Paralelogramo obtuso

Hoy miércoles os dejo el problema de esta semana:

Sea ABCD un paralelogramo con ángulo obtuso en A. Sea P un punto sobre el segmento BD de manera que la circunferencia con centro en P y que pasa por A corte a la recta AD en A y en Y, y corte a la recta AB en A y en X. La recta AP interseca a BC en Q y a CD en R, respectivamente. Muestra que

\angle XPY=\angle XQY+\angle XRY

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Algunas ideas …

    Sea q la circunferencia con centro P que pasa por A (y por X e Y). Sea E el otro punto en que la recta AP corta a Q. Este punto E se mueve en la paralela a BD por C. Entonces el ángulo XEY es el suplementario del ángulo BAD (es entonces igual al ABC). Por tanto, el ángulo XPY, central que abarca el mismo arco que XEY, es el doble del suplementario de BAD, y por tanto independiente de P.

    Se trata entonces de mostrar la relación entre ángulos: XEY = (XQY + XRY)/2.

    Una forma de hacerlo sería ver que la recta XE es la bisectriz del ángulo QXR (y la recta YE del ángulo QYR). Pero de momento, no veo como … “:^(

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  2. De momento una pista…
    La circunferencia corta a QX en S, y a QY en T
    Ángulos XTY=XSY=1/2XPY
    Con los ángulos de los cuadriláteros, AXPY, AXTY, AXSY, AXRY y AXQY, fácilmente se demuestra, en caso de atasco continuaré…

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  3. Tomando ángulos ‘orientados’, se cumple la igualdad en condiciones más generales:
    No hace falta que los puntos X,Y estén en las rectas AB y AD. Pueden ser cualesquiera dos puntos situados en la circunferencia con centro P. Y el ángulo del paralelogramo en A no necesita ser obtuso.

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  4. Aquí se puede ver una figura

    Como los triángulos PQB y PAD son semejantes, PQ/PA = PB/PD.
    Como los triángulos PRD y PAB son semejantes, PA/PR = PB/PD.
    Por tanto PQ/PA = PA/PR.

    Si X es un punto cualquiera distinto de A de la circunferencia con centro P, PX = PA y PQ/PX = PX/PR.
    Los triángulos PXR, PQX tienen un ángulo común XPQ = XPR y los lados adyacentes proporcionales y por tanto son semejantes y los ángulos PXQ y PRX son iguales.
    Entonces por ser el ángulo XPA externo al triángulo PXQ tenemos que
    XPA= PQX + PXQ = PQX + PRX.

    Si Y es otro punto cualquiera en la circunferencia con centro P tendremos de la misma forma YPA = PQY + PRY, y sumando o restando según la posición de X,Y respecto a A tenemos XPY = XRY + XQY, como queríamos demostrar.

    Es un caso particular del siguiente teorema, que se demuestra de la misma forma:
    Si X’,Y’,Z’ son los inversos respecto a una circunferencia con centro P de los puntos X,Y,Z entonces ángulo X’PY’= XPY = XZY + X’Z’Y’.

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  5. Continuando a mi anterior comentario,
    Del cuadrilátero AXTY deducimos el ángulo XTY, mitad del XPY, por inscrito y central
    Del cuadrilátero AXSY deducimos el ángulo XSY, mitad del XPY, por inscrito y central
    Del cuadrilátero AXRY deducimos el ángulo XRY
    Del cuadrilátero AXQY deducimos el ángulo XQY
    Del cuadrilátero AXPY deducimos el ángulo XPY
    Si efectuamos la suma de las igualdades de los ángulos XTY y XSY, veremos que coincide con la suma de las de XRY y XPY, que a su vez coincide con la de XPY

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