Olimpiada Matemática Española 2012 – Problema 1: Irracional

El pasado fin de semana se celebró en Santander la Olimpiada Matemática Española 2012 (OME). Y al igual que ya hemos hecho por aquí en otras ocasiones, vamos a proponeros los seis problemas de esta edición en las próximas semanas.

Comencemos hoy con el primero del primer día, el viernes 23 de marzo:

Determinar razonadamente si el número

\lambda_n=\sqrt{3n^2+2n+2}

es irracional para todo entero no negativo n

Que se os dé bien.


Agradezco enormemente a @juanripu que me haya enviado los enunciados para poner proponerlos a partir de hoy.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. Es bastante sencillo, pero queda probar una cosa… “la raíz de todo número entero es irracional siempre que no sea entera?”.

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  2. a(n) = 3n^2 + 2n + 2

    Si n = 1 ó 3 (mod 4), a(n) = 3 (mod 4)
    Si n = 0 ó 2 (mod 4), a(n) = 2 (mod 4)

    Pero los cuadrados módulo 4 son únicamente 0 y 1, luego es imposible.

    En cuanto a que la raíz de un entero no puede ser racional no entera, es fácil. Supongamos que u es entero y

    \sqrt {u} = \frac {p} {q}

    con mcd(p, q) = 1. Entonces,

    u = \frac {p^2} {q^2} \Rightarrow  uq^2 = p^2

    Pero esto es imposible pues p y q no tienen factores comunes y u es entero. A menos que q = 1 \; y\; u = p^2

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  3. La aritmética modular es una de las grandes maravillas de las matemáticas. Yo lo había resuelto tomando módulo 4. Pero acabo de leer por aquí, que con módulo 5 y módulo 2 sale también bastante fácil.

    Igual es que estoy obcecado, pero no acabo de verlo en estos módulos, pues no puedes usar el argumento de Ignacio, ya que el equivalente a(n) si es un cuadrado para algunos n (en el Z/5Z correspondiente)… Alguna indicación??

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  4. Jorge, si se desea resolverlo usando congruencias módulo 5, con el mismo razonamiento para módulo 4, la única posibilidad compatible a priori es n\equiv 3\;(5). Pero si n=3+5k, entonces 3n^2+2n+2=5(7+20k+15k^2) no puede ser cuadrado ya que el factor entre paréntesis no es múltiplo de 5.

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  5. Por inducción es fácil, ¿no?

    Lambda(1) al cuadrado = 7 ===> Lambda(1) es irracional

    Lambda(n+1) al cuadrado = Lambda(n) al cuadrado + 6n +5 = Un irracional + un entero====> Lambda(n+1) al cuadrado es irracional ====> Lambda(n+1) es irracional

    (Perdón por no escribirlo en latex)

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  6. Para n impar es algo mas complicado pero se resuelve sin complicaciones.

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  7. Estoy de acuerdo con “Soy feisimo” : Para “n” par, facilísimo y para “n” impar un poco mas complicado (no mucho), pero sin problemas

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  8. Yo lo demostre usando un poco de algebra abstracta, utilizando que $Q$ es cuerpo

    \lambda_{n}=\sqrt{3n^{2}+2n+2}
    =\sqrt{3}\sqrt{n+\frac{1+\sqrt{5}i}{2}}\sqrt{n+\frac{1-\sqrt{5}i}{2}}

    Dado que $(Q,+,.)$ es cuerpo, entonces suponiendo que $\lambda_{n}=\frac{a}{b}$ entonces $\sqrt{3}\in\mathbb{Q}$ y $\sqrt{n+\frac{1+\sqrt{5}i}{2}}\in\mathbb{Q}$ y $\sqrt{n+\frac{1-\sqrt{5}i}{2}}\in\mathbb{Q}$
    que es una contradiccion.
    Por tanto, $\lambda_{n}\notin Q$

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  9. Este es el más fácil de todos con diferencia, casi todos lo hicimos. La solución “oficial” consiste en separar por casos, si es par y si es impar. Se es par es directo, y si es impar toman congruencias módulo 8… Aunque yo lo hice sin congruencias y también salía muy fácil…

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  10. Su dificultad hace honor a que sea el problema nº1. Fácil fácil y casi todos lo consiguieron resolver sin problemas.

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