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Parte entera y 2010

El problema de esta semana es el siguiente:

Halla el valor de la parte entera de la siguiente suma:

1+\cfrac{1}{\sqrt{2}}+\cfrac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\cfrac{1}{\sqrt{2010^{2010}}}

Corto pero seguro que interesante. Ánimo.

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Autor: ^DiAmOnD^ |  Publicado el 20 de April de 2010
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Categorías: Juegos |  Imprime este post Imprime este post

24 comentarios

  1. Trackback | 20 Apr, 2010

    Bitacoras.com

  2. J. H. S. | 20 de April de 2010 | 09:14

    Creo que hay problemas con el plug-in de TeX. Por ello sólo pondré el resultado final de mis cuentas: 2(2^{1005}-1).

  3. J. H. S. | 20 de April de 2010 | 09:20

    El paso clave de mi solución estuvo en el establecimiento de la desigualdad
    2 (\sqrt{n}-1) < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k}} < 2 \sqrt{n}-1
    cuando n es un natural mayor que 1.

  4. josejuan | 20 de April de 2010 | 09:56

    JHS, creo que tu resultado no es correcto, tal como se lee, éste es menor que 2^1006, sin embargo, si tomamos el elemento más pequeño del sumatorio
     
    1/sqrt( 2010^2010 )
     
    y lo multiplicamos por el número de sumandos (2010^2010) nos da
     
    7.5e+3016
     
    un valor muy superior a tu solución.

  5. josejuan | 20 de April de 2010 | 10:01

    Así haciendo la cuenta a ojo, creo que la solución debe ser como los primeros 3500 dígitos de Pi o algo así.
     
    Pero le estoy dando vueltas y no veo por donde cogerlo, incluso hacer acotaciones se hace complicado con semejante número…
     
    ¡Buf!

  6. J .H. S. | 20 de April de 2010 | 10:47

    “si tomamos el elemento más pequeño del sumatorio
    1/sqrt( 2010^2010 ) y lo multiplicamos por el número de sumandos (2010^2010) nos da 7.5e+3016…”
     
    Me temo que son tus cuentas las que andan un poquito mal, J. J.

  7. josejuan | 20 de April de 2010 | 11:10

    Tienes razón, es
     
    \sqrt{2010^{2010}}=\allowbreak 5.\,\allowbreak 152\,7\times 10^{3319}
     
    pero para el caso lo mismo ¿no?.

  8. M | 20 de April de 2010 | 11:56

    Hay que decir que josejuan lleva razón cuando indica que el resultado no es correcto. No obstante, se trata de una errata menor en el valor indicado.

  9. JJGJJG | 20 de April de 2010 | 12:01

    Creo,  josejuan, que lo que has querido escribir es : 2(2010^1005-1)

  10. josejuan | 20 de April de 2010 | 12:02

    Que es tanto como decir que estoy equivocado. Por supuesto no me importa, lo que no entiendo es en dónde, porque la acotación inferior parece clara, ¿no debería ser el resultado mucho mayor incluso que 5.1e+3319?

  11. JJGJJG | 20 de April de 2010 | 12:02

    Perdon, mi comentario anterior estaba dirigido a J H S

  12. josejuan | 20 de April de 2010 | 12:06

    Igual estoy en el “País de las maravillas” (y todo lo veo al revés), pero la solución de JHS es
     
    2(2^{1005}-1)
     
    que cláramente es inferior a
     
    2^{1006}
     
    (de hecho en tan sólo 2 unidades) y ésta a su vez es muchísimo menor que mi (bien pobre sea dicho de paso) acotación inferior de la solución
     
    \sqrt{2010^{2010}}=\allowbreak 5.\,\allowbreak 152\,7\times 10^{3319}
     
    por favor, que alguien me explique mi error porque de tan sencillo que me parece (la pobre acotación) no lo veo.

  13. josejuan | 20 de April de 2010 | 12:08

    Ok JJGJJG, eso cuadra más, porque entonces el valor solución es
     
    2(2010^{1005}-1)=\allowbreak 1.\,\allowbreak 030\,5\times 10^{3320}
     
    que está justo por encima de mi acotación.

  14. Antonio QD | 20 de April de 2010 | 13:03

    Buenos Días
     
    Este post, no aporta nada nuevo; sólo pretende  exponer la solución ya dada de una manera evidente.
    Considerada como serie infinita, la serie con termino general a_n=\frac{1}{\sqrt{n}} no es convergente, por lo que a lo único que se puede aspirar es a realizar la suma para un número finito de términos como es el caso.
    Teniendo en cuenta el significado de la integral definida de una función se cumple la siguiente desigualdad:
     
    \int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx + \frac{1}{\sqrt{n}} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \le \int_{2}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx + 1
     
    Resolviendo las integrales definidas
     
    2\sqrt{n}-2 + \frac{1}{\sqrt{n}} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \le 2\sqrt{n} -2\sqrt{2} + 1
     
    Esta acotación se puede modificar un poco eliminando las igualdades de la misma.
     
    2\sqrt{n} -2 < \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n} -1
     
    En el caso de nuestro problema, el sumatorio considerado está entre 2\cdot 2010^{1005} -2 y 2\cdot 2010^{1005} -1. Ambos son números naturales  y son consecutivos; y como se solicita la parte entera del sumatorio deberemos tomar la cota entera inferior, es decir, 2\cdot 2010^{1005} -2.
     
    Antonio Q, emulador de Proclo.
     

  15. josejuan | 20 de April de 2010 | 13:16

    Fantástico, aunque no veo de qué propiedad han salido las primeras inecuaciones (o si han sido hechas “a ojo”), lo más que llego a recordar es el criterio de cauchy para testear la convergencia.
     
    Es decir, ¿de dónde/porqué han salido esas acotaciones?.
     
    ¡Gracias!

  16. Antonio QD | 20 de April de 2010 | 13:18

    Buenos Días
     
    Me acabo de dar cuenta de que he cometido un pequeño error al considerar los límites de integración de la segunda integral. La expresión debía haber sido la siguiente:
     
    \int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx + \frac{1}{\sqrt{n}} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \le \int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx + 1
     
    Resolviendo las integrales definidas
     
    2\sqrt{n}-2 + \frac{1}{\sqrt{n}} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \le 2\sqrt{n} -2 + 1
     
    Esta acotación se puede modificar un poco eliminando las igualdades de la misma. Lo cual se puede hacer debido a que al aumentar el número de terminos sumados siempre aumentamos la diferencia entre el segundo y el tercer termino de la desigualdad.
     
    2\sqrt{n} -2 < \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n} -1
     
    Ahora ya podemos deducir que, el sumatorio considerado está entre 2\cdot 2010^{1005} -2 y 2\cdot 2010^{1005} -1; y como se solicita la parte entera del sumatorio deberemos tomar la cota entera inferior, es decir, 2\cdot 2010^{1005} -2.
     
    Antonio Q,  pésimo emulador de Proclo.
     

  17. josejuan | 20 de April de 2010 | 13:38

    Vale, vale, ¿para qué entonces añadir 1/sqrt(n) a la acotación inferior?.
     
    Que fácil es cuando alguien te lo pone delante de las narices…

  18. Antonio QD | 20 de April de 2010 | 13:43

    Buenos Días
    La integral de Riemann para una función real de variable real positiva en un intervalo se define como el valor común del súpremo de las posibles sumas inferiores y el ínfimo de las posibles sumas superiores de la función en un intervalo, si tal valor común existe. Si no existe tal valor común, la función no es integrable en el sentido de Riemann en ese intervalo.
     
    Una suma inferior, no es otra cosa que un conjunto de bloque verticales, que cubren, sin exceder, el máximo del área de la función en el intervalo considerado. Cuanto más pequeño es la base de cada bloque, menos diferencia habrá entre el área del conjunto del bloques y el área que hay entre la función y el eje en el intervalo considerado.
     
    De manera análoga,  una suma superior es un conjunto de bloques verticales que cubre totalmente la el área entre  función y el eje, pero de manera que el exceso sea el mínimo posible. De nuevo, cuanto más pequeño sea la base de cada bloque, menos diferencia habrá entre el área de este conjunto de bloques y el área que hay entre la función y el eje del intervalo considerado.
     
    En esencia lo único que estamos es acotando el área en un intervalo entre la función y el eje por un conjunto de bloques cuyo área es inferior  y por otro conjunto de bloques cuyo área es superior. La integral es el límite de estas cotas cuando la cota inferior y la superior se acercan entre si.
     
    Pero si considero la suma inferior y la suma superior con bloques cuya base esté limitada por dos números naturales consecutivos puedo establecer la desigualdad usada. Esto es posible en este caso debido a que la función es monótona decreciente.
     
    Un saludo
     

  19. Antonio QD | 20 de April de 2010 | 13:59

    Buenos Días
    Nuestra función es f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, y es monótona decreciente.  Si considero bloques verticales con base de anchura 1 y altura f(k) ; k=1, 2, , n-1, en el intervalo [1,n] puedo cubrir con exceso el área entre la función y el eje en este intervalo por un conjunto de n-1 bloques:
     
    \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}}dx \le \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k}}
     
    Para completar el sumatorio del alado derecho de la expresión, al que pretendo acotar, sumo a ambos lados de la expresión en termino que te causa dudas:
     
    \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}}dx +\frac{1}{\sqrt{n}} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}
     
    Espero haberte resuelto la duda.
     
    Un Saludo
     
     
     

  20. josejuan | 20 de April de 2010 | 14:23

    ¡Impecable!
    ¡Gracias!

  21. Antonio QD | 20 de April de 2010 | 14:39

    Josejuan,
     
    No sé si te habrás dado cuenta de que podía haber realizado la acotación sin necesidad de sumar el termino \frac{1}{\sqrt{n}} al lado izquierdo de la desigualdad. Con el objeto de que fuese más visible el origen de la desigualdad preferí sumar el termino, y realizar la acotación de una manera más ajustada al principio.
    Un saludo

  22. josejuan | 20 de April de 2010 | 15:00

    Sí Antonio, lo has dejado realmente claro, de hecho es bastante básico (prácticamente y como indicas, la construcción de la integral de Riemann), pero entre lo oxidado y torpe que estoy me ha venido fantástica tu explicación.
     
    ¡Gracias!
     

  23. M | 20 de April de 2010 | 16:48

    También se puede llegar a las acotaciones de J.H.S. y AntonioQD teniendo en cuenta que 2(\sqrt{i+1}-\sqrt{i})<\frac{1}{\sqrt{i}}<2(\sqrt{i}-\sqrt{i-1}) (para lo cual únicamente hace falta racionalizar los radicales).
     
     

  24. J. H. S. | 20 de April de 2010 | 23:34

    @JJGJJ: Tienes razón, hombre… ¿Cómo pudé haberme equivocado ahí? El 2 dentro del paréntesis en mi primer post debe cambiarse por 2010.
    Saludos a todos.
     

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