Desigualdad con reales y enteros
El problema de la semana nos lo envía Abraham. A ver quien puede ayudarle:
Demuestra que para todo
positivo y todo natural
se cumple la siguiente desigualdad:
A por él.
La función Phi de Euler: otra genialidad del maestro
Introducción
Pierre de Fermat
Tras la muerte de Pierre de Fermat, muchas de sus conjeturas quedaron sin resolver. Como ya sabemos, Fermat no era muy dado a publicar las demostraciones de sus resultados, por lo que debían ser demostrados por otros para confirmar su validez o falsedad. El caso más famoso, por lo que se tardó en confirmar y por la gran cantidad de matemáticos que se dedicaron a ello, es el denominado último teorema de Fermat, demostrado finalmente por Andrew Wiles en 1995, pero ni mucho menos fue el único.
La afirmación de Fermat sobre la primalidad de todos los números enteros positivos 
De hecho no se ha vuelto a encontrar ningún número de Fermat que sea primo.
Y el llamado pequeño teorema de Fermat constituye otro caso del mismo tipo que los anteriores. Dicho teorema afirma lo siguiente:
Si
es un número primo y
es un número natural que no es divisible por
Euler demostró este resultado y dio además la demostración de una generalización del mismo. En esta historia la conocida como función 
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Potencia matemático-musical
Una simple curva, trazada a la manera de la curva de los precios del algodón, describe todo lo que el oído puede escuchar como resultado de las más complicadas composiciones musicales. En mi opinión, esto es una maravillosa prueba de la potencia de las matemáticas.
Lord Kelvin
Los números primos, de Enrique Gracián
Límite homenaje a Vladimir Arnold
Esta semana J.H.S. me propone un problema que publicó en su blog El Reto hace unas fechas. La historia que nos cuenta J.H.S. en su artículo es más o menos así:
El reto de esta ocasión pretende ser un modesto homenaje al profesor Vladimir Arnold, fallecido recientemente. El problema está basado en un curioso ejercicio que él solía mencionar en sus charlas a manera de expresión de respeto hacia los matemáticos de la vieja escuela.
Específicamente, Arnold solicitaba calcular el siguiente límite:
El Profesor agregaba que un problema así le tomaría no más de un minuto a hombres como Hooke, Newton o el famoso sensei de Newton. No tanto por sólo ser ellos, sino porque, a diferencia de los matemáticos de la actualidad, ellos sí sabían calcular. Cuenta la leyenda que, para ponerle sabor al asunto, Arnold ofrecía una recompensa monetaria para el individuo de la audiencia que lo resolviera primero. Se reporta además que no sería sino hasta en un seminario de Princeton (hacia fines de los 80) que Arnold conociera a alguien capaz de acabar con su propuesta en tiempo real.
Al parecer, la leyenda anterior y el límite mismo son objeto de culto en los círculos matemáticos rusos.
Procedamos entonces con la propuesta del momento:
Sean
y
funciones analíticas (reales) alrededor del
, con
y
¿Cuánto vale el siguiente límite?
Espero que el problema sea de su agrado y que ayude a perpetuar, de un modo u otro, la memoria del Profesor Arnold.
Suerte.
Un rechazo, un nacimiento y un fallecimiento
Hoy os traigo una entrada con varias noticias relacionadas con las matemáticas que se han producido en los últimos tiempos. Son las siguientes:
- Grigori Perelman no asiste al acto del Instituto Clay.
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El contraejemplo de Francisco Santos
¿Recordáis el artículo de hace unos días en el que os hablaba de Francisco Santos y la conjetura de Hirsch? Sí, ese en el que reproducía un texto que me envió Francisco Santos, profesor de la Universidad de Cantabria, en el que hablaba de la conjetura de Hirsch y de que él había construido un contraejemplo para la misma. Bueno, este artículo. Bien, pues me informa el propio Francisco de que ha subido al arXiv el paper correspondiente a este trabajo. Podéis consultarlo en este enlace.
Gracias por el aviso Paco.
Fácil-difícil
Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida.
John Von Neumann
Como en muchas otras cosas, qué razón tiene señor Von Neumann. ¿Verdad?
Determinante y números combinatorios
Os dejo el problema de esta semana, enviado por KMPOS:
Calcular el valor del siguiente determinante:
Suerte.
El problema de Waring
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En ocasiones puede resultar paradójico que la respuesta a una pregunta suponga la aparición de muchas otras preguntas, pero en matemáticas esto ocurre constantemente. Es habitual que la demostración de un hecho traiga consigo la formulación de muchas preguntas relacionadas con este hecho.
Edward Waring
Precisamente esto es lo que ocurrió en 1909. Ese año David Hilbert daba una demostración de una conjetura conocida como problema de Waring, formulada por el matemático inglés Edward Waring más de cien años antes, en 1770.
En concreto, Waring conjeturó en su obra Meditationes Algebraicae que
Todo entero positivo puede expresarse como suma de a lo sumo
potencias
-ésimas positivas, siendo
Esto quiere decir que dado un exponente entero positivo
Al parecer no se considera que Waring tuviera la suficiente capacidad para probar su propia conjetura, de hecho ni siquiera para probar alguno de los casos particulares (
El mismo año 1770 en el que se formuló la conjetura, el caso 
David Hilbert
La traca final llegó en 1909 cuando Hilbert demuestra el caso general. Es decir, dado cualquier entero positivo
, el número de potencias -ésimas que hay que sumar para obtener cualquier entero positivo está acotado, tiene un máximo, un tope, sea cual sea el número entero positivo que queramos expresar así.
El pero de todo esto (sí, siempre tiene que haber un pero) es que la demostración de Hilbert no da ningún procedimiento para calcular ese número máximo de sumandos. Por poner un ejemplo, esto quiere decir que sabemos que todo número natural puede ser expresado como, a lo sumo, un cierto número concreto de potencias de exponente 
Dado que no tenemos una fórmula explícita para, dado
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Puedo prometer y prometo
Este curso académico ha sido bastante intenso para mí, por lo que hay cosas que he tenido que dejar algo de lado, más de lo que gustaría. De todas formas el curso se termina pronto, por lo que en pocas semanas pasaré a tener bastante más tiempo libre del que he tenido en los últimos meses.
Quiero dedicar una buena cantidad de ese tiempo a Gaussianos. Tanto al blog en el sentido de publicación como a otras cosas relacionadas con él. Por eso puedo prometer y prometo:
- Que haré todo lo posible para contestar los más de 150 mails que tengo en el buzón de correo pendientes de contestación
- Que cumpliré mi promesa de premiar a los ganadores del Concurso Caras de Matemáticos
Respecto a este último punto, quiero comentar que he tardado tanto en hablar sobre el tema por varias cosas. En los comienzos tardé en recopilar la información personal de cada uno de los ganadores (y de algunos más, vosotros sabéis quiénes sois) para enviarles el premio. Después de recopilar dicha información estuve un tiempo pidiendo presupuestos, y eso también contribuyó a retrasar todo. Y cuando ya más o menos tenía todo lo necesario…dejé de tener tiempo libre para ello. Por eso ahora, que parece que voy a estar más liberado, también quiero aprovechar para cumplir con este punto. Pronto, espero, tendréis noticias sobre el tema.
