Porque todo tiende a infinito
Os dejo el problema de esta semana:
Un rectángulo
se subvidide en una serie de rectangulos
de tal modo que cada uno de los rectángulos
posee al menos un lado de longitud natural. Demostrar que entonces el rectángulo original
El problema me lo ha enviado Domingo, que lo vio en este post del blog de J.H.S., donde no encontró respuesta. A ver si aquí se la damos.
Francisco Santos
Hace unos días en el blog de Gil Kalai se hacían eco de la refutación de la conjetura de Hirsch por parte del matemático español Francisco Santos. Cuando vi dicha noticia me puse en contacto con el propio Francisco para comentarle que estaba interesado en hablar sobre el tema en Gaussianos y para pedirle que nos hiciera un texto explicándonos el tema. Este fin de semana Paco me ha enviado amablemente la información que le pedí (también la ha enviado a Matemáticas y sus Fronteras) y hoy os la muestro a vosotros.
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Hoy toca problema. El enunciado es el siguiente:
Indicar todos los poliedros (regulares o no) convexos sin agujeros que verifican que cualquier par de caras comparten una arista.
Ánimo, que es sencillo.
Uno de los secretos del análisis radica en la característica, esto es, en el arte de usar magistralmente los signos de que se dispone.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Del análisis y de toda la matemática, ¿no creéis?
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La Fórmula de Euler, maravilla matemática que vimos hace unos días, sólo es válida para poliedros convexos. En este artículo vamos a presentar el poliedro de Császár, una curiosa figura que nos va a servir como ejemplo de por qué los poliedros no convexos no cumplen la igualdad propuesta por Euler.
El poliedro de Császár es un poliedro no convexo que no tiene diagonales (comparte esta propiedad con el tetraedro), es decir, cada uno de sus vértices está conectado con todos los demás por una arista. Podemos verlo en la siguiente imagen (tomada de MathWorld):
En este enlace de la Wikipedia podéis ver una animación de este poliedro junto con la figura que queda al desplegarlo.
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La tradición nos cuenta que Hipócrates de Quíos, en la segunda mitad del siglo V a.C., redujo el problema de duplicar el cubo, o el de duplicar un volumen dado manteniendo la misma forma, al problema más general de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas, es decir, al problema de, dados 
o, lo que es lo mismo, encontrar 
Si tenemos un cubo con aristas de longitud 1, por ejemplo, y construimos una progresión geométrica 
![x =\sqrt[3]{2}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=x%20%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x =\sqrt[3]{2}")
En los comentarios de Eutocio de Ascalón (siglo VI) a los tratados de Arquímedes1 se dan doce soluciones (y se menciona otra más) al problema de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas.
La primera solución cronológicamente se debe a Arquitas de Tarento (principios del siglo IV a.C.), y es uno de los resultados más antiguos que tenemos en la historia de la geometría griega.
Arquitas fue, entre otras cosas, el fundador de la mecánica matemática, inventor de juguetes y elegido “strategos” (jefe militar) por los tarentinos en siete ocasiones.
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Lo que fue el microscopio para la evolución de las ciencias biológicas o el telescopio para la astronomía es el ordenador respecto al desarrollo matemático.
Miguel de Guzmán
Pues bajo mi punto de vista tiene gran parte de razón el gran Miguel de Guzmán. ¿Qué pensáis?
Esta semana también cambia el orden habitual de las entradas (exigencias del guión). Ahí va el problema semanal:
Diremos que un punto
es entero (resp. racional), si ambas coordenadas
son números enteros (resp. racionales). Demostrar que:
- un círculo en el plano con centro no racional tiene a lo sumo dos puntos racionales en su circunferencia;
- para cada natural
, existe un círculo en el plano que tiene exactamente
- para cada natural
Suerte.
Ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas.
(Quijote II, 18)
Miguel de Cervantes
Hasta en una de las obras maestras de la literatura española se le da tal importancia a las matemáticas…Por algo será. Quienes no lo tuvieran claro que tomen nota.
Os dejo el problema de esta semana. Bueno, en realidad en este caso son dos problemas:
1) Se define la siguiente sucesión por recurrencia:
Demostrar que
es un cuadrado perfecto para cada valor de
.
2) Se define la siguiente sucesión por recurrencia:
Demostrar que
es un cuadrado perfecto para cada valor de
Venga, a por ellos.
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Introducción
Como ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, [...]
