Pappus, Hales y Kelvin, Weaire y Phelan, o cómo rellenar el plano y el espacio de la manera más eficiente

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Este fin de semana Eduardo Sáenz de Cabezón nos ha representado en Famelab con su gran monólogo Un teorema es para siempre (podéis verlo en inglés aquí). En dicho monólogo nos hablaba sobre la historia del problema del rellenado mínimo del plano y del espacio. En este post vamos a repasar la historia de estos problemas.

Lo primero que toca es explicar qué queremos decir cuando hablamos de rellenado “eficiente” o “mínimo”. Una forma de rellenar el plano será “mínima” (o “la más eficiente”) cuando a igualdad de área con cualquier otro “rellenado” el perímetro total sea menor, y para el caso del espacio será cuando a igualdad de volumen el área total sea mínima.

En lo que se refiere al plano, en la actualidad se sabe que el rellenado mínimo se consigue con hexágonos regulares. Parece que esta cuestión proviene del siglo I a. C., en el que Marco Terencio Varrón habla sobre los hexágonos de los panales de las abejas en un libro suyo de agricultura. Pero en realidad el problema ha pasado a la historia relacionado con Pappus de Alejandría, que lo cita en su Libro V (unos 400 años después), como la conjetura del panal (de todo esto ya habíamos comentado algo por aquí)…

(Imagen tomada de aquí)

…y eso fue, una conjetura, durante muchísimos años, hasta el siglo XX. En 1943, L. Fejes Tóth prueba la conjetura del panal, pero considerando como hipótesis inicial que las celdas son polígonos convexos. Y la cosa se mantuvo así unos 50 años más. En 1999, Thomas Hales publica una demostración general de la conjetura del panal en su trabajo The honeycomb conjecture, en el que prueba que, efectivamente, el hexágono regular es la figura más eficiente.

Para terminar esta parte, quizás sea interesante dar los datos de los perímetros de varias figuras simples para compararlos con el hexágono regular. Lo vamos a hacer con los otros dos polígonos regulares con los que se puede rellenar el plano, el triángulo equilátero y el cuadrado, y vamos a ver cuánto mide el perímetro de cada uno para el caso en el que las áreas de los tres sean iguales a 1:

\begin{array}{| c | c | c |} \hline Poligono & Area & Perimetro \\ \hline Triangulo \;  equilatero & 1 & \begin{matrix} \\ \cfrac{6}{\sqrt[4]{3}} \approx 4.55 \\ \\ \end{matrix} \\ \hline Cuadrado & 1 & \begin{matrix} \\ 4 \\ \\ \end{matrix} \\ \hline Hexagono \; regular & 1 & \begin{matrix} \\ 6 \cdot \sqrt{\cfrac{2}{3 \cdot \sqrt{3}}} \approx 3.72 \\ \\ \end{matrix} \\ \hline \end{array}

Como en todas las situaciones tipo la descrita, preguntarse cómo sería el paso a las tres dimensiones es prácticamente obligado. En 3D, la pregunta sería la siguiente: ¿cuál es la figura tridimensional que a igualdad de volumen tiene menor área? Ésa sería la figura “más eficiente” o “mínima”.

Lord Kelvin conjeturó a finales del siglo XIX que sería un octaedro truncado,

(Imagen tomada de aquí)

pero no consiguió demostrar que en realidad esa figura es la mejor para rellenar el espacio. A partir de aquí, este tema pasó a denominarse problema de Kelvin o conjetura de Kelvin. En este enlace podéis ver una animación de cómo se puede rellenar el espacio tridimensional con octaedros truncados (vía este comentario de Albert).

Estando entonces en el estado de “conjetura”, si alguien la resolvía sería porque se dieran alguna de estas dos situaciones:

  1. Que se demostrara que la conjetura era cierta (como pasó con la del panal).
  2. Que se encontrara un contraejemplo a dicha conjetura.

Y fue esta segunda la que se presento, En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan encontraron un contraejemplo a la conjetura de Kelvin sobre rellenado del espacio tridimensional. Weaire y Phelan encontraron una figura que, a igualdad de volumen, tenía menor área que el octaedro truncado, y la denominaron (después de un gran alarde de imaginación) estructura de Weaire-Phelan, que está formada por dos dodecaedros irregulares con caras pentagonales y seis tetradecaedros con dos caras hexagonales y doce caras pentagonales pegados como puede verse en la siguiente figura:

(Imagen tomada de aquí)

Seguro que muchos veis que esta figura es rarísima, ¿verdad? Pues es interesante resaltar que se utilizó como base para construir la pared exterior del Beijing National Aquatics Centre, edificio en el que se celebraron las pruebas de natación de las Olimpiadas de Pekín 2008:

Por cierto, creo que es necesario comentar que el área de la estructura de Weaire-Phelan es un 0.3% menor que la de la estructura de Kelvin.

Y, bueno, ahí sigue la cosa. No se sabe si la estructura de Weaire-Phelan es “la más eficiente”, o si por el contrario hay otra figura tridimensional que a igualdad de volumen con ella tenga un área menor. ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para conocer la respuesta? No lo sabemos, aunque sí esperamos que sea mucho menos del que pasó en el caso de la conjetura del panal de Pappus de Alejandría. Y si esto se produce pronto, aquí estaremos para contarlo.


Y como estoy seguro de que entre vosotros habrá gente a la que le encante montar este tipo de figuras, no puedo dejar pasar esta oportunidad para proporcionaros plantillas para ello. Aquí las tenéis:

Espero que os gusten. Y si conocéis plantillas mejores que éstas no dudéis en comentárnoslo.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

24 Comentarios

  1. Vi el monólogo “Un teorema es para siempre” el otro día y la verdad es que me encantó. Os recomiendo que lo veáis.

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  2. Hola Gaussianos, hice un comentario a este post pero, por distracción, en el sitio equivocado. Comencé con “No sé donde he visto ya este post”….Y bueno donde lo había visto era en tu mismo blog el mes de mayo. Me da risa, si hasta llegué a pensar, al ojear de nuevo esta entrega tuya, que me habías censurado porque no vi el comentario del caso. Yo también me he vuelto tu fan porque me parece muy loable tu blog. Saludos.

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  3. Hola cuando dices “…estructura de Weaire-Phelan, que está formada por dodecaedros irregulares con caras pentagonales y seis tetradecaedros con…” creo que querías decir “…estructura de Weaire-Phelan, que está formada por DOS dodecaedros irregulares con caras pentagonales y seis tetradecaedros con…”
    Sin el DOS lo he tenido que leer varias veces y no lo entendía, (a lo mejor es mi problema,…)
    A parte, aquí he encontrado una animación de como el octaedro truncado tesela el espacio:
    http://www.matematicasvisuales.com/html/geometria/espacio/truncatedoctahedrontesela.html
    Muy buen post Diamond, muy interesante, saludos cordiales

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  4. Acido, pienso igual que tú, el monólogo me parece muy bueno :).

    Luis GSA, muchas gracias por tus comentarios :).

    Albert, cierto, falta un “dos”. Lo añado ahora mismo. Ah, y ya de paso añado también el enlace que aportas, que me ha gustado :).

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  5. No podía imaginarme como se les pudo ocurrir a Weaire y Phelan esta estructura, pero por lo que he leído parece ser que les ayudó la Naturaleza.
    Según parece hay varios compuestos químicos que cristalizan según esta estructura. Asombroso.

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  6. Yo estuve un tiempo investigando (a lo “bruto”, no soy matemático) algo parecido con la superficie de una esfera. Parece que el uso de hexágonos y pentágonos (como se hace en los balones de fútbol) es la solución.

    ¿Podríais añadir algo sobre esto? Yo sería feliz porque seguramente me descubráis algo nuevo.

    ¡Saludos!

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  7. Hola Diamond, lo siento pero creo que no he entendido bien el post.

    Se dice que “Una forma de rellenar el plano será “mínima” (o “la más eficiente”) cuando a igualdad de área con cualquier otro “rellenado” el perímetro total sea menor, y para el caso del espacio será cuando a igualdad de volumen el área total sea mínima.”

    Yo tenía entendido que era el círculo el que menor ratio área/perímetro tenía. Es decir, pi de perímetro cuando el área es 1. ¿Por qué el hexágono entonces? No lo entiendo…

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  8. Pablo, con círculos no puedes rellenar un plano porque, o dejas huecos sin rellenar o se solapan con lo que el perímetro total es mayor que con hexágonos contiguos.

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  9. Hola Pablo,
    te puedo responder yo también si quieres (cuando estaba escribiéndolo vi la respuesta de JJGJJG). El círculo es la figura plana (o “curva” cerrada”, polígono, etc) tal que UNA sola figura plana ENCIERRA más área para un perímetro dado, o que tiene menor perímetro para un área a encerrar. Pero el problema que se plantea aquí es diferente. Aquí no se trata de encerrar un área con el mínimo perímetro sino de CUBRIR un área y no finita sino en este caso el plano infinito, no con una sino con múltiples figuras (infinitas) planas finitas repetidas. Es lo que se llama una “teselación” o “teselado”… que sería como pavimentar el plano con infinitas baldosas iguales. Si tratas de pavimentar un suelo con círculos verás que te quedan huecos entre los círculos (como dice el vídeo “Un teorema es para siempre”).
    Un problema similar sería diseñar un enrejado para una valla metálica de forma que se emplee la mínima cantidad de metal (que es como decir que el perímetro de los huecos de la valla sea mínimo).
    Otro problema sería diseñar un botellero para colocar botellas horizontalmente usando la mínima cantidad de material (quizá especialmente importante si ese material es caro). Si haces un botellero cuadriculado usarás más material y podrás meter menos botellas que con uno hexagonal. Nótese que este problema de almacén es muy similar al caso de las abejas, que en lugar de almacenar vino guardan miel y deben emplear la mínima cantidad de cera.
    Como curiosidad, si partimos de botellas “circulares” (cilíndricas) y las empaquetamos sin ningún material entre ellas la colocación más eficiente será similar a la hexagonal. Y el caso es que entre los huecos de esas botellas puedes dibujar hexágonos que contengan a todos los círculos pero no puedes dibujar triángulos equiláteros ni cuadrados dibujando en esos huecos.

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  10. Tengo unos cuantos comentarios al hilo principal:

    1. La tabla que muestra la relación entre el area y perímetro para el caso plano, debería ser valores mitad de lo que aparecen. El valor mostrado es para una única tesela, pero todas los lados de una tesela se comparten de dos en dos, por lo que al rellenar todo el espacio, se ha utilizado la mitad de perímetro para rellenarlo por cada unidad de area. Se ve muy rápido generalizando una cuadricula.

    2. Ya se que el problema original es para un plano sin curvatura, pero y si tuvieramos un plano curvado tal que formara una esfera o un toro? Cuál sería la forma de rellenarlo? Está claro que los hexágonos ya no encajarían. Del mismo modo, si el espacio 3D estuviera curvado y cerrado sobre sí mismo… ¿cómo lo rellenaríamos ahora?

    3. Me resulta sumamente paradójico (al menos a mi) que esos dodecaedros y similares puedan ser la forma óptima, ya que se trata de una figura cóncava. Yo me habría tirado mil años sin que se me ocurriera probar con figuras cóncavas. ¿No parece lógico que si rellenaramos las concavidades de esa figura debería salir un área inferior para el mismo volumen?

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  11. Cartesiano Caotico, comento tus comentarios (valga la redundancia):

    1. Creo que la tabla compara los perímetros de cada tesela y no el total de líneas. Es lo mismo para comparar el relleno con polígonos regulares ya que es equivalente, como tu bien dices, a comparar la longitud total al ser compartido cada lado por dos polígonos contiguos.

    2. En el caso de las superficies curvas el problema reside en establecer el criterio para decidir qué “polígonos es lícito emplear como tesela, aunque parece que la mejor opción sería llenarla de hexágonos “casi regulares”.

    3. Los dos tipos de poliedros utilizados en la estructura de Weaire-Phelan son convexos así que no entiendo tu objeción. A no ser que te parezca que al teselar el plano con hexágonos regulares creas una forma con concavidades al dibujar los dos primeros hexágonos. Se supone que cada nuevo elemento que añades encaja en las concavidades que han dejado los anteriores.

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  12. JJGJJG,

    1. Yo creo que habría que ser riguroso. Aunque es cierto que da igual dividir todo por 2 o no para estudiar el mínimo, tiene más sentido calculando sobre el perímetro total usado.

    2. No veo por qué hay que establecer un criterio para decidir que polígonos son lícitos. Mientras rellenen completamente y son solape… En principio no parece demostrado que sean hexágonos la mejor solución. Un balón de futbol parece rellenarse bien usando hexágonos y pentágonos. Si usaramos una tesela formada por un conjunto de ellos (para que sea una tesela única repetitiva) lo malo es que no se puede hacer para cualquier área. Ya sabes que una esfera se forma de un número determinado de hexágonos y pentágonos (u otra combinación) y no de cualquier número arbitrario de ellos. Creo que es un problema más complicado de lo que parece.

    3. Ya veo que los dos poliedros de Weaire-Phelan son convexos, pero la estructura formada por ellos es cóncava. En tu ejemplo de hexágonos en el plano, podemos usar dos de ellos unidos eliminando el lado común. De esa forma tendríamos un polígono cóncavo formado por dos polígonos convexos. Mi intuición me dice que esa tesela no puede ser la óptima porque podría rellenar esa concavidad para hacer una tesela con más área y menos perímetro que me permitiría optimizarla. En este ejemplo sería pasar de esto: “” a esto otro “”
    De la misma manera, la intuición me dice que si la estructura de Weaire-Phelan la relleno quitándole los huecos, la haré más eficiente.
    Claro que eso solo es mi intuición, y me parece chocante!!

    Desde luego que se ve numerosas veces en la naturaleza que pasar de 2D a 3D convierte el mundo en algo asombroso que no podría suceder en 2D.

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  13. Yo también comento lo que he pensado de las 3 cuestiones:

    1. Se trata de una relación entre área y perímetro… pero esta relación expresada así no creo que tenga mucho sentido. Me explico: el área son unidades cuadradas (2D, metros cuadrados, etc) mientras que el perímetro son unidades lineales simples (1D, metros, etc). ¿tiene sentido dividir la una por la otra? Por ejemplo, un cuadrado, 1 metro cuadrado dividido por 4 metros igual a un cuarto de metro… ¿qué sentido tiene ese cuarto de metro? Si elegimos la mitad sería 1 metro cuadrado dividido por 2 metros igual a medio metro… ¿tiene más sentido?
    A lo que voy es que desde mi punto de vista empieza a tener sentido cuando damos “grosor” al perímetro y pasa a ser una superficie, la cual pasa a ser comparable con la superficie de los huecos. En este caso sí tiene mucho sentido: la relación sería tantos metros cuadrados de superficie útil y tantos metros cuadrados de superficie de paredes… O bien tantos metros cuadrados de “paredes” de grosor 1 cm respecto a una superficie total. La relación es un número que puede ser un porcentaje.

    Desde este punto de vista, si hacemos la relación perímetro de una celda en unidades entre área en unidades cuadradas sería como considerar un grosor total de 2 unidades.
    Para ese grosor obtenemos un porcentaje de eficiencia: pared/total.

    Si hacemos la relación metros de perímetro por unidad de superficie (entre área en unidades cuadradas) sería como considerar un grosor total de 1 unidad. Lógicamente este cociente será la mitad… nos dará la mitad en porcentaje de pared.

    Con todo esto lo que digo es que ninguno de los dos cocientes sería más válido que otro, sólo dos convenios diferentes igualmente válidos siempre que se use el mismo convenio para todas las estructuras candidatas. Si elegimos paredes de una unidad serán de unidad en cuadrados, en triángulos y en hexágonos.

    2. Creo que el caso de la esfera es muy diferente no sólo por ser curva sino por ser una superficie finita. Y esta diferencia me parece importante, ya que no puede haber infinitas figuras de igual área que cubran la superficie total… Habrá un número finito de ellas. Y cuantas menos divisiones hagamos creo que mejor es la eficiencia (menos superficie de pared de un grosor dado necesitamos). De ese modo lo más eficiente sería dividir la esfera en dos mitades y hacerlo mediante una circunferencia. Si la división debe ser con figuras iguales la circunferencia que divide la esfera sería el ecuador, que crea dos semiesferas iguales.
    (si no se exige que la división cree figuras iguales entonces creo que no hay solución… para cada circunferencia válida habrá otra de radio menor y, por tanto, más eficiente)

    En este sentido se asemeja un poco al problema de la figura cerrada plana que encierre un área con el menor perímetro, cuya solución es la circunferencia, pero difiere de este problema en que en la esfera no se distingue interior del perímetro y exterior… un perímetro en la esfera la divide en al menos dos partes pero ninguna de esas partes es “interior” o “exterior”.

    En el caso del toro hay circunferencias de pared que no lo dividen en dos partes separadas y para dividirlo en dos partes separadas iguales debemos usar 2 curvas e intuyo que 2 circunferencias sería lo más eficiente.

    3. Este punto lo tengo que pensar un poco más pero a primera vista creo que no hay motivo para pensar que la convexidad o concavidad sea mejor una que la otra. Téngase en cuenta que mayor convexidad aumenta la superficie encerrada (o volumen en el caso 3D) pero también aumenta el perímetro (o superficie que limita cada volumen)… aparte de que “limar” una parte para hacerla menos convexa implica hacer más cóncava una parte de la celda vecina. Veamos el caso del hexágono… si limamos los picos estaremos más cerca de la circunferencia, vale, pero estropeamos al vecino que será una parte hueca de circunferencia y por tanto ineficiente ya que presentará unos picos que harán el perímetro peor en el otro lado, o que no encaje, que se creen huecos.

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  14. Creo que no se considera el problema de una manera completa.

    Analicemos el caso del plano:

    Su superficie es infinita y deberíamos establecer, para eliminar la ambigüedad de la pregunta, un límite para el área de cada polígono individual.
    El hecho de que el hexágono envuelva la superficie máxima con el perímetro mínimo no resuelve totalmente el problema. Si elegimos un hexágono de 1 metro cuadrado de área tendremos una determinada relación entre área cubierta y perímetro empleado. Si duplicamos el área multiplicaríamos el perímetro por raíz de 2 con lo que la relación ha mejorado utilizando el mismo polígono.
    El problema queda totalmente definido si preguntamos, por ejemplo, por la forma de rellenar el plano con polígonos cuya superficie sea igual o menor que un metro cuadrado con el mínimo perímetro total. Ahora sí que la respuesta sería utilizar hexágonos de un metro cuadrado de área.
    Además desaparece cualquier discusión sobre la posibilidad de considerar la “corrección de concavidades.

    Veamos el caso de la esfera:

    Ahora tenemos que establecer dos condiciones, el radio de la esfera y el área máxima de cada polígono dibujado sobre ella. Además tenemos que aclarar qué es un polígono dibujado sobre ella. Sugiero, como razonable, que un “polígono” sobre una esfera es una figura limitada por segmentos de círculo máximo y sus intersecciones.
    Si el radio de la esfera es infinito y el área máxima de cada “polígono” es finita, el problema es equivalente al del plano: hexágonos.
    Si el radio es finito se presenta la necesidad de un nuevo dato en el enunciado: la relación entre el área total de la esfera y el área límite del “polígono”. Esto provoca una prolija discusión de resultados posibles según sea dicha relación. Solo serían sencillas las soluciones para los casos en que dicha relación coincida con el número de caras de los poliedros regulares y quizás con las de otros sólidos arquimedianos.

    Para otras superficies curvas el problema me supera totalmente. no veo forma de establecer reglas de legitimidad de un polígono.

    En el caso de un espacio ilimitado de tres dimensiones, si establecemos la condición de llenarlo con poliedros de volumen limitado, queda claro que la estructura de Weaire-Phelan es clara candidata sin posibles objeciones por concavidades en el proceso de rellenado.

    Podría ser interesante plantear problemas concretos de dividir polígonos finitos planos de superficie conocida con otros polígonos de área máxima dada utilizando el perímetro total mínimo.

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  15. Ácido, tienes toda la razón en el punto 1. Yo ya estaba escamado con que la relación área-perímetro no fuera a dimensional. Pero al quedar definida el área como unitaria parecía resolverse aparentemente. Al tratarse de un espacio infinito, no importa el “tamaño” de la tesela para calcular la “forma” óptima.
    JJGJJG, creo que lo que se busca es la “forma óptima” por lo que el tamaño no debería importar (en superficies infinitas), aunque tu desambiguacion me parece correcta.
    En cuanto al punto 2, evidentemente para una esfera finita tomar teselas más y más grandes optimiza el rellenado, pero como dice JJGJJG, si definimos un área máxima para la tesela debemos buscar la forma que optimiza el rellenado. Lo malo es que ahora entramos no solo en que pueda ser óptimo o no, sino también en que la relación entre la superficie total a rellenar y la superficie de la tesela podría ser un número entero o no, lo que lo complica todo.
    No me sigue quedando claro que se pueda rellenar una superficie esférica con hexágonos iguales. Para poder ir rellenando habría que ir deformando los hexágonos y entonces ya no serían iguales.

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  16. la respuesta deberia darla la FISICA 🙂

    supongamos que APRETAMOS fuertemente unos redondeles o unas determinadas figuaras de manera que la presion este uniformemente distribuida entonces el resultado deberia de ser una figura o poliedro que aprovechase al maximo el espacio con la presion sometida igual que en parte pasa con al gravedad y presion de los panales de ABEJA 🙂

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  17. Jose. Si inflamos un conjunto de globos planos dispuestos de forma hexagonal, se apretarán unos contra otros formando una configuración hexagonal.
    Pero, y si colocamos los globos con otra configuración? Por ejemplo en cuadrado? Saldrá una retícula cuadrada.

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  18. Visualizar la célula de Fejes Tóth es una muy difícil tarea. Lo mejor es construir una plantilla de cartulina del siguiente modo:
    Imaginar dos pirámides rectas de base cuadrada unidas por dicha base.
    Las caras laterales son ocho triángulos isósceles de igual base que altura. Cortar dichos triángulos a la mitad de su altura, paralelamente a la base. Quedan cuatro trapecios iguales por cada pirámide. Cortamos las puntas de la base de los trapecios a una cuarta parte de dicha base y a la mitad de su altura. Quedan ocho hexágonos no regulares con sus lados opuestos paralelos, que son las caras laterales del sólido. Finalmente construir dos cuadrados de lado mitad de la base inicial más cuatro rombos que cierren los cortes en las puntas anteriores. Las diagonales de dichos rombos están en relación raíz cuadrada de tres medios, con la mayor de ellas paralela a la altura de las pirámides. Una vez pegadas todas las piezas tendríamos un octaedro truncado no Arquimediano sugerido por Fejes Tóth.
    La célula de Fejes Tóth corresponde a la vista lateral del sólido, una vez pegadas todas las piezas, como hemos indicado. Giramos ahora, dicho sólido, noventa grados para que la vista antes mencionada sea la vista superior. El perfil del contorno, ahora observado desde arriba, es exactamente un hexágono regular de lado el del cuadrado lateral. Por tanto es análoga al panal de abeja, con sección hexagonal regular, pero en lugar de ir cerrada con tres rombos de relación raíz cuadrada de dos, lo hace con dos hexágonos irregulares y dos rombos tal como hemos comentado anteriormente. Esta célula es más eficiente en ahorro de cera que la fabricada por las abejas, pero es, evidentemente, más difícil de construir.

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  19. Para Tricotón | 13 de junio de 2013 | 19:37
    El cuerpo volumétrico más eficiente es la esfera. Pero esta figura no tesela o rellena el espacio ya que deja huecos al colocar muchas esferas tangentes. Hay infinidad de figuras poliédricas de lo más variado que sí rellenan el espacio, pero no son las más eficientes tal y como se dice meridianamente explicado en el artículo.
    Para simular una esfera con un poliedro, lo más cómodo es tomar un poliedro semiregular Arquimediano de muchas caras, por ejemplo el dodecaedro chato (snub dodecahedron) o su dual (pentagonal hexecontaedro) y ya para redondear, valga la expresión, los poliedros esféricos, en el caso del balón de futbol, pero siguiendo la impronta de los cuerpos Arquimedianos, creo que responde a tus dudas.

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  20. Me enteré de la estructura de WP por una charla TED que presencié (www.youtube.com/watch?v=jej8qlzlAGw) y recién terminé de construirla a partir del enlace que ofrecen aquí.
    ¿Para cuándo una iniciativa como la del poliedro de Császár? 🙂

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  21. Fernando (9 Marzo 2015), gracias por el enlace:
    ¡Qué bueno el Profesor que sale en el vídeo! Maravillosa su disertación sobre el teselado eficiente del plano y del espacio, amena y cargada de expresividad.
    Por cierto, las estructuras de los panales de las abejas (prismas hexagonales apuntados en rombododecaedros) cuya eficiencia se atribuía a una “inteligencia” natural de estos animalitos (conjetura), ha sido desbancada (demostración) por las fuerzas de tensión en los fluidos casi pastosos, actuando sobre la cera aún caliente, debido al calor del insecto en su afanosa labor.
    Relacionado con estos temas, tal vez puede que te interese mi comentario en este mismo espacio del 12 Marzo 2014, sobre la estructura de Fejes Tóth.

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  22. Muy buenas gaussianos,
    Solo quería pedirte si sabías una fórmula para hallar el volumen y el área de este cuerpo, que me viene genial para hacer un trabajo.
    Gracias

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  23. Para Carlos (3 junio 2015):
    A qué cuerpo te refieres: a la estructura de Fejes Tóth, que yo comenté en este mismo espacio, al prisma romboédrico de las abejas o a la estructura de Weaire y Phelan.
    No obstante y para que vayas adelantando el trabajo, te diré que un cuerpo cuando tiene una forma geométrica más o menos conocida es relativamente fácil calcular su volumen y área. Por el contrario, cuando sea desconocido hay que lograr descomponerlo en cuerpos geométricos más sencillos, sumando los elementos integrantes.
    Saludos

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