    Como f(0)=3, f(0)+f(-0)=6 es el mínimo, luego no puede haber otra solución.

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  8. OK, realmente hice trampa al preguntarle a Wolfram|Alpha, pero x=0. Hagan el calculo ustedes mismos.

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  9. Haciendo 2^x=a ; 5^x=b, se llega a a*3^(1/b)+1/a*3^b=6.
    De aquí deduzco que a=1 ; b=1 por lo que tiene que ser x=0.
    (Con reservas)

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  10. Yo he calculado x=0 a prueba y error, pero para demostrar q es la unica solución solo se me ocurre demostrar que en x=0 se da un mínimo, pero es demasiado engorroso…

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  11. Este es un clásico ejercicio de las olimpiadas (lo digo por propia experiencia). La idea es que ya que tenemos (2^x)*(3^5^(-x))+(3^5^x)*(2^(-x)) vemos que nos interesaría multiplicar esos dos sumandos, en vez de sumarlos.

    Es bien sabido que la media aritmética de unos valores positivos es mayor o igual que su media geométrica. Utilizaremos este hecho para la resolución.

    (2^x)*(3^5^(-x))+(3^5^x)*(2^(-x)) = 6

    ( (2^x)*(3^5^(-x))+(3^5^x)*(2^(-x)) ) / 2 = 3 Como la media aritmética de cualquier solución es 3, la media geométrica será menor o igual a 3. Pero la media geométrica es sqrt ((2^x)*(3^5^(-x))*(3^5^x)*(2^(-x))=sqrt(3^((5^x)+(5^-x)))

    Como (5^x)+(5^-x) >= 2 (de trivial comprobacion (aplicando de nuevo medias) se sigue que la media geométrica anterior es mayor o igual a sqrt(3^2)=3. Pero por la desigualdad media aritmética-geométrica debe ser menor igual, ergo solo puede ser igual. De ahi se sigue 5^x + 5^(-x) = 2 equivalentemente x=0 que es la única solución posible para nuestro problema original.

    NOTA: Aunque las soluciones con derivadas están bien debemos ser consciente que en estos certámenes participan incluso niños de ESO con excelentes capacidades (pero su cálculo diferencial es, obviamente, nulo), por eso me ha parecido interesante plasmar esta solución que es la que requiere menos base matemática (aunque es bastante más plomo). Gracias por leer.

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  12. Digo que con x=0 tenemos (5^x)+(5^-x)=2 que era el unico caso válido para la desigualdad aritmética geométrica ya que media geométrica=sqrt(3^2)=3=media aritmética. Si x=0 es el único caso que verifica la igualdad de medias. Se deduce que x=0 es el único caso que verifica el problema original. Debes sustituír x=0 en el problema original y en efecto se ve que queda 2^0* 3^(5^0) +2^0* 3^(5^0) =1*3^1+1*3^1=3+3=6. Lo que se hace es analizar un problema análogo, ver que solo se soluciona con x=0 y comprobar dicha solución en el problema original. Perdón si antes me expliqué mal.

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  13. Daniel Cao lo de que x=0 es la unica solucion en 5^x + 5^-x = 2 (#) has de demostrarlo. Que x=0 =>(#) se cumple es trivial.
    La implicación contraria no,ni mucho menos.
    Y aquí se complica la cosa, pues el primer sumando es creciente pero el segundo no, luego (#) no es necesariamente creciente y encontrar que x=0 es el minimo no es ni mucho menos evidente.

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  14. Face to face: Sí es el mínimo para x=0.
    y=5^x + 5^-x – 2
    y’= L(5) * (5^x – 5^-x)
    y’ = 0
    5^x = 5^-x, x=0, y”>0, luego es un mínimo

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  15. Hagamos 5^x=y el problema de encontrar el mínimo de 5^x + 5^(-x) es ahora el de encontrar el mínimo de
    y+1/y. Para hacerlo obramos por derivación. La derivada de esa suma vale 1 – 1/y^2 que se anula en y=+-1. Notemos que el caso negativo no nos importa pues 5^x no es negativo (con x real). Entonces la derivada se anula solo en y=1. La segunda derivada que es 2/y^3 es positiva en y=1 lo que nos garantiza un mínimo. Entonces el mínimo de y+1/y se da con y=1. De ahí se sigue que el mínimo de 5^x + 5^(-x) es con 5^x=1 que se da si y solo si x=0.

    También admite una resolución por un teorema medias que dice:

    Dos r-medias aplicadas a un conjunto {a1, a2, …, an} toman igual valor (la geométrica y la aritmética son un caso de r-medias) si y solo si a1= a2 = a3 = … = an.

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  16. Yo daba por hecho que lo demostrabas con la misma propiedad de las medias aritmética y geométrica.

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  17. Yo encontre otra forma de demostrar que la unica posible solucion es x=0:

    Hagamos m=2^{x} y tendremos:   [latex] 3^{5^{-x}}m^{2}-6m+3^{5^{x}}=0

    Vamos a aplicar el conocido metodo de resolucion de ecuaciones bicuadraticas para obtener el valor de m, tendremos:

     m={6+sqrt{36-4*3^{5^{x}}*3^{5^{-x}}}over2*3^{5^{x}}

    Si analizamos el determinante, tenemos que su argumento debe ser mayor que 0:

    0leq36-4cdot3^{5^{x}}cdot3^{5^{-x}}

    Dividiendo entre 4 la expresion, aplicando logaritmos y despejando el termino “2” obtenemos:

    5^{x}+5^{-x}leq2

    multiplicando la inecuacion por 5^{x}, se obtiene:

    5^{2x}+1leq2cdot5^{x} y sabemos que la unica solucion posible a esta inecuacion es 5^{x}=1. Por lo tanto la unica solucion posible para que el determinante no sea negativo es x=0 y, al introducirlo para calcular el valor de m, obtenemos que m=2^{0}=1

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  18. Dani Cao acabas usando diferenciación, algo que creía que te habías impuesto no hacer para resolverlo de la manera más elemental. Y Paul… pues lo resuelve por tanteo pero sigue sin demostrar unicidad.
    Definitivamente, ojeando algunos manuales de guía para olímpicos matemáticos sí se usan conceptos de crecimiento, monotonía y diferenciación de funciones -a un grado elemental pero que sí sirven en estos casos-.

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  19. Daniel Cao resolvió el problema muy bien sin usar derivadas. La parte de 5^x+5^{-x}=2 se puede resolver, como él mismo dijo, aplicando que la igualdad entre las medias aritmética y geométrica sólo se da en el caso de que los dos términos sean iguales.

    Paul resolvió esa parte de una forma incluso más sencilla:

    a+\frac{1}{a}=2

    a^2+1=2a

    a^2-2a+1=0

    (a-1)^2=0

    a=1

    5^x=1

    x=0

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  20. face to face:

    Para mi si hay unicidad. Al hacer el cambio m=2^x, se obtiene una ecuacion de segundo grado en funcion de m. Al despejar m, para que existan soluciones reales al problema, el determinante resulado de ese despeje no puede ser negativo. Por lo tanto, al trabajar la desigualdad en el argumento del determinante, dividiendo entre 4 y aplicando las propiedades logaritmicas, se obtiene que:

    (5^x-1)^2<=0

    la unica condicion para que esta condicion se cumpla es la igualdad, lo que implica 5^x=1 y, por lo tanto, x=0.

    Me perdonan, por favor, si no me explique bien; soy americano ( mi lengua nativa no es castellano) y ademas no se usar latex

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  21. Daniel Cao:

    Me gusto mucho tu solucion. No la habia leido sino hasta ahora

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  22. Lo de que la solución x=0 es única, es fácil de demostrar. En el comentario enviado por Mmonchi, está la clave.
    Es fácil ver que si escribimos la igualdad de la forma:
    f(x)+g(x)=k , para todo ‘a’ se cumple que g(a)= f(-a); por lo tanto f(a)+f(-a)=k

    Dado que obviamente f(a)+f(-a)= f(-a)+f(a), para cualquier otro valor de ‘k’ distinto de 6 existen dos valores solución (x=a y x=b ; donde b=-a).

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  23. No entiendo lo que quieres decir. Lo único que demuestras es que si a es una solución, -a también. ¿Pero por qué no puede ser? ¿Por qué no puede ser que tenga 3 soluciones, 0, a y -a?

    Lo que se quiere demostrar es que para el valor 6 sólo existe una solución, no que para el resto de valores existe más de una (aparte de que eso no es así, para k=4 no hay ninguna solución).

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  24. Mmonchi:

    Creo que a la solución de Mmonchi le falta algo (más allá de lo de las derivadas que al fin y al cabo son trivialidades (más o menos tortuosas, pero trivialidades)) sin embargo hay algo que creo que le falta un hueco (o yo no estoy entendiendo bien). A propósito, creo que f(-x) no es creciente. Sin embargo si lo es en (0, infinito).

    Agradecería que desarrollaras un poco más en los puntos en los que te apoyas.

    Paul:

    También tu demostración me ha parecido muy ingeniosa, de hecho me gusta más que la mía propia.

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  25. El problema general es f(x)+f(-x)=k.
    Se supone que está demostrado que el mínimo de f(x)+f(-x) es 6 para x=0
    Al ser f(x) y f(-x) simétricas respecto del eje de ordenadas quedan claras las siguientes cuestiones:
    Para k>6 siempre habrá dos soluciones simétricas: x=a y x=-a.

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  26. Además tenemos que:
    Para k<6 no existen soluciones reales.
    Para k=6 la solución única es x=0

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  27. Lo que atinadamente expresa JJGJJG, es a lo que yo me refiero, sólo me faltó indicar que las dos soluciones simétricas se dan para el caso de que k>6 y que para k<6 no hay soluciones reales.

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  28. Que la función sea de la forma g(x)=f(x)+f(-x) y tenga un mínimo en g(0)=6 no implica que x=0 sea la única solución a g(x)=k para k=6. Tampoco implica que para k>6 tenga que haber dos soluciones (sino un número par, que puede ser 0). Todo eso se cumple en este caso, pero no se deduce solamente de eso.

    Dicho esto, yo creo que la solución de Mmonchi es correcta.

    g(x)=2f(0)+(f(x)-f(0)) - (f(0)-f(-x)) = g(0) + (f(x)-f(0)) - (f(0)-f(-x))

    Luego si

    (f(x)-f(0)) > (f(0)-f(-x))

    entonces

    g(x)>g(0),  \forall{x\neq{0}}, que es lo que se quiere demostrar.

    Y eso se deduce de que la primera derivada de f(x) es creciente para todo x.

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  29. Daniel Cao, voy a desarrollar un poco más mi solución, aunque creo que Golvano ya lo ha hecho por mí.

    Tenemos que hallar las soluciones de 2^x*3^5^-x + 2^-x*3^5^x = 6. Hago f(x)=2^-x*3^5^x y f(-x)=2^x*3^5^-x (ojo, en la demostración los llamé al revés, lo cambio ahora para mayor claridad) y lo convierto en f(-x)+f(x)=6.

    f(x)>0. Como es el cociente de dos funciones positivas en todo el intervalo, es positiva. El numerador es positivo porque es un entero elevado a una función positiva.

    f´´(x)>0. Hallo la segunda derivada de f(x) que es f´´(x)=f(x)*[(5^x*ln5*ln3-ln2)^2+5^x*ln5*ln5*ln3]. f(x) ya sabemos que es positiva, el primer sumando es positivo porque es un cuadrado y el segundo es el producto de una función positiva por una constante positiva.

    Como la pendiente es siempre creciente (f´´(x)>0), dado cualquier punto A y un intervalo [A-x,A+x] con x distinto de A, se cumple que f(A+x)-f(A)>f(A)-f(A-x).

    Haciendo A=0 tenemos que para x>0, f(x)-f(0)>f(0)-f(-x), luego f(x)+f(-x)>2*f(0). Como f(0)=3, para x>0 f(x)+f(-x)>6. Como la función f(x)+f(-x) es simétrica respecto a x=0, se cumple que f(x)+f(-x)>6 para todo x distinto de 0.

    Y como para x=0, f(x)+f(-x)=6, la única solución es x=0.

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  30. Me temo que mis conocimientos de matemáticas son muy escasos, pero yo creo que la cosa puede hacerse así:

    Llamando a = 2/3^5, la ecuación se reduce a:

    a^x + 1 / a^x = 6

    Multiplicando todo por a^x (que no puede ser 0, pues a no lo es) y agrupando en el primer miembro se obtiene:

    a^2x – 6a^x + 1 = 0

    De donde se deduce que a^x = 3 +- sqrt(8)

    Tomando logaritmos para despejar la x tenemos:

    x = log(3+-sqrt(8)) / log a, y las dos soluciones, con sus primeros 4 decimales, son:

    x1 = -0.3672
    x2 = 0.3672, aunque ésta era obvia a partir de la otra.

    que parecen válidas cuando las compruebo.

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  31. Solución para la ecuación:

    (2^x) ((3^5)^-x) + ((3^5)^x)/(2^x) = 6

    si q=(2^x) ((3^5)^-x)

    q + 1/q = 6 –> q1 = 5.8284 q2 = 0.17157

    x Ln(2) – x Ln(3^5) = Ln(q) —> x = Ln(q) / (Ln(2) – 5 Ln(3))

    x1 = – 0.3672 x2 = 0.3672

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  32. Guillermo:

    El segundo termino de la ecuacion no es el inverso del primero.

    Por otra parte, he calculado la primera y la segunda derivada de la funcion g(x)=f(x)+f(-x) con sus dos terminos explicitamente expuestos. Para la primera derivada obtengo, por supuesto, que x=0 es un punto notable. Para la segunda derivada, revise su ecuacion y me parece que es positiva para todo x, lo que implica que no hay maximos, y, de ser cierto esto, tan solo hay un minimo que es donde x=0. Lamentablemente, no se usar latex. Me gustaria que, por favor, lo revisaran y me dieran su opinion….

    Gracias

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  33. No habia visto la explicacion final de Mmonchi. Se parece un poco a la mia en algunas cosas.

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  34. Gracias por la aclaración. Me ha quedado totalmente claro. En cuanto a los últimos comentarios de Guillermo y Roberto, deduzco que están haciendo 5-x en vez de 5^(-x), pero deduzco que simplemente es un error de preferencia de operaciones o bien de que no se entiende muy bien la expresión.

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  35. Muchos de vosotros seguís cometiendo el mismo error una y otra vez:

    (3^5)^x es distinto a 3^(5^x)

    la segunda expresión es la correcta, y se corresponde con lo planteado 3^5^x

    La solución es x=0, puesto que es un máximo absoluto, y no existen otros mínimos locales.

    Supongo que la otra forma, la incorrecta, tiene como solución 0,3672.

    Golvano, dices que para k>6 tendría que haber un número par de soluciones, pero y si la solución cayera justo en otro mínimo local? (sería una solución con multiplicidad dos), eso cuenta como un número par de soluciones? 🙂

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  36. En todo caso habrá dos soluciones con multiplicidad dos. Bajo cualquier interpretación sigue siendo un número par.

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  37. @paul: ¿Cómo que no es inverso?

    3^5^(-x)=3^(-5*x)=1/(3^(5*x))

    3^5^x=3^(5*x)

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  38. Trataré de aclarar la duda de angel1990:
    Si miras con cuidado el enunciado verás que el exponente del 3 es 5^x y no 5x que es lo que tú interpretas y lo que hubieran escrito los redactores del problema si hubieran querido que significara eso. la x es EXPONENTE del 5, y no FACTOR del 5.

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  39. No tiene solución. Después de operar algebraicamente llegamos a una cuadrática 2^(2x)-6.3^(5x).2^x+3^10x=0.
    Resolviendo llegamos a una expresión: 3^(5x)=0. Lo que no es posible para ningún valor de x

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