Olimpiada Matemática de Galicia y Asturias 2013 – Problema 3

Tercer problema de la Olimpiada Matemática de Galicia y de la de Asturias 2013, y, en general, supongo que de todas las Olimpiadas Matemáticas celebradas en España el pasado sábado 12 de enero. El enunciado es el siguiente:

En una sala de baile hay 15 chicos y 15 chicas dispuestos en dos filas paralelas de manera que se formarán 15 parejas de baile. Sucede que la diferencia de altura entre el chico y la chica de cada pareja no supera los 10cm. Demostrar que si colocamos los mismos chicos y chicas en dos filas paralelas en orden creciente de alturas, también sucederá que la diferencia de alturas entre los miembros de las nuevas parejas así formadas no superarán los 10cm.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

4 Comentarios

  1. Supongamos que en la i-ésima pareja la diferencia es mayor. Entonces hay 15-i+1 personas de una de las filas que son más de 10cm. más altas que i personas de la otra fila. Estas 15-i+1 personas solo se pueden equiparar en altura con 15-i personas de la otra fila (las otra i son demasiado bajas), por lo que en cualquier emparejamiento que hagamos hay una que se tiene que emparejar con una persona del grupo de las i que más de 10cm. más bajas.

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  2. ¡Buenas! Supongamos que N es el número de personas que forman la fila de chicos (denotémosla por el vector \bar{x}) y chicas(denotémosla por el vector \bar{y}).
    Tal cuál yo lo veo el esbozo de razonamiento sería algo así: dado que con N=1 se cumple trivialmente que al ordenar las parejas y emparejar siguen teniendo una diferencia menor a 10 cm. Cuando añadimos otro chico y otra chica tenemos que éste puede ser el más alto o el más bajo e igualmente con la chica (N=2). Si ambos son los más altos o los más bajos se cumple trivialmente el enunciado para N=2. Si uno es el más alto (pongamos que la chica) y el otro pasa a ser el más bajo (el chico), cruzamos las parejas al ordenar. Este cruce sin embargo está limitado por cuatro inecuaciones: las diferencias de alturas de las parejas antes de ordenar |x_1-y_2|<10,|x_2-y_1|<10 y la ordenación x_1<x_2 y y_1<y_2. Necesitamos expresar condiciones en términos de |x_i-y_i|Reorganizando y operando con dichas desigualdades tenemos que: Por las inecuaciones de ordenación trasladadas a las inecuaciones de alturas de las parejas de baile se cumpliría para N=2 el enunciado. Y siguiendo así sucesivamente de manera repetida podemos demostrarlo para el problema planteado con N=15.

    Seguro que se puede hacer de una manera más clara, pero no se me ocurre. Seguro que me he explicado de pena…
    Saludos.

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  3. Pensando un poco, no hay problema con la mujer más baja…siempre su compañero en la nueva formación será el mismo compañero que tenía u alguien de menos estatura que su compañero inicial, cumpliendo la diferencia….análogo la mujer más alta, le tocará su compañero o alguien mayor al original, respetando nuevamente la diferencia.

    Entonces después eliminamos los extremos quedando 13, y procedemos de la misma forma, hasta quedar 1 pareja en la nueva formación, que obviamente respetarán la diferencia…ahora todo esto es posible por la condición de que las parejas originales cumplen con la diferencia.

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