Olimpiada Matemática Española 2013 – Problema 1: Desigualdad

El pasado fin de semana se celebró en Bilbao la Olimpiada Matemática Española 2012 (OME), cuadragésimo novena edición de la misma. Y como es habitual vamos a proponer aquí los seis problemas a los que se enfrentaron los participantes. Muchísimas gracias a @juanripu y a @_cronos2 por enviármelos.

Ahí va el primero:

Sean a,b y n enteros positivos tales que a > b y ab-1=n^2. Prueba que

a-b \geq \sqrt{4n-3}

Indica justificadamente cuándo se alcanza la igualdad.

Que se os dé bien.


Sí, faltan todavía algunos problemas de la Olimpiada de Asturias y de la de Galicia, pero por importancia creo que es razonable dejarlos para más adelante. Cuando terminemos con los de la OME seguiremos con ellos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

33 Comentarios

  1. Es de la 2013, de hace unos días nada más. Los problemas son, en general, muy correudos. Me atrevería a decir que es la fase nacional más difícil que ha habido nunca. Miraré este un rato a ver si saco algo.

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  2. Así a priori, lo único que veo claro es que la trivialidad de que en los casos n=1 y n=3 se cumple al tomar (a,b) = (2,1) y (5,2) respectivamente. Pero obviamente eso no prueba que sean todos. A mí lo que se me ocurre es que como ab-1=n^2 implicando ab=n^2+1 es lo siguiente.

    Claramente una posible factorización de n^2 es n*n. Entonces cuando intentemos factorizar n^2+1 parece que se nos va a exigir que la distancia entre los factores vaya incrementando (a-b), que es el primer término de la igualdad. De momento no me veo capaz de conjeturar mucho más.

    Me parece que podría ser buena idea elevar al cuadrado la desigualdad (pues es positiva) y probar dicho cuadrado. Además podemos introducir términos de la forma ab (por la condición de arriba) para llegar a una factorización satisfactoria del primer miembro. De todos modos, esto son solo suposiciones.

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  3. Creo que he llegado a una simplificación notoria del problema.

    a-b>=sqrt(4n-3) Elevando al cuadrado

    aa+bb-2ab >= 4n-3 Reorganizando

    aa+bb >= 4n-1+(-2+2ab)

    aa+bb >= 2nn+4n-1 Sumando 2ab

    aa+bb+2ab >= 2nn+4n+1+(2ab-2)

    (a+b)^2 >= 4nn+4n+1

    (a+b)^2 >= (2n+1)^2

    (a+b) >= (2n+1)

    ¿Alguien me echa una mano a partir de aquí?

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  4. Daniel Cao

    Para n= 4 (a,b)=(17,1)
    Para n= 5 (a,b)=(13,2) o = (26,1)
    Para n= 6 (a,b)=(37,1)
    Pata n= 7 (a,b)=(50,1) o = (25,2) o (10,5)

    parece dificil de conjeturar

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  5. Creo que la clave es que cuando a y b se acercan más, su producto menos 1 no puede ser un cuadrado perfecto

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  6. Creo que ya está. Copio lo de antes y sigo.

    a-b>=sqrt(4n-3) Elevando al cuadrado

    aa+bb-2ab >= 4n-3 Reorganizando

    aa+bb >= 4n-1+(-2+2ab)

    aa+bb >= 2nn+4n-1 Sumando 2ab

    aa+bb+2ab >= 2nn+4n+1+(2ab-2)

    (a+b)^2 >= 4nn+4n+1

    (a+b)^2 >= (2n+1)^2

    (a+b) >= (2n+1) implicando ****** (comento este paso después)

    (a+b) >=2n-1

    (a+b)/2 >= n-(1/2) Aplicando desigualdad media aritmética-geométrica

    sqrt(ab) >= n-(1/2) Elevando al cuadrado

    ab >= nn-n+1/4 Restando 1

    ab -1 >= nn-n-3/4

    nn >= nn -n -3/4

    0 >= -n-3/4

    Que es cierto.

    Ahora cabe preguntarnos. A partir de esto cierto podemos deducir al revés nuestra fórmula? Pues si. Todos los pasos se pueden hacer al revés salvo uno. El indicado con ***** Pero ese paso es totalmente justificable.

    Nosotros tendríamos (a+b) >=2n-1 y habría que ver que (a+b)>=2n+1. Como a+b es entero simplemente es ver que, a pelotas, a+b no vale ni 2n-1 ni 2n.

    a+b no puede valer 2n-1 pues entonces el máximo valor del producto ab sería (n-1/2)^2 que llega a n^2+1 (como requieren las hipótesis).

    a+b no puede valer 2n por el mismo argumento. El máximo valor del producto ab sería nn que no llega nunca a valer nn+1.

    Con esto estaría probada la desigualdad. Los casos de igualdad, de momento no me veo preparado (solo vi que los pares (2,1) (5,2) la verifican y no sé si habrá más. La explicación me ha quedado algo mal supongo, pero creo que todos los pasos son correctos. Si queda algún oscuro, indicádmelo. Gracias por leer.

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  7. Las soluciones son a=k^2+1, b=(k-1)^2+1, para k entero positivo.

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  8. Creo que considerando la otra condición del enunciado, a>b, se puede avanzar un poco más en la primera opción propuesta por Daniel Cao.

    Siendo a>b, el valor de a más bajo posible sería a = b+1. Sustituyendo en la expresión que tenías:

    (a+b)>= 2n+1 => (b+1+b)>=2n+1 => 2b+1 >=2n+1, lo que demuestra que serían iguales cuando b = n

    En otro caso, sería a = b+k, siendo k>1. Tendríamos:

    (a+b) >=2n+1=> (b+k)+b >=2n+1 => 2b+k >= 2n+1. Aquí si b=n, entonces se cumpliría porque k>1.

    Pero ya no sé cómo demostrar la desigualdad si n y b son distintos. ¿Alguna sugerencia?

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  9. La desigualdad por lo de antes queda probada en cuanto al de Mmonchi no le veo justificación, aunque quizá esté bien.

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  10. Creo tener respuesta. Vamos a revisarla:

    Sabemos, por la relacion que existe entre la media aritmetica y la media geometrica de dos numeros, que:

    a+b>=2(ab)^(1/2)

    Esto implica, en funcion del enunciado que:

    a+b>=2(n^2+1)^(1/2)

    Tambien sabemos que:

    (n^2+1)^(1/2)>n

    Por lo tanto:

    a+b>2n

    Como se trata de numeros enteros, se tiene que:

    a+b>=2n+1

    Si elevamos al cuadrado toda la ecuacion, se tiene que:

    a^2+2ab+b^2>=4n^2+4n+1

    Ahora bien, ya que ab=n^2+1, voy a restar 4ab en el lado izquierdo de la desigualdad y 4(n^2+1) en el lado derecho de la misma para obtener:

    a^2-2ab+b^2>=4n-3

    Como bien sabemos, el lado izquierdo es igual a (a-b)^2. Lo que implica que nuestra desigualdad quedaria:

    (a-b)^2>=4n-3

    Finalmente, al obtener la raiz cuadrada de toda la desigualdad, se obtiene:

    a-b>=4n-3

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  11. Está muy bien redactado. Quedan los casos de igualdad que serán cuando a+b=2n+1 y se trataría de desarrollar dicha condición supongo.

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  12. Daniel Cao:

    No habia visto tu desarrollo. Casi llegamos a lo mismo….

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  13. Veo que si a+b=2n+1, tenemos la suma de un numero par con otro impar. Es lo unico que se me ocurre decir…. y que (a+b-1)/2=n…. no se me ocurre ninguna otra cosa. Por lo tanto, las condiciones serian:
    1.- Un numero par.
    2.-Un numero impar
    3.-n=(a+b-1)/2

    No se me ocurre otra cosa….

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  14. Pasamos de a-b=√(4*√(ab-1)-3) a b=a+1-2*√(a-1).

    Si hacemos k=√(a-1) tenemos a=k^2+1 y b=(k-1)^2+1.

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  15. Vamos a desarrollar la igualdad:

    ab=[(a+b-1)/2]^2+1

    4ab=a^2+b^2+1+2ab-2a-2b +4

    0=a^2+b^2-2ab-2a-2b+5

    0=a^2-(2b+2)a+5-2b

    despejo a

    a=[2b+2 +-(4b^2+8b+4-20+4b)^1/2]/2

    El argumento del determinante tiene que ser mayor que cero e igual al cuadrado de otro entero, por lo tanto:

    4b^2+12b-16=m^2

    Ahora bien, vamos a sumar y restar 9 a la expresion del lado derecho:

    4b^2+12b+9-25=m^2

    Esto seria igual a:

    (2b+3)^2-25=m^2

    Vamos a pasar el termino “m^2” a la izquierda y el 25 a la derecha para obtener:

    (2b+3)^2-m^2=25

    Factorizamos para obtener:

    (2b+3-m)(2b+3+m)=25

    Aqui se llega a dos posibilidades: 1.-que cada factor de la izquierda sea igual a 5. 2.-Que un factor sea igual 1 y el otro a 25.

    Primera posibilidad:

    2b+3-m=5

    2b+3+m=5

    b=1, m=0, a=2

    Segunda posibilidad:

    2b+3-m=1
    2b+3+m=25

    m=12,b=5,a=8 (solo se toman soluciones positivas de la ecuacion de segundo grado)

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  16. Correccion para los valores de a de mi comentario anterior para la segunda posibilidad a=12

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  17. Se me olvidaron tambien los valores de n en ambas posibilidades en los dos comentarios anteriores: Primero posibilidad: n=1. Segunda posibilidad n=8

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  18. En mi primer comentario de hoy olvide determinar la raiz cuadrada del termino de la derecha de la desigualdad final

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  19. La segunda posibilidad no cumple con la condicion ab=n^2+1. La primera si la cumple….

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  20. He llegado a que la igualdad se da si y solo si a, b, n son de la siguiente forma:

    a=(k^2+2*k+5)/4

    b=(k^2-2*k+5)/4

    n=(k^2+3)/4

    Para k natural impar

    Podeis comprobar que todas esas combinaciones lo cumplen, y lo que faltaría probar es que todas se pueden expresar de esa forma.

    No tengo tiempo ahora para comentarlo detalladamente, pero la idea es, jugando con congruencias módulo 2, 4 u 8; ver que todo cuadrado perfecto impar se puede poner como 4*n-3 con n=(3+k^2)/4 y plantear la ecuación ab-1=n^2 y a-b=sqrt(4*n-3) poniendo n en función de ese k. Y ahora llamando a a-b=d sale una ecuación de segundo grado que se comprueba q siempre tiene solución natural jugando de nuevo cn congruencias. Espeero orientaros un poco, creo que está completo el razonamiento

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  21. Si no me equivoco, ahí están escondidos los Números Fibonacci.
    Intentaré explicar lo que he encontrado:
    • n tomará valores de los números Fibonacci exceptuando el 0 (explicaré más adelante el porqué).
    • a y b estarán condicionados por los valores de n, de forma que:
    Teniendo en cuenta que que los números son 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…
    “Tomamos” n=0 y aplicamos que a – b = n, de ahí que exceptúo el 0, pues las condiciones del problema que a>b. A continuación ignoramos el primer 1, y cogemos el segundo 1 para n=1 y volvemos a aplicar a – b = n. Nos saldrán de resultados a=2 y b=1, y además se cumplirá la igualdad con la raíz (el móvil no me permite escribirla).
    Con el valor n=2 no existen soluciones para las condiciones del problema.
    Con el valor n=3 en cambio, a=5 y b=2 y además se vuelve a cumplir la igualdad con la raíz.
    Con el valor n=5 existirán los valores a=8 y b=3, pero no se cumplirá la igualdad…

    De esta forma, a medida que cojamos valores mayores de n, iremos observando que a será el siguiente número Fibonacci y b, el anterior siempre y cuando alternemos los valores de n. Es decir, 1 no, 1 si, 2 no, 3 si, 5 no, 8 si, 13 no, 21 si… Los que sí, será que cumplen la igualdad. Los que no, cumple sólo el >. Observad que sólo hay igualdad cuando también se cumple que a – b = n.

    Espero haber arrojado algo de luz al problema.
    Un saludo

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  22. Elanalisis del determinante que hice esta incorrecto. Pablo hace un buen analisis para la segunda parte del ejercicio….

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  23. Yo obtengo que a=(m+1)^2+1, b=m^2+1 y n=m^2+m+1, para todo m entero positivo y el cero

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  24. A mí me sale que la igualdad se cumple para:

    a_m=m^2+4m+5

    n_m=m^2+3m+3

    b_m=m^2+2m+2

    Para m=0,1,2…

    2 – 3 – 5
    5 – 7 – 10
    10 – 13 – 17
    17 – 21 – 26
    ………………….

    No sé muy bien qué significa.

    Lo he deducido teniendo en cuenta que a-b tiene que ser un número impar, y para cada número impar existe una terna.

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  25. Lo siento , no tuve tiempo de leerlos, pero me fijé y me pareció curioso (aunque esté muy determinado porque yo marqué a- b = n)

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  26. Me acabo de dar cuenta de que me he dejado la primera, que sería 1-1-2. Es que el primer número impar es el 1, no el 3.

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  27. Qué gracioso. Mi solución, la de Pablo, la de Paul y la de Golvano son la misma pero escritas de forma diferente. 🙂

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  28. Las expresiones correctas serían:

    a_m=m^2+2m+2

    n_m=m^2+m+1

    b_m=m^2+1

    Para m=0,1,2…

    que, efectivamente, coinciden con las de los demás.

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  29. Yo (salvo error) tengo probada una fórmula generatriz de las igualdades (y que da todas las soluciones). Expongo;

    Como comenté antes los casos de igualdad de la desigualdad anterior (por lo que hemos visto) son los mismos que los casos donde 2n+1=a+b.

    a+b-1=2sqrt(ab-1) elevando al cuadrado

    a+b+2ab-2a-2b+1=4ab-4 equivalentemente

    (a-b)^2 – 2(a+b)=-5 Cambio de variable a=b+r (r es positivo pues a>b)

    r^2 -2(2b+r)=-5 Haciendo ecuación de segundo grado con incógnita r.

    r=2+4*sqrt(b-1) Y solo son válidos los b que verifiquen que b-1 es cuadrado perfecto.

    Donde el término a lo obtenemos como b+r.

    ***** Visto lo visto ya casi ni vale la pena este comentario. La verdad es que el problema se ha solventado rápido.

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  30. Creo que he conseguido un avance importante, pero aun me falta acabarlo.

    a > b ; a >= b + 1 ; a – b >= 1 ; a + b >= 2b + 1 (1)

    utilizando la segunda condición:

    ab -1 = n^2 ; ab = n^2 + 1;

    De la primera: ab > b^2 ; luego: n^2 + 1 > b^2; n^2 >= b^2 ; n >= b (2)

    en el caso de b = n tenemos el siguiente procedimiento:

    (1) a + b >= 2n + 1; (a+b)^2 >= (2n + 1)^2; a^2 + b^2 + 2ab >= 4n^2 + 4n +1

    a^2 + b^2 +2ab >= 4ab – 4 + 4n +1; a^2 + b^2 – 2ab >= 4n – 3

    luego finalmente: (a-b)^2 >= 4n – 3; a-b >= (4n – 3)^(1/2)

    ahora solo faltaria demostrar que se cumple para los casos a > n > b.

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  31. Hola, Daniel Cao, tienes un error al momento de elevar al cuadrado ya que realizas este procedimiento:

    a-b>=sqrt(4n-3) elevas al cuadrado y te da que (a-b)^2>=4n-3 , ahí está el error ya que no nos ndicen que n >= 3/4, condicion necesaria para poder eliminar la raíz sin necesidad de ocupar modulo

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  32. Si que se tiene que n >= 3/4 pues en las hipótesis está que “n” es un entero positivo (y todo entero positivo es mayor o igual que 1)

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