Calculemos el máximo común divisor
A la vista del título del post está bastante claro la temática del problema de esta semana, ¿verdad? Ahí va:
Calcula el máximo común divisor siguiente:
Suerte.
El único es el 26
Introducción
Hace ya bastante tiempo comentamos una curiosa propiedad del número 26. Concretamente es ésta:
El número 26 es el único número natural que está situado entre un cuadrado (
) y un cubo (
).
Al parecer fue Fermat quien demostró dicho resultado, pero en el post donde dábamos cuenta de esta característica del 26 no se daba ninguna prueba de este hecho. Fue Juanbuffer quien aportaba en un comentario un pdf con una demostración del mismo (que si no recuerdo mal no estaba en español). Por desgracia parece que ya no se puede acceder a dicho documento (al menos yo no puedo). Por este motivo me puse a buscar…y la he encontrado. Mi admirado Carlos Ivorra es quien me ha proporcionado dicha prueba. Bueno, en realidad no sé si es suya, pero aparece en uno de los libros en formato pdf que tiene disponibles en su web: Teoría de Números.
En este artículo vais a poder ver esta demostración.
(Leer el resto del post)
Numeri idonei
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Introducción
Como ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra hasta análisis complejo, pasando por geometría y topología. Pero cuanto más indaga uno en sus trabajos más se sorprende. Por más que pensemos que conocemos los trabajos de Euler siempre aparece por sorpresa con un tema nuevo que nos era ajeno. Esto mismo es lo que me ha pasado a mí hace unos días. Y, cómo no, os lo voy a contar.
Numeri idonei
En una carta dirigida al físico suizo Nicolas Béguelin, Euler comentaba lo siguiente:
Todos los números contenidos de una sola forma en
son primos o dobles de primos donde
e
son primos entre sí. He observado que otras expresiones similares de la forma
gozan de la misma propiedad dando a la letra
valores convenientes.
Esto es, todo número que puede expresarse de una única forma como , para
e
primos relativos, es primo o el doble de un primo. En particular, todo número impar que pueda expresarse de una única forma en el sentido anterior es primo.
Pero aún hay más. No sólo sirve una expresión del tipo , sino que existen ciertos valores de
tales que una expresión del tipo
cumple la misma propiedad. A estos valores de
es a los que se les llama numeri idonei (números convenientes o números idóneos en español y suitable numbers o idoneal numbers en inglés).
Al menos esta era la definición inicial de número idóneo. Pero esta forma de definir este tipo de números presenta algunos problemas. Por ejemplo, es un número idóneo (lo veremos más adelante) y para él se cumple que:
es la única representación del número 9 como . Pero como todos sabemos 9 no es primo, aunque sí es potencia de un primo, ya que
. Por tanto deberíamos decir que
es un número idóneo si todo número impar que pueda expresarse de una única forma como
es primo o potencia de un primo, pero se puede afinar un poco más para eliminar esta nueva posibilidad, esto es, que el número sea una potencia de un número primo (en el primer enlace de las fuentes podéis ver algunas de las condiciones que se podemos añadir a la definición para evitar esto).
Conociendo un poco la forma de trabajar de Euler cualquiera puede imaginar que no se quedó ahí, que sus investigaciones sobre este tema no terminaron en el establecimiento de la definición de este tipo de números. Sabiendo de su carácter indagador uno tiende a pensar que intentó profundizar más en el asunto. Y teniendo un poco de información sobre sus logros no es difícil convencerse de que lo hizo, y muy profundamente. Pues sí, así fue. Euler elaboró una lista de números idóneos. Es la siguiente:
En total 65 números que Euler comprobó que eran idóneos (en el sentido comentado anteriormente). De hecho indagó más: utilizó esta lista para construir números primos hasta de ocho cifras.
Llegados a este punto lo más lógico es que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿es infinito el conjunto de números idóneos? La respuesta es no. En 1934, el matemático Sarvadaman Chowla demostró que el conjunto de números idóneos es finito.
Sabiendo esto nos surge otra cuestión: ¿hay más números idóneos aparte de los encontrados por Euler? Por desgracia para esta pregunta todavía no hay respuesta, aunque sí se tienen datos. Concretamente se sabe que como mucho existe un número idóneo más, aparte de los que se encuentran en la lista. Y que si este último número idóneo en realidad existe, debe ser mayor que 100000000.
Mayor número primo encontrado con los números idóneos
Hemos comentado antes que Euler utilizó estos números para encontrar números primos relativamente grades (hasta ocho cifras). El mayor número primo que encontró Euler con esta téctica fue . Para demostrar que este número de ocho cifras es primo habría que comprobar que la única solución de la ecuación
es . ¿Alguien se atreve?
Fuentes:
- Numeri Idonei en Math Pages.
- Idoneal number en la Wikipedia inglesa.
- Euler y la teoría de números (pdf), de Fernando Chamizo.
- Numeri idonei en la Enciclopedia de las secuencias de números enteros, donde además podréis encontrar un código para Mathematica que genera todos los números idóneos hasta 10000.
Difícil de comunicar
En compañía de amigos, los escritores pueden discutir sobre sus libros, los economistas sobre el estado de la economía, los abogados sus últimos pleitos y los hombres de negocios sus últimas adquisiciones, pero los matemáticos no pueden hablar sobre sus matemáticas en absoluto. Y cuanto más profundo es su trabajo, menos comprensible es.
Alfred Adler
Estoy de acuerdo con Adler. Para un matemático es muy complicado explicarle a alguien que no esté muy metido en el asunto qué es lo que hace. Seguro que algunos de vosotros os habéis encontrado en una situación así alguna vez. Los comentarios son la mejor manera de contar vuestras experiencias.
Curvas tangentes
Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:
Encontrar todos los valores de
para los cuales las curvas
y
son tangentes entre si.
A por él.
Las propiedades de la inversión (geométrica)
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
La inversión en el plano
Si tenemos una circunferencia de radio
en un plano
, y
es la esfera que tiene a
por circulo máximo, la proyección estereográfica desde un polo de
asocia a cada punto del plano un punto de la esfera distinto del centro de proyección
, y viceversa.
La simetría de la esfera respecto al plano , es decir la transformación que intercambia cada punto
de la esfera con su simétrico
respecto al plano
, induce, mediante la proyección estereográfica, una transformación en el plano
, que intercambia el interior de la circunferencia
, excepto su centro
, con el exterior de esa circunferencia.
En la figura, subtiende en la esfera un arco
. y
subtiende el arco
. Entonces
es complementario de
y los triángulos rectángulos
y
son semejantes. Por tanto
, es decir
.
La inversión de centro y potencia
es la transformación del plano que hace corresponder a cada punto
distinto de
, el punto
situado en la recta
y tal que
.
Si es negativo,
está entre
y
, y la transformación es equivalente a una inversión de centro
y potencia
seguida de un giro de 180º con centro
.
En lo que sigue asumiremos que la potencia es positiva. Entonces los puntos de la circunferencia de centro
y radio
son los únicos puntos fijos de la inversión, y ésta se denomina también inversión o reflexión respecto a la circunferencia de centro
y radio
(Leer el resto del post)
¿Cómo se besan las circunferencias?
Pueden besarse los labios, dos a dos,
sin mucho calcular, sin trigonometría;
mas ¡ay! no sucede igual en la Geometría,
pues si cuatro círculos tangentes quieren ser
y besar cada uno a los otros tres,
para lograrlo habrán de estar los cuatro
o tres dentro de uno, o alguno
por otros tres a coro rodeado.
De estar uno entre tres, el caso es evidente
pues tres veces son todos besados desde afuera.
Y el caso tres en uno no es quimera,
al ser este uno por tres veces besado internamente.
Frederick Soddy
Este es un fragmento de un poema que el químico Frederick Soddy envió a la revista Nature en 1936 explicando cuántas circunferencias son tangentes a tres circunferencias dadas tangentes entre sí. En este enlace encontraréis información sobre este tema.
Inscribiendo parábolas
Vamos con el problema de esta semana. Aquí os lo dejo:
En un triángulo
se inscriben tres parábolas de modo que cada parábola es tangente a dos lados del triángulo en sus vértices, como se puede ver en la figura siguiente:
La intersección de estas parábolas determina tres puntos interiores
y
. Hallar la razón entre las áreas del triángulo parabólico
y del triángulo original
A por él.
Las esferas besuconas, o el gran salto a la tercera dimensión
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Introducción
La tercera dimensión, , o como lo queramos llamar, es un lugar complicado de manejar. Es donde hacemos nuestra vida diaria (al menos a nuestra escala) pero matemáticamente es un espacio que con cierta frecuencia produce auténticos quebraderos de cabeza. El salto de dos a tres dimensiones es sencillo en algunas ocasiones y tremendamente difícil en otras. No son pocos los problemas cuya respuesta es relativamente fácil de encontrar en dos dimensiones, pero que entrañan una suprema dificultad cuando aumentamos en uno la dimensión de la situación.
El problema que nos ocupa es uno de ellos. Es muy sencillo encontrar la solución del mismo para dimensión uno y dimensión dos. Hasta para ciertas dimensiones mayores el problema es fácil de resolver. Pero en dimensión tres no es ni mucho menos trivial. De hecho es ciertamente complicado. Veremos en el transcurso de este artículo por qué es razonable dudar sobre la solución de este problema y cómo la dificultad que posee el mismo motivó una disputa entre dos grandes matemáticos.
(Leer el resto del post)
Los números de Catalan
Este artículo es mi aportación a la primera edición de Carnaval de Matemáticas organizado por Tito Eliatron.
Motivación
Un polígono convexo es un polígono que cumple que todos sus ángulos interiores miden menos de 180º. De forma más intuitiva, un polígono es convexo cuando todos sus vértices están apuntando hacia el exterior del polígono. Por ejemplo, el siguiente polígono es convexo
pero éste no lo es
Según esta definición es evidente que todos los polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular…) son convexos.
Bien, aclarado este punto vamos a realizar un experimento con estos polígonos regulares. Lo que vamos a hacer es dividir cada uno de ellos en triángulos trazando diagonales que no se corten entre si. Y vamos a contar de cuántas formas podemos hacer esa subdivisión para cada uno de los polígonos.
Tomemos el primer polígono regular en lo que a número de lados se refiere, el triángulo equilátero. Está claro que en un triángulo equilátero no se puede trazar ninguna diagonal, pero como la propia figura es un triángulo digamos que ya tendríamos el polígono dividido en triángulos. Esto es, el número de formas en las que podemos dividir un triángulo equilátero en triángulos trazando diagonales de la forma descrita antes es .
Pasamos al siguiente, el cuadrado. En él podemos trazar dos diagonales que lo dividen en triángulos
Por ello, el número de formas en las que podemos dividir el cuadrado en triángulos como se comentó antes es .
El siguiente es el pentágono. En este caso cada forma de dividirlo en triángulos así consiste en trazar dos diagonales que no se corten. Estas son las formas.
Con el hexágono el número de diagonales a trazar es tres por vez. Nos quedan las siguientes formas de dividir un hexágono regular como hemos dicho antes:
Con un heptágono obtendríamos formas, con un octógono
, y así sucesivamente…Un momento, ¿cómo que y así sucesivamente? Hemos obtenido la siguiente sucesión de números:
A la vista de estos elementos no parece que sea muy evidente cómo encontrar el siguiente término. La sucesión de números obtenida más bien parece aleatoria, casual, sin ningún interés…
La pregunta está clara:
¿Aparecen estos números en algún otro sitio? ¿Tienen algo de interés?
Pues va a ser que sí…
(Leer el resto del post)
