Olimpiada Matemática Española 2013 – Problema 2: Constante

Segundo problema de la Olimpiada Matemática Española 2013 celebrada en Bilbao. Ahí va el enunciado:

Determina todos los números enteros positivos n para los cuales

S_n=x^n+y^n+z^n

es constante, cualesquiera que sea x,y,z reales tales que xyz=1 y x+y+z=0.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

25 Comentarios

  1. S1 = x + y + z = 0, luego n = 1 pertenece al conjunto de soluciones

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  2. Si hacemos x>y>z, de las condiciones se deduce 2>x>1 y 0>y>z>-1.

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  3. n= 1 y n =3, todo pinta a que solo son esas dos soluciones

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  4. Mi anterior comentario no es correcto, las restricciones si x>y>z son x>4^(1/3) y 0>y>z.

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  5. Si llamamos R=raiz(x*x/4-1/x), tenemos que Sn=x^n+(-x/2+R)^n+(-x/2-R)^n.

    Para n=1, S1=0.

    Para n=2, S2=2*x*x-2/x.

    Para n=3, S3=3.

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  6. Mmonchi,

    no sé como llegas a esos resultados, pero si S2=f(x), n=2 no pertenece al conjunto de soluciones

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  7. Efectivamente, Juanjo.

    Hago y=1/x/z y la sustituyo en x+y+z=0. Queda x*x*z+1+x*z*z=0. Despejo z de la ecuación de segundo grado y tengo dos soluciones de z. Al calcular las dos de y compruebo que cada una es la otra z, por lo que solo hay una fórmula para Sn(x).

    A partir de aquí falta encontrar para qué valores de n Sn es constante. Es fácil comprobar cada caso, lo he hecho para n=1, n=2 y n=3, pero haría falta generalizar para cualquier n.

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  8. Mmonchi,

    yo también he deambulado por esa solución y tampoco he progresado mas

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  9. Creo que podría funcionar lo siguiente (no tengo tiempo de escribir los detalles): Si consideramos la parametrización del plano P\equiv x+y+z=0, \varphi:\mathbb{R}^2\longrightarrow P, \varphi(\lambda,\mu)=(-\lambda-\mu,\lambda,\mu), para estudiar si S_n:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R} es constante, bastaría estudiar si es constante la aplicación  S_n\circ\varphi en el conjunto A=\{(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2  |  -\lambda\mu(\lambda+\mu)=1\}. Este conjunto se puede expresar como unión de dos conjuntos de la forma B=\{(\lambda,f(\lambda)  |  \lambda\in\mathbb{R}\}, C=\{(\lambda,g(\lambda)  | \lambda\in\mathbb{R}\}, para ciertas funciones f,g que se obtienen de poner \lambda en función de \mu. Por tanto el problema se reduce a estudiar cuando es constante, las aplicaciones de una variable S_n\circ\varphi(\lambda,f(\lambda)) y S_n\circ\varphi(\lambda,g(\lambda)), para lo cual se podría cálculo diferencial de una variable…

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  10. En el caso de n=3 tenemos que:
    x^3+\begin{pmatrix} \frac{-x}{2}+\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\end{pmatrix}^3+\begin{pmatrix}\frac{-x}{2}-\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\end{pmatrix}^3 = S_3

    Tras expandir y simplificar:

    x^3 + \frac{-x^3}{2}+\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\end{pmatrix} x^2- \frac {\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}}{x}+\frac{3}{2}+ \frac{-x^3}{2}-\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}\end{pmatrix} x^2+\frac {\sqrt{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{x}}}{x}+\frac{3}{2} = S_3

    3=S_3

    Por lo que pienso que Mmonchi está en lo correcto.

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  11. Usando los datos

    Sn=x^n+y^n+(-1)^n*(x+y)^n

    n tiene que ser impar para que se anulen los coeficientes, y si ese es el caso Sn es simplemente la suma del binomio -(x+y)^n sin los términos x^n y^n.

    El caso n=1 es directo, y para n=3 tenemos que Sn=-3yx^2-3xy^2=-3xy(x+y)=3

    Para casos mayores se debería demostrar que la suma del binomio no es nunca constante, porque yo diría que no existen más casos.

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  12. El caso n=1 es totalmente trivial y el n=3 ya lo habéis probado en multiples comentarios. Asimismo también es cierto que con n par no se puede hacer. Para el resto de casos no sé muy bien como tirar, pero tiene pinta de ir bien por Cardano.

    Las ternas que verificarían eso serían las ternas de solucion de este polinomio en variable p P(p)=p^3+(ac+ab+bc)p-1. con a,b,c los que se quieran.

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  13. Voy a resolverlo para n impar:

    Sabemos que
    S_{n}(x)=x^{n}+(-\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{x}})^{n}+(-\frac{x}{2}-\sqrt{\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{x}})^{n}
    Hacemos x=\sqrt[3]{4} de modo que \sqrt{\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{x}}=0
    Queda S_{n}(\sqrt[3]{4})=2^{\frac{2n}{3}}+(-1)^{n}*2^{\frac{3-n}{3}}
    Ahora hacemos k\gg1, de modo que \sqrt{\frac{k^{2}}{4}-\frac{1}{k}}\approx\frac{k}{2}-\frac{1}{k^{2}}
    Queda S_{n}(k)\approx k^{n}+\frac{(-1)^{n}}{k^{2n}}+(-k+\frac{1}{k^{2}})^{n}
    Los dos primeros términos se van con el primero y el último del desarrollo del binomio:
    S_{n}(k)\approx n*\frac{(-k)^{n-1}}{k^{2}}+… \approx n*k^{n-3}
    Si hacemos k lo suficientemente grande, cuando n>3: S_{n}(\sqrt[3]{4})\neq S_{n}(k) y por tanto no puede ser constante.

    Por tanto no existen soluciones para n impar mayor que 3. Solo pueden ser soluciones n=1 y n=3, que ya se han comprobado.

    (Es la primera vez que uso LaTeX. Me dabais mucha envidia… :-))

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  14. S(5) = x^5+y^5+z^5=(-y-z)^5+y^5+z^5 = -y^5-5y^4*z-10y^3*z^2-10y^2*z^3-5yz^4-z^5+y^5+z^5 = -5(y^4*z+2y^3*z^2+2y^2*z^3+yz^4) = -5yz(y^3+2y^2*z+2yz^2+z^3) = -5yz((y+z)^3-y^2*z-y*z^2) = -5yz(-x^3-y^2*z-y*z^2) = 5yz (x^3+yz(y+z)) = 5yz(x^3-xyz) = 5yz(x^3-1) = 5(x^3-1)/x=5x^2-1/x = f(x), luego n= 5 no pertenece al conjunto (salvo error en la demostración)

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  15. Siguiendo el mismo método, y también salve error,

    S(7) = 7 * (x^4 – (2/x^4) + 1/x^2)

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  16. El sistema que he utilizado es generalizable, el problema es que no encuentro una manera de sintetizar las constantes que van apareciendo, pero, teniendo en cuenta que las constantes del desarrollo de Newton son simétricas, existe un método para reducir la suma S(n) a un cociente de polinomios:

    1.- Para n=1 la solución es inmediata y el procedimiento no existe.
    2.- Para n mayor que 1 e impar,

    2.1 En S(n) = x^n + y^n + z^n sustituimos x^n = -(y+z)^n y desarrollamos por el binomio de Newton. Nos desaparecen los elementos y^n y z^n y tenemos una suma de elementos y^p1*z^q1 con p1+q1 = n y p1 y q1 mayor que 0.

    2.2 Sacamos factor común yz=1/x y el parentesis es un nuevo sumatorio de términos con coeficientes simétricos y^p2*z^q2 con p2 y q2 mayor o igual que 0 y p2 + q2 = n-2

    2.3 Sumamos y restamos los elementos necesarios para conseguir el término k1(y+z)^(n-2) = -k1x^(n-2) (k1 estará determinado por el valor de n) y un complementario.

    2.4 El complementario tiene la misma estructura que al final de 2.1 y nos buclamos en 2.2 (n-1)/2 veces.

    2.5 en la última iteración nos queda k2(y+z) = -k2*x

    con lo que se demuestra que S(n) se puede representar como f(x).

    Una versión simplificada del resultado es:

    S(n) = (-1/x)(-nx^(n-2) + 1/x ((n^2+3n)x^(n-4)/2+ …) en la que los términos del paréntesis aumentan y se complican al aumentar el valor de n.

    Para n=3 solo vale el primer término y s(3) = n = 3

    Para n mayor que 3 entran mas términos del paréntesis y la expresión no se puede simplificar, por lo que las únicas soluciones deben ser n={1,3}

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  17. Expongo mi solución:

    Sea P el plano de ecuación cartesiana x+y+z=0. Consideremos la

    parametrización de P, \varphi:\mathbb{R}^2\longrightarrow P definida por \varphi(u,v)=(u,v,-u-v). Sea

    A=\{(x,y,z)\in P \ | \ xyz=1\},

    entonces \varphi^{-1}(A)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \ | \ -uv(u+v)=1\}

    Puesto que,
    {\displaystyle -u^2v-uv^2=1\Longleftrightarrow uv^2+u^2v+1=0\Longleftrightarrow v=\frac{-u^2\pm\sqrt{u^4-4u}}{2u}, \quad u\neq 0, u^4\geq 4u}

    se tiene que \varphi^{-1}(A)=X\cup Y donde

    X=\{(u,f(u)), \ u\in U\},\ Y=\{(u,g(u)),\ u\in\mathbb{R}, u\in U\} siendo

    {\displaystyle U=\{u\in\mathbb{R} \ | \ u\neq 0, u^4\geq 4u\}, \ f(u)=\frac{-u^2+\sqrt{u^4-4u}}{2u}, \  g(u)=\frac{-u^2-\sqrt{u^4-4u}}{2u}}

    Obsérvese que U=(-\infty,0)\cup\left[\sqrt[3]{4},\infty\right). Para estudiar cuando S_n es constante, bastará ver cuando son constantes las aplicaciones

    \alpha,\beta:U\longrightarrow\mathbb{R}, \ \alpha(u)=(S_n\circ\varphi)(u,f(u)), \  \beta(u)=(S_n\circ\varphi)(u,g(u))

    Realizando operaciones se llega a

    {\displaystyle\alpha(u)=u^n+\frac{1}{2^n}\left(\left(-u+\sqrt{u^2-\frac{4}{u}}\right)^n+(-1)^n\left(u+\sqrt{u^2-\frac{4}{u}}\right)^n\right)}

    De la expresión anterior, se observa que si n es par entonces \alpha no es constante. Supongamos, pues, que n es impar.

    Sea a=\sqrt{u^2-\frac{4}{u}}, entonces

    {\displaystyle (a-u)^n-(a+u)^n= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}\left((-u)^k-u^k\right)=}

    {\displaystyle = -2un\left(u^2-\frac{4}{u}\right)^{\frac{n-1}{2}}-2u^3\binom{n}{3}\left(u^2-\frac{4}{u}\right)^{\frac{n-3}{2}}-\cdots-2u^{n-2}\binom{n}{n-2}\left(u^2-\frac{4}{u}\right)-2u^n}

    Obsérvese que, puesto que n es impar, todos los exponentes de la expresión anterior son enteros. Además, como n>3, se tiene que {\displaystyle\frac{n-1}{2}>1} luego

    {\displaystyle\lim_{u\to 0^{-}} -2un\left(u^2-\frac{4}{u}\right)^{\frac{n-1}{2}}=\infty}, el resto de términos de la expresión,

    tenderán o bien a \infty o bien a 0. Luego {\displaystyle \lim_{u\to 0^{-}}\alpha(u)=\infty} y por tanto \alpha no puede ser constante (si n es impar y mayor que 3).

    Es fácil ver que \alpha=\beta y que para n=1,3, \alpha es constante.

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  18. Partiendo de la ecuación original:
    S_n\left(x \right)={x}^{n}+{\left(-\frac{x}{2} +\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}+{\left(-\frac{x}{2} -\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}

    Revisando por separado los siguientes términos:

    {\left(-\frac{x}{2} +\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}=\left(-{\frac{x}{2}}\right)^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\cdot\left(-1 \right)^{n-i}\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot {\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}+{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}

    y

    {\left(-\frac{x}{2} -\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}=\left(-{\frac{x}{2}}\right)^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i\end{pmatrix}\cdot\left(-1 \right)^{n-i}\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot {\left(-1 \right)}^{i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}+\left(-1 \right)^{n}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}= \left(-{\frac{x}{2}}\right)^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\cdot\left(-1 \right)^{n}\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}+\left(-1 \right)^{n}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}

    Se observa que para eliminar los términos {\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n} , n debe ser impar.

    Por lo que la ecuación queda:
    S_n\left(x \right)=\left(1-\cdot\frac{1}{{2}^{n-1}}\right)\cdot{x}^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\left[ \left(-1 \right)^{n-i}+\left(-1 \right)^{n}\right]\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}

    Para que no los términos de la sumatoria no se anulen es necesario que n-i sea impar, lo que solamente se consigue si i es par.

    Tenemos que:

    \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-i}\cdot \left({x}^\frac{2\cdot\left(n-i \right)}{i}\cdot\left(\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}\right)\right)^{i/2}=  \left(\frac{1}{2}\right)^{n-i}\cdot\left(\frac{{x}^{\left(\frac{2\cdot \left(n-i \right)}{i}+2\right)}}{4}-{x}^{\left(\frac{2\cdot \left(n-i \right)}{i}-1\right)}\right)^{i/2}= \left({\frac{1}{2}}\right)^{n-i}\cdot\left(\frac{{x}^{\left(\frac{2n}{i}\right)}}{4}-{x}^{\left(\frac{2n}{i}-3\right)}\right)^{i/2}

    Sustituyendo:

    S_n\left(x \right)=\left(1-\cdot\frac{1}{{2}^{n-1}}\right)\cdot{x}^{n}- 2 \cdot\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix} \left({\frac{1}{2}}\right)^{n-i}\cdot\left(\frac{{x}^{\left(\frac{2n}{i}\right)}}{4}-{x}^{\left(\frac{2n}{i}-3\right)}\right)^{i/2}

    Para que existan valores constantes es necesario que n=0 ó que 2·n/i-3=0, de donde obtenemos que n=3/2·i

    Nuevamente sustituyendo:
    S_n\left(x \right)=\left(1-\cdot\frac{1}{{2}^{n-1}}\right)\cdot{x}^{n}- 2 \cdot\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix} \left({\frac{1}{2}}\right)^{i/2}\cdot\left(\frac{{x}^{3}}{4}- k\right)^{i/2}

    Es fácil ver que el desarrollo de \left(\frac{{x}^{3}}{4}- k\right)^{i/2} cuando i>2, siendo par, generará coeficientes no nulos para x^(n-3), x^(n-6), etc.

    Por lo tanto i=2 y n=(3/2)·(2) =3.

    Resumiendo, los únicos valores de n que generan Sn = constante son 0 y 3.

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  19. Únicamente aclaro que en mi comentario anterior, en lugar de ‘k’ debería decir ‘1’ (Error tipográfico) Gracias.

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  20. Ya con un poco de más tiempo, he aquí mi comentario corregido.

    Partiendo de la ecuación original:
    S_n\left(x \right)={x}^{n}+{\left(-\frac{x}{2} +\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}+{\left(-\frac{x}{2} -\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}

    Revisando por separado los siguientes términos:

    {\left(-\frac{x}{2} +\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}=\left(-{\frac{x}{2}}\right)^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\cdot\left(-1 \right)^{n-i}\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot {\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}+{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}

    y

    {\left(-\frac{x}{2} -\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}=\left(-{\frac{x}{2}}\right)^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i\end{pmatrix}\cdot\left(-1 \right)^{n-i}\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot {\left(-1 \right)}^{i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}+\left(-1 \right)^{n}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}= \left(-{\frac{x}{2}}\right)^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\cdot\left(-1 \right)^{n}\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}+\left(-1 \right)^{n}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n}

    Se observa que para eliminar los términos {\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{n} , n debe ser impar.

    Por lo que la ecuación queda:
    S_n\left(x \right)=\left(1-\cdot\frac{1}{{2}^{n-1}}\right)\cdot{x}^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\left[ \left(-1 \right)^{n-i}+\left(-1 \right)^{n}\right]\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}

    Para que no los términos de la sumatoria no se anulen es necesario que n-i sea impar, lo que solamente se consigue si i es par.

    Tenemos que:

    \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-i}\cdot \left({x}^\frac{2\cdot\left(n-i \right)}{i}\cdot\left(\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}\right)\right)^{i/2}=  \left(\frac{1}{2}\right)^{n-i}\cdot\left(\frac{{x}^{\left(\frac{2\cdot \left(n-i \right)}{i}+2\right)}}{4}-{x}^{\left(\frac{2\cdot \left(n-i \right)}{i}-1\right)}\right)^{i/2}= \left({\frac{1}{2}}\right)^{n-i}\cdot\left(\frac{{x}^{\left(\frac{2n}{i}\right)}}{4}-{x}^{\left(\frac{2n}{i}-3\right)}\right)^{i/2}

    Sustituyendo:

    S_n\left(x \right)=\left(1-\cdot\frac{1}{{2}^{n-1}}\right)\cdot{x}^{n}- 2 \cdot\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix} \left({\frac{1}{2}}\right)^{n-i}\cdot\left(\frac{{x}^{\left(\frac{2n}{i}\right)}}{4}-{x}^{\left(\frac{2n}{i}-3\right)}\right)^{i/2}

    Para que existan valores constantes es necesario que n=0 (que sabemos no es válido) ó que 2·n/i-3=0, de donde obtenemos que n=3/2·i

    Nuevamente sustituyendo:
    S_n\left(x \right)=\left(1-\cdot\frac{1}{{2}^{n-1}}\right)\cdot{x}^{n}- 2 \cdot\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix} \left({\frac{1}{2}}\right)^{i/2}\cdot\left(\frac{{x}^{3}}{4}- 1\right)^{i/2}

    Es fácil ver que el desarrollo de \left(\frac{{x}^{3}}{4}- 1\right)^{i/2} cuando i>2, siendo par, generará coeficientes no nulos para {x}^{n-3}, {x}^{n-6}, etc.

    Por lo tanto i=2 y n=\left(\frac{3}{2}\right)\cdot\left(2\right)=3

    Resumiendo, los únicos valores de n que generan Sn = constante son 1 y 3.

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  21. Comentar la curiosidad de que si n fuera par, la media aritmética de x,y,z sería cero en tanto que la media geométrica de x,y,z sería 1, cosa que sabemos que no puede ser por la conocida desigualdad media aritmética >= media geométrica.

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  22. Incorrecto mi comentario anterior, pero me estaba preguntando si se puede aprovechar la desigualdad media aritmética >= media geométrica en este problema.

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