Olimpiada Matemática Española 2012 – Problema 2: Hallar todas las funciones

Segundo problema propuesto en la Olimpiada Matemática Española de este año 2012, celebrada en Santander. Vamos con él:

Hallar todas las funciones f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} de variable real con valores reales tales que

(x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x))

para todo x,y \in \mathbb{R}.

Que se os dé bien.

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. Típico problema de olimpiada. Creo que no es muy complicado. Dos “pistas”:

    1º)A parte del caso trivial de que la función sea nula, ¿que valor/es puede/n ser candidato/s a ser raíz de f(x)?

    2º) IMPORTANTE: ¿Es f inyectiva? (a parte del caso trivial de que la función sea nula).

    Por lo demás el problema es bastante mecánico y se resuelve muy parecido a otros similares de olimpiada.

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  2. Yo también he seguido ese primer paso, pero en el caso no trivial me las apaño sustituyendo por y tal que y+2f(x)=x+yf(x).

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  3. Estoy contento porque he podido desentrañar el misterio.

    Lo que no sé es si puedo ponerlo ya aquí o si preferís seguir dando tiempo… no quiero chafar la fiesta a nadie.

    Un saludo

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  4. Gracias Diamond.

    En primer demostrar que f(1)=0. Ello se hace imponiendo en la condición que f(x)=0 y resolviendo.

    En segundo lugar, demostrar que f(x) es inyectiva. Se supone que f(x_1)=f(x_2), imponiendo la condición en ambas x_1 y x_2 y restando ambas condiciones. Queda:

    (x_1-x_2)*f(y)=f(x_1+yf(x_1))-f(x_2+yf(x_2)) Para todo y.

    Particularizando en y=0, nos resulta que x_1=x_2

    Una vez tenidos estos dos resultados, particularizamos la condición en y=1 y nos queda:

    f(1+2*f(x))=f(x+f(x)), por lo tanto 1+2*f(x)=x+f(x) y despejando…

    f(x)=x-1

    Por supuesto sin las pistas del Matemático Despistado no lo hubiera sabido hacer.

    Un saludo, gracias por el blog.

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  5. BIen, ¿pero cómo demostrar que f(x)=0 y f(x)=x-1 son las únicas funciones que cumplen la ecuación funcional?

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  6. Buenas, esto de las ecuaciones funcionales la verdad que nunca habia hecho una…
    Marsupilami, o quien pueda, podrias explicar mejor el primer paso en el que igualas f(x)=0? Como demuestras que existe tal x antes de imponer que f(x)=0?

    Muchas gracias, y enhorabuena por el blog.

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  7. Eureka

    Si cumple la condición, para ver los ceros de f(x) hacemos f(x)=0

    si f(x)=0, entonces la parte derecha de la condición queda

    f(x+yf(x))=f(x)=0

    y además el segundo sumando de la condición queda

    f(y+2f(x))=f(y)

    Sustituyendo en la condición, nos queda

    (x-2)*f(y) + f(y)=0

    o sea (x-1)*f(y)=0 para todo y

    lo cual da el valor x=1 (o bien el caso trivial f=0)

    Anonimo, si cumple la condición f es cero o bien f es inyectiva. Además si cumple la condición para todo y, podemos particularizar en y=1 y por tanto si cumple la condición cumple que

    f(1+2f(x))=f(x+f(x))

    La solución f=0 ya la tenemos, en caso contrario f inyectiva implica 1+2f(x)=x+f(x) lo cual implica f(x)=x-1

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  8. Pero por este método no demuestras que pueda existir tal x, me refiero ya supones que existe x0 tal que f(x0)=0, sólo es una duda aunque quizá esté implícita su existencia en algún punto pero no lo veo claro.

    Muchas gracias igualmente, porque ahora me ha quedado mucho más claro.

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  9. Yo también creo que no está totalmente resuelto el problema si no se prueba que f se anula en algún punto antes de utilizarlo como premisa.
    Mi propuesta para hacerlo es un poco más larga.

    Definimos la ecuación E(x,y) : (x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x)).

    Paso 1:
    Si f(0)=0, entonces E(0,x) : f(x)=0 para todo x, que es una solución trivial de E(x,y).
    Buscaremos a continuación el resto de soluciones, para las que necesariamente f(0) \neq 0.

    Paso 2:
    En ese caso, f es inyectiva, ya que
    f(a)=f(b) \implies E(a,0)-E(b,0) : (a-b)f(0)=0 \implies a=b.

    Paso 3:
    Para el paso 4 es interesante saber que f(2)=1.
    En efecto, E(2,0): f(2f(2))=f(2) \implies 2f(2)=2, por inyectividad.

    Paso 4:
    Buscamos el valor de y tal que y+2f(x)=x+yf(x), con lo que se cancelarán dos términos de E(x,y).
    Despejando, vemos que esto ocurre para y=g(x)=(x-2f(x))/(1-f(x)) para todo x \neq 2 (f(x) \neq 1).
    En este caso, E(x,g(x)): (x-2)f(g(x))=0 para todo x \neq 2.
    Por tanto, f tiene un cero en z=g(x) para todo x excepto quizá en x=2.

    Paso 5:
    El único posible cero f(z)=0 sólo puede estar en z=1, ya que E(z,0) : (z-1)f(0)=0 \implies z=1.
    Por tanto, g(x)=1 \implies f(x)=x-1 para todo x excepto quizá en x=2.
    Pero sabemos que f(2)=1, por lo que f(x)=x-1 para todo x.

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  10. Perdón por preguntar en este tema, pero es que ya no me queda foro por preguntar y en ninguno obtuve contestación. Participo en las olimpíadas matemáticas y necesito aprender ecuaciones funcionales. Lamentablemente no tengo a nadie que me pueda explicar el tema, por lo que debo prepararme solo. Entonces, ¿alguien sería tan amable de decirme de algún libro, apunte, página web, etc, que explique cómo se resuelven dichas ecuaciones, empezando desde lo básico?. También me gustaría saber que conocimientos previos necesito para poder entenderlas. Hay que tener en cuenta que al ser olimpíada preunivesitaria, el cálculo no está permitido, por lo que las técnicas de resolución deben ser elementales.
    Desde ya muchas gracias y espero con ansias sus respuestas. Saludos.

    PD: puedo leer libros en inglés.

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  11. Me encuentro en una situacion extremadamente similar a la de @Olímpico , agradecería mucho a quien pudiera contestarle…

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  12. Olimpico y Andres.
    Creo que este libro debe ser el que buscas. Además pensado para gente en tu situación. Y para colmo, confirman lo que dices, que hay poca literatura en el tema.

    http://www.springer.com/mathematics/dynamical+systems/book/978-0-387-34534-5

    Many books have been written on the theory of functional equations, but very few help readers solve functional equations in mathematics competitions and mathematical problem solving. This book fills that gap. Each chapter includes a list of problems associated with the covered material. These vary in difficulty, with the easiest being accessible to any high school student who has read the chapter carefully. The most difficult will challenge students studying for the International Mathematical Olympiad or the Putnam Competition. An appendix provides a springboard for further investigation of the concepts of limits, infinite series and continuity.

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  13. Muchas gracias Aahron0! Me ha dado usted una ayuda increíble. Saludos

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  14. De nada olímpico… De rebote he visto que se me mencionaba en una página web y veo que respondo con un poco de retraso…

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