Olimpiada Matemática Española 2012 – Problema 5: Sucesión por recurrencia

Quinto problema, segundo del segundo día, de la Olimpiada Matemática Española 2012. El enunciado es el siguiente:

Una sucesión (a_n)_{n \ge 1} se define mediante la recurrencia

a_1=1, \quad a_2=5, \quad a_n=\cfrac{a_{n-1}^2+4}{a_{n-2}}, \mbox{ para } n \ge 3

Demostrar que todos los términos de la sucesión son números enteros y encontrar una fórmula explícita para a_n.

Que se os dé bien.

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8 comentarios

  1. Trackback | 24 abr, 2012

    Bitacoras.com

  2. Ñbrevu | 24 de abril de 2012 | 17:28

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    Observando los primeros términos de la serie (1, 5, 29, 169…) vemos que cada uno es aproximadamente igual a seis veces el anterior. Concretamente, la fórmula parece ser a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}. La ecuación algebraica asociada es x^2-6x+1=0, cuyas soluciones son x=3\pm\sqrt8, de manera que tenemos como solución general a_n=A\left(3+\sqrt8\right)^n+B\left(3-\sqrt8\right)^n. Aplicando a los casos particulares a_1=1 y a_2=5, obtenemos la solución particular: a_n=\dfrac{1+\sqrt8}2\left(3+\sqrt8\right)^{n-1}+\dfrac{1-\sqrt8}2\left(3-\sqrt8\right)^{n-1}. Igualando es posible comprobar que la ecuación de recurrencia se cumple (yo he dejado a Matlab que lo haga, pero no debería ser muy complicado), lo que significa que la expresión se corresponde efectivamente con la sucesión dada.

    Finalmente, el hecho de que también se corresponda con la sucesión de la conjetura inicial, a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}, demuestra que todos los elementos son enteros.

  3. limonminerva | 24 de abril de 2012 | 17:51

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    hasta aca llegue con la calc de windows y calculos mentales jajaja
    {a_{n+1}= 6*a_n - {a_{n-1}}}

  4. Pablo | 24 de abril de 2012 | 20:08

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    Lo interesante del tema es que corresponde a la secuencia de números n tales que 2n^2 - 1 es un cuadrado. Al menos eso dice la enciclopedia de secuencias de enteros https://oeis.org/A001653

  5. hawk31 | 24 de abril de 2012 | 21:00

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    Ecuaciones en diferencia, según veo.

  6. Cristhian Camacho | 24 de abril de 2012 | 22:25

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    Sería interesante saber porque esas dos relaciones de recurrencia son equivalentes, en general:

      a_1 = 1, \quad a_2 = a_2, \quad a_n = \cfrac{a_{n-1}^{2} + (a_2-1)}{a_{n-2}}, \mbox { para } n\ge3

      a_1 = 1, \quad a_2 = a_2, \quad a_n = (a_2+1)a_{n-1} - a_{n-2}, \mbox { para } n\ge3

      a_n = \left ( \frac{\sqrt{a_2+3} \quad (\sqrt{a_2+3}-\sqrt{a_2-1})}{2(a_2+3)} \right )\left ( \frac{(a_2+1) + \sqrt{(a_2+1)^{2}-4}}{2} \right )^{n}
      +  \left ( \frac{\sqrt{a_2+3} \quad (\sqrt{a_2+3}+\sqrt{a_2-1})}{2(a_2+3)} \right )\left ( \frac{(a_2+1) - \sqrt{(a_2+1)^{2}-4}}{2} \right )^{n}

    luego

      a_1 = 1, \quad a_2 = 5, \quad a_n = 6a_{n-1} - a_{n-2}, \mbox { para } n\ge3

      a_n = \left ( \frac{2-{\sqrt{2}}}{4} \right )\left ( 3 + 2\sqrt{2} \right)^{n}  +  \left ( \frac{2+{\sqrt{2}}}{4} \right )\left ( 3 - 2\sqrt{2} \right)^{n}

    Además a_n cumple con la relacion: 2 a_n ^{2} -1 = x^{2}, \quad x \epsilon \mathbb{N} cuando a_2=5 (como aparece en el comentario de Pablo)

    Por ejemplo: a_5=985, \quad 2 a_5 ^{2} -1 = 1940449, \quad \sqrt{1940449} = 1393

    Buenisimo el problema!!!

    P.D. Creo cosas de este nivel se ven recién desde el segundo semestre en la Universidad

  7. Jones, Francisco | 16 de mayo de 2012 | 13:47

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    En el PDF de este enlace se habla de la resolución de ecuaciones de recurrencia no lineales y el ejemplo que usan es casi el de este problema

    http://www.m-hikari.com/imf-password2008/33-36-2008/oskoueiIMF33-36-2008.pdf

  8. gcat | 3 de febrero de 2013 | 20:25

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    Podemos reescribir la condición del problema como:

    a_n a_{n-2}=a_{n-1}^2 +4. Del mismo modo podemos hacer lo mismo para n+1, de modo que queda a_{n+1} a_{n-1}=a_{n}^2 +4. Restando y agrupando, tenemos que a_n (a_{n-2}+a_n)=a_{n-1}(a_{n-1}+a_{n+1}). Y ahora dividiendo encontramos que:

    \frac{a_{n-2}+a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{a_n}

    Vemos que en el numerador tenemos la suma del término anterior y posterior al denominador, con lo cual esta expresión es constante para todo n, y basta con evaluarla en n=1 para encontrar su valor, que es 6. Entonces se obtiene la recurrencia a_n=6a_{n-1}-a_{n-2} y se resuelve como todas las recurrencias lineales, de la misma manera que ha dicho Ñbrevu.

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