Olimpiada Matemática Española 2012 – Problema 4: Enteros positivos

Cuarto problema, primero del segundo día, de la Olimpiada Matemática Española 2012. Éste es el enunciado:

Hallar todos los números enteros positivos n y k tales que

(n+1)^n=2n^k+3n+1

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. Yo diria   {n \choose k}\frac{n!}{k! (n - k)!}=2 simplemente desarrolando el binomio he igualando las mismas potencias de n, por independencia lineal, ademas de la solucion trivial
     n=0 \ \forall k

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  2. bueno que solo pasa creo cuando n=2 y k=1. basicamente el numero combinatorio

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  3. Ademas de la trivial de n=0 para todo k, yo obtengo n=3 y k=3, para n=2 y k=1 me sale 9=11 que obviamente no cumple.

    El único problema es que lo he hecho por fuerza bruta y no he demostrado que la solucion sea única aunque tiene pinta de serlo.

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  4. n = 2, k = 1 no es solución:

    (2 + 1)^2 = 9

    2*2^1 + 3*2 + 1 = 11

    La solución obvia es n = 3, k = 3:

    (3 + 1)^3 = 64

    2*3^3 + 3*3 + 1 = 64

    Si por enteros positivos entendemos, siguiendo a Bourbaki, enteros mayores o iguales que cero, también es solución n = 2, k = 0:

    (2 + 1)^2 = 9

    2*2^0 + 3*2 + 1 = 9

    Y creo que no hay más … La solución debe venir por el binomio de Newton.

    (n + 1)^n = n^n + n*n^(n-1) + n(n-1)/2 n^(n-2) + …

    = 2n^n + …

    Habria que ver que debe ser n = k, y que los términos sustituidos por “…” son mayores que 3n + 1, o algo asi, pero estoy un poco perezoso y no tengo mucho tiempo.

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  5. Desarrollando por el binomio de Newton, eliminando el termino independiente 1 y simplificando por “n” queda 2*n^(n-1)+1/2(n-1)*n^(n-2)+….=2*n^(k-1)+3 entonces
    2*n^(n-1)=2*n^(k-1) y 1/2(n-1)*n^(n-2)+…. =3 que se cumple para n=k=3

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  6. Yo no soy muy de matemáticas (ni tampoco de latex), pero quiero cambiar eso, así que allá voy (corregidme si me equivoco):

    (n+1)^n = \sum_{r=0}^n \binom n r n^r = n^n + \binom n {n-1} n^{n-1} + \binom n {n-2} n^{n-2} + \cdots + \binom n 1 n + 1

    como \binom n {n-1} = n nos queda algo más parecido a lo del enunciado:

    (n+1)^n = \sum_{r=0}^n \binom n r n^r = 2 n^n + \binom n {n-2} n^{n-2} + \cdots + \binom n 1 n + 1.

    Podemos _apretar_ el chorizo sabiendo que sólo necesitamos cuatro sumandos (n=3) para convertirlo en el enunciado (o viendo que \binom n 1 = 3 es cierto para n = 3).

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  7. Hallamos k(n). El límite de k(n)/n cuando n tiende a infinito es 1, k(n) tiene un máximo en 3,94 y es decreciente a partir de ese punto. Como k(n)>n para k>3 y k(4) es menor que 5, no existen soluciones para k>3.

    Para n=1 no hay solución, para n=2 k vale 0 y para n=3 tenemos la única solución válida que es k=3.

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  8. coincido con Jechira
    yo desarrolle el polinomio pero ademas de desarrollar de orden ‘n’ tambien lo hice con ‘k’.
    Despues de eso no encontre otra solucion que no sea n=k=3, o n=0 k >=1

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  9. Pasamos 1 al primer miembro: (n+1)^n-1=2n^k+3n

    Usando la propiedad de que a^r-1=(a-1)[a^(r-1)+a^(r-2)+···+1]

    n[2n^(k-1)+3) =n[(n+1)^(n-1)+(n+1)^(n-2)+···+1]

    Dividiendo por n:
    2n^(k-1)+3=(n+1)^(n-1)+(n+1)^(n-2)+····+1

    Tomando congruencias módulo n (y suponiendo k>1): 3=1+···+1=0 (mód.n), es decir n|3, luego n=1 ó n=3

    Si n=1: (1+1)^1=2·1^k+3+1 no es cierto
    Si n=3: (3+1)^3=2·3^k+3·3+1, nos da la solución k=3

    Falta ver qué pasa si k=1:
    La ecuación es (n+1)^n=2n+3n+1=5n+1, que se comprueba fácilmente que no tiene solución.

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  10. La misma demostración de antes, pero poniendo un poco de Latex para que se vea mejor

    Pasamos 1 al primer miembro: (n+1)^n-1=2n^k+3n

    Usando la propiedad de que a^r-1=(a-1)(a^{r-1}+a^{r-2}+···+1)

    n(2n^{k-1}+3) =n[(n+1)^{n-1}+(n+1)^{n-2}+···+1]

    Dividiendo por n:
    2n^{k-1}+3 =(n+1)^{n-1}+(n+1)^{n-2}+···+1

    Tomando congruencias módulo n (y suponiendo k>1): 3=1+···+1=0 (mód.n), es decir n|3, luego n=1 ó n=3

    Si n=1: (1+1)^1=2·1^k+3+1 no es cierto
    Si n=3: (3+1)^3=2·3^k+3·3+1, nos da la solución k=3

    Falta ver qué pasa si k=1:
    La ecuación es (n+1)^n=2n+3n+1=5n+1, que se comprueba fácilmente que no tiene solución.

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