Original (y friki) manera de explicar qué es el adjunto de un elemento de una matriz

Una de las cosas que nos enseñan cuando estudiamos matrices es calcular la inversa de una matriz, operación importante y necesaria en muchas situaciones. Seguro que muchos recordaréis que la inversa de una matriz solamente se podía calcular si dicha matriz era cuadrada (mismo número de filas y de columnas) y además su determinante era distinto de cero. Y también es más que probable que muchos conozcáis varias formas de calcularla en los casos en los que es posible.

Y que sepáis que para usar una de las más conocidas, hay que calcular, entre otras cosas, el adjunto de cada uno de los elementos de la matriz. ¿Y qué es el adjunto? Pues, como me dijo un alumno mío el otro día, es lo siguiente:

El adjunto del elemento ij de una matriz se calcula multiplicando por -1, si i+j es impar, o por +1 (o sea, no haciendo nada), si i+j es par, el determinante de la matriz que queda si tratamos al elemento ij como una bomba del Bomberman colocada en una intersección:

(Tomada de aquí)

(Tomada de aquí)

(Tomada de aquí)

¿Se os había pasado por la cabeza? A mí no, y me gustó mucho desde que la escuché.

Pero bueno, como seguro que hay gente que no ha llegado a comprender bien todo esto vamos a explicar un poquito más de qué va el tema.

Inversas, adjuntos y explosiones en Bomberman

Bueno, como decíamos antes posiblemente la forma más extendida de calcular la inversa de una matriz es la fórmula siguiente:

A^{-1}=\cfrac{1}{det(A)} \cdot (Adj(A))^T

siendo

  • det(.) el determinante de la matriz,
  • Adj(.) la matriz adjunta, y
  • (.)^T la matriz traspuesta.

Parémonos en la segunda, en la matriz adjunta. Esta matriz está formada por los adjuntos de cada uno de los elementos de la matriz inicial. ¿Qué es el adjunto de un elemento de una matriz? Pues muy sencillo. Dada una matriz cuadrada A, el adjunto de un elemento suyo a_{ij} es igual al determinante de la matriz que queda al eliminar de A la fila i y la columna j multiplicado por (-1)^{i+j}.

El caso es que parece que no son pocos los que olvidan qué es esto de los adjuntos. ¿Cómo podemos arreglar esto? Fijando para siempre en la mente de todos la manera de realizar este cálculo. Y el otro día en clase este alumno me dio la idea magnífica de la que os he hablado al principio de este post. El término (-1)^{i+j} es -1 si i+j es impar y 1 si i+j es par, como comentaba mi alumno. Uniendo esto a la explosión bombermaniana del término a_{ij} tenemos nuestro adjunto.

Sencillamente brillante.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. Yo lo que siempre he hecho es empezar a contar desde el primer elemento y moviéndome arriba a abajo para cambiar el signo alternativamente (lo de sumar i + j parece más rápido, pero si no recuerdas la regla o la recuerdas mal, estás como al principio).

    La forma más sencilla de recordarlo es: El primer elemento no cambia de signo, el de la derecha sí, el siguiente no… y lo mismo en las columnas, si uno cambia, el siguiente no y viceversa. (Por supuesto esto sólo vale la pena si la matriz es pequeña xD).

    Lo que ha sido Genial es lo del Bomberman, da gusto tener alumnos así xD

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  2. Sí, me quedé pillado cuando me lo dijo, me encantó lo de Bomberman :).

    Y sí, lo de los signos lo hace así mucha gente. Yo me quedo con lo de la suma de fila y columna, pero explico las dos cosas para que la gente elija la que le guste más.

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  3. Regla alternativa para los signos de los adjuntos: visualizar un tablero de ajedrez. Como regla adicional, los adjuntos de los elementos de la diagonal tienen +1.

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  4. Me encanta el juego 🙂

    PD: Ya perdí la cuenta de las veces que “meneé” este post desde twitter xD

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  5. krollspell, interesante aportación. La tendré en cuenta para el futuro, por si me hace falta para que mis explicaciones queden más claras. Gracias :).

    cars, me alegro de que te haya gustado. Y gracias por el movimiento en Twitter, a ver si conseguimos que suba :).

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  6. Hola:

    Desde hace mucho tiempo he leído sus pots y me parecen interesantísimos. Este último me ha llamado la atención puesto que tengo un problema con las ecuaciones matriciales, el cual dice así:
    La ecuación x^2=-1 no tiene solución dentro del campo de los números reales, pero la ecuación matricial X^2=-1 sí, hallar las matrices solución. Espero que me puedan ayudar con este problema, saludos y de antemano gracias.

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  7. Definitivamente con lo del signo lo mejor es simplemente multiplicar por (-1)^(i+j), yo siempre lo he pensado así ya que no crea ningún tipo de confusión.

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  8. Hola,

    respondiendo a Bruno, la ecuación X^2 = -1 sólo tiene soluciones reales si el -1 no se refiere a un número, sino a una matriz. Si se refiere a la matriz -I, es decir, menos la identidad, entonces existen infinitas soluciones, por ejemplo la matriz
    1 -2
    1 -1

    que al elevarla al cuadrado sale la matriz
    -1 0
    0 -1

    Un saludo.
    PS: Si el -1 es un número, NO existen soluciones, pq para q X^2 = un nº, la matriz X tiene q ser cuadrada, nxn, ese n=1, y tenemos x^2 = -1.

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