Olimpiada Matemática de Galicia y Asturias 2013 – Problema 2

Segundo problema de la Olimpiada Matemática de Galicia y de la de Asturias 2013, y, en general, supongo que de todas las Olimpiadas Matemáticas celebradas en España el pasado sábado 12 de enero. El enunciado es el siguiente:

Prueba que las sumas de las primeras, segundas y terceras potencias de las raíces del polinomio

p(x) = x^3 + 2x^2  + 3x + 4

valen lo mismo.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Este es facilito con las ecuaciones de cardano-vietta. Para empezar las primeras potencias suman -2, elevamos al cuadrado y tenemos que 4 es igual a las potencias de 2 más los productos de 2 orden de las potencias, que valen 3 (por las ecuaciones de cardano-vietta otra vez) así que simplificando también la suma de las segundas también vale -2. Las terceras requieren un poco más de cálculo. Multiplicando las sumas de las segundas potencias por la suma de las primeras potencias (-2*-2) llegamos a una expresión con las terceras potencias y términos de la forma a*b*(a+b). Pues bien, cómo a+b=-2-c sustituimos y simplificando obtenemos el producto de todas las raíces (que vale -4), las sumas de los productos de segundo orden (que vale 3) y las terceras potencias… simplificamos y listo

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  2. Como bien se indica arriba por Cardano-Vietta se obtiene:

    x1+x2+x3=-2 (1)
    x1x2+x2x3+x1x3=3 (2)
    x1x2x3=-4 (3)

    Dividiendo (1)/(3) se obtiene: 1/(x2x3)+1/(x1x3)+1/(x1x2)=1/2;
    Dividiendo (2)/(3) se tiene que: 1/x1+1/x2+1/x3=-3/4
    (Esto lo vamos a utilizar más adelante) (**)

    Como x1,x2,x3 son raices de p(x) se tiene: xi^3+2xi^2+3xi+4=0 con i=1,2 y 3;

    Sumando las 3 ecuaciones y agrupando términos de igual exponente en x se tiene:

    x1^3+x2^3+x3^3=-2(x1^2+x2^2+x3^2)-3(x1+x2+x3)-12

    – Por (1) sabemos que (x1+x2+x3)=-2

    Se observa que de entrada si los 3 paréntesis valieran -2 se verificaría la ecuación y por tanto se cumpliría el enunciado, pero se está suponiendo que los paréntesis son iguales, vamos a ver cuanto vale la suma del cuadrado de las raíces.

    – Para ver cuanto vale la suma de los cuadrados de las raíces hacemos lo siguiente:

    (x1^2+x2^2+x3^2)/-4=x1/(x2x3)+x2/(x1x3)+x3/(x1x2)=

    y despejando de (1) x1, x2 y x3 de los numeradores:

    = -(2+x2+x3)/x2x3-(2+x1+x3)/x1x3-(2+x1+x2)/x1x2 =
    = -2(1/(x2x3)+1/(x1x3)+1/(x1x2))-2(1/x1+1/x2+1/x3) =

    Estas expresiones nos aparecen de las relaciones de Cardano arriba (**) y sabemos cuanto valen:

    = -1(1/2)-2(-3/4)=-1+3/2=1/2

    De modo que: (x1^2+x2^2+x3^2)=1/2*(-4)=-2

    Despejando finalmente de x1^3+x2^3+x3^3=-2(x1^2+x2^2+x3^2)-3(x1+x2+x3)-12 obtenemos que

    x1^3+x2^3+x3^3 = 4+6-12=4-6=-2

    De este modo queda demostrado.

    Perdonad por lo engorroso, esto en un folio es más sencillo pero no controlo todavía LaTeX.

    Un saludo.

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  3. Hola, yo tengo otra manera de probar lo mismo.
    Sean a, b, c y las 3 raíces. Sabemos que nuetro polinomio se puede escribir como
    p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)
    que desarrollando nos queda
    p(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc
    Igualando los coeficientes que acabamos de obtener con los del polinomio original resulta
    begin{array}{lcr} a+b+c &=& -2 ab+ac+bc&=&;3 abc &=&;-4 end{array}
    Así que ya tenemos las primeras potencias: a+b+c=-2

    Para las segundas, sabemos que
    (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)
    entonces
    a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=(-2)^2-2·3=4-6=-2

    Las potencias terceras es cómo lo han hecho las 2 personas anteriores:
    a^3+b^3+c^3=-2a^2-3a-4-2b^2-3b-4-2c^2-3c-4=-2(a^2+b^2+c^2)-3(a+b+c)-12=-2(-2)-3(-2)-12=-1

    A mi esta forma me parece más sencilla, pero supongo que es porque es la primera que se me ha ocurrido ;D
    Un saludo

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  4. Esto puede ser resuelto muy facilmente con un teorema que hallé y envié a esa web, espero que podamos verlo junto a ese problema para comprobar lo que digo 🙂

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  5. Si a, b y c son las raíces, de la ecuación del polinomio tenemos:
    abc=-4
    ab+bc+ac=3
    a+b+c=-2

    Elevando la tercera ecuación al cuadrado obtenemos:
    \left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)=4\Rightarrow a^2+b^2+c^2=4-2\left(ab+ac+bc\right)=4-6=-2.

    Y ahora la elevamos al cubo:
    -8=\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc=\left(a^3+b^3+c^3\right)+6abc+3\left(a\left(ab+ac+bc\right)-abc+b\left(ab+ac+bc\right)-abc+c\left(ab+ac+bc\right)-abc\right)=\left(a^3+b^3+c^3\right)-3abc+3\left(a+b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)
    De aquí deducimos a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3+3abc-3\left(a+b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)=-8-12-3\left(-2\cdot3\right)=-20+18=-2.

    Consecuentemente, a+b+c=a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=-2.

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  6. Yo este prefiero hacerlo así:

    Si a, b y c son las raíces, se tiene que p(a) = p(b) = p(c) = 0 y

    a^3 = – 2a^2 – 3a – 4
    b^3 = – 2b^2 – 3b – 4
    c^3 = – 2c^2 – 3c – 4

    multiplicando por a^k, b^k y c^k respectivamente,

    a^(k+3) = – 2a^(k+2) – 3a^(k+1) – 4a^k
    b^(k+3) = – 2b^(k+2) – 3b^(k+1) – 4b^k
    c^(k+3) = – 2c^(k+2) – 3c^(k+1) – 4c^k

    Definimos entonces,

    S(k) = a^k + b^4 + c^4

    Sumando las tres igualdades anteriores, tenemos que

    S(k+3) = -2S(k+2) – 3S(k+1) – 4S(k)

    Si conocemos tres valores consecutivos de S(k), ya los conoceremos todos. De las relaciones de Cardano-vieta directamente, S(1) = – 2. Por otra parte, S(0) = a^0 + b^0 + c^3 = 3. Y

    S(-1) = 1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac + ab)/(abc) = 3/(-4) = -3/4

    También directamente de cardano-Vieta. Entonces,

    S(2) = -2S(1) – 3S(0) – 4S(-1) = -2(-2) – 3*3 – 4(-3/4) = -2

    S(3) = -2S(2) – 3S(1) – 4S(0) = -2(-2) – 3(-2) – 4*3 = -2

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  7. POR FAVORRRRRRRRRRRRRRR me ayudar con este ejercicio por faaaaaaa
    sea P(X)= ax*3+bx*2+cx, hallar valores de a, b, y c para que dos de sus raices sean x=2 y x=-3 y ¿cual es su tercer raiz?

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