Comments on: Parte entera y 2010 http://gaussianos.com/parte-entera-y-2010/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: J. H. S. http://gaussianos.com/parte-entera-y-2010/#comment-14104 J. H. S. Tue, 20 Apr 2010 21:34:47 +0000 http://gaussianos.com/?p=2432#comment-14104 <strong>@JJGJJ: Tienes razón, hombre... ¿Cómo pudé haberme equivocado ahí? El 2 dentro del paréntesis en mi primer <em>post</em> debe cambiarse por 2010.</strong> <strong>Saludos a todos.</strong>   @JJGJJ: Tienes razón, hombre… ¿Cómo pudé haberme equivocado ahí? El 2 dentro del paréntesis en mi primer post debe cambiarse por 2010.
Saludos a todos.
 

]]> By: M http://gaussianos.com/parte-entera-y-2010/#comment-14103 M Tue, 20 Apr 2010 14:48:02 +0000 http://gaussianos.com/?p=2432#comment-14103 También se puede llegar a las acotaciones de J.H.S. y AntonioQD teniendo en cuenta que $latex 2(\sqrt{i+1}-\sqrt{i})<\frac{1}{\sqrt{i}}<2(\sqrt{i}-\sqrt{i-1})$ (para lo cual únicamente hace falta racionalizar los radicales).     También se puede llegar a las acotaciones de J.H.S. y AntonioQD teniendo en cuenta que 2(\sqrt{i+1}-\sqrt{i})<\frac{1}{\sqrt{i}}<2(\sqrt{i}-\sqrt{i-1}) (para lo cual únicamente hace falta racionalizar los radicales).
 
 

]]> By: josejuan http://gaussianos.com/parte-entera-y-2010/#comment-14102 josejuan Tue, 20 Apr 2010 13:00:14 +0000 http://gaussianos.com/?p=2432#comment-14102 Sí Antonio, lo has dejado realmente claro, de hecho es bastante básico (prácticamente y como indicas, la construcción de la integral de Riemann), pero entre lo oxidado y torpe que estoy me ha venido fantástica tu explicación.   ¡Gracias!   Sí Antonio, lo has dejado realmente claro, de hecho es bastante básico (prácticamente y como indicas, la construcción de la integral de Riemann), pero entre lo oxidado y torpe que estoy me ha venido fantástica tu explicación.
 
¡Gracias!
 

]]> By: Antonio QD http://gaussianos.com/parte-entera-y-2010/#comment-14101 Antonio QD Tue, 20 Apr 2010 12:39:18 +0000 http://gaussianos.com/?p=2432#comment-14101 Josejuan,   No sé si te habrás dado cuenta de que podía haber realizado la acotación sin necesidad de sumar el termino $latex \frac{1}{\sqrt{n}}$ al lado izquierdo de la desigualdad. Con el objeto de que fuese más visible el origen de la desigualdad preferí sumar el termino, y realizar la acotación de una manera más ajustada al principio. Un saludo Josejuan,
 
No sé si te habrás dado cuenta de que podía haber realizado la acotación sin necesidad de sumar el termino \frac{1}{\sqrt{n}} al lado izquierdo de la desigualdad. Con el objeto de que fuese más visible el origen de la desigualdad preferí sumar el termino, y realizar la acotación de una manera más ajustada al principio.
Un saludo

]]> By: josejuan http://gaussianos.com/parte-entera-y-2010/#comment-14100 josejuan Tue, 20 Apr 2010 12:23:12 +0000 http://gaussianos.com/?p=2432#comment-14100 ¡Impecable! ¡Gracias! ¡Impecable!
¡Gracias!

]]> By: Antonio QD http://gaussianos.com/parte-entera-y-2010/#comment-14099 Antonio QD Tue, 20 Apr 2010 11:59:47 +0000 http://gaussianos.com/?p=2432#comment-14099 Buenos Días Nuestra función es $latex f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, y es monótona decreciente.  Si considero bloques verticales con base de anchura 1 y altura $latex f(k) ; k=1, 2, , n-1$, en el intervalo [1,n] puedo cubrir con exceso el área entre la función y el eje en este intervalo por un conjunto de n-1 bloques:   $latex \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}}dx \le \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k}}$   Para completar el sumatorio del alado derecho de la expresión, al que pretendo acotar, sumo a ambos lados de la expresión en termino que te causa dudas:   $latex \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}}dx +\frac{1}{\sqrt{n}} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}$   Espero haberte resuelto la duda.   Un Saludo       Buenos Días
Nuestra función es f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, y es monótona decreciente.  Si considero bloques verticales con base de anchura 1 y altura f(k) ; k=1, 2, , n-1, en el intervalo [1,n] puedo cubrir con exceso el área entre la función y el eje en este intervalo por un conjunto de n-1 bloques:
 
\int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}}dx \le \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k}}
 
Para completar el sumatorio del alado derecho de la expresión, al que pretendo acotar, sumo a ambos lados de la expresión en termino que te causa dudas:
 
\int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}}dx +\frac{1}{\sqrt{n}} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}
 
Espero haberte resuelto la duda.
 
Un Saludo
 
 
 

]]> By: Antonio QD http://gaussianos.com/parte-entera-y-2010/#comment-14098 Antonio QD Tue, 20 Apr 2010 11:43:05 +0000 http://gaussianos.com/?p=2432#comment-14098 Buenos Días La integral de Riemann para una función real de variable real positiva en un intervalo se define como el valor común del súpremo de las posibles sumas inferiores y el ínfimo de las posibles sumas superiores de la función en un intervalo, si tal valor común existe. Si no existe tal valor común, la función no es integrable en el sentido de Riemann en ese intervalo.   Una suma inferior, no es otra cosa que un conjunto de bloque verticales, que cubren, sin exceder, el máximo del área de la función en el intervalo considerado. Cuanto más pequeño es la base de cada bloque, menos diferencia habrá entre el área del conjunto del bloques y el área que hay entre la función y el eje en el intervalo considerado.   De manera análoga,  una suma superior es un conjunto de bloques verticales que cubre totalmente la el área entre  función y el eje, pero de manera que el exceso sea el mínimo posible. De nuevo, cuanto más pequeño sea la base de cada bloque, menos diferencia habrá entre el área de este conjunto de bloques y el área que hay entre la función y el eje del intervalo considerado.   En esencia lo único que estamos es acotando el área en un intervalo entre la función y el eje por un conjunto de bloques cuyo área es inferior  y por otro conjunto de bloques cuyo área es superior. La integral es el límite de estas cotas cuando la cota inferior y la superior se acercan entre si.   Pero si considero la suma inferior y la suma superior con bloques cuya base esté limitada por dos números naturales consecutivos puedo establecer la desigualdad usada. Esto es posible en este caso debido a que la función es monótona decreciente.   Un saludo   Buenos Días
La integral de Riemann para una función real de variable real positiva en un intervalo se define como el valor común del súpremo de las posibles sumas inferiores y el ínfimo de las posibles sumas superiores de la función en un intervalo, si tal valor común existe. Si no existe tal valor común, la función no es integrable en el sentido de Riemann en ese intervalo.
 
Una suma inferior, no es otra cosa que un conjunto de bloque verticales, que cubren, sin exceder, el máximo del área de la función en el intervalo considerado. Cuanto más pequeño es la base de cada bloque, menos diferencia habrá entre el área del conjunto del bloques y el área que hay entre la función y el eje en el intervalo considerado.
 
De manera análoga,  una suma superior es un conjunto de bloques verticales que cubre totalmente la el área entre  función y el eje, pero de manera que el exceso sea el mínimo posible. De nuevo, cuanto más pequeño sea la base de cada bloque, menos diferencia habrá entre el área de este conjunto de bloques y el área que hay entre la función y el eje del intervalo considerado.
 
En esencia lo único que estamos es acotando el área en un intervalo entre la función y el eje por un conjunto de bloques cuyo área es inferior  y por otro conjunto de bloques cuyo área es superior. La integral es el límite de estas cotas cuando la cota inferior y la superior se acercan entre si.
 
Pero si considero la suma inferior y la suma superior con bloques cuya base esté limitada por dos números naturales consecutivos puedo establecer la desigualdad usada. Esto es posible en este caso debido a que la función es monótona decreciente.
 
Un saludo
 

]]> By: josejuan http://gaussianos.com/parte-entera-y-2010/#comment-14097 josejuan Tue, 20 Apr 2010 11:38:44 +0000 http://gaussianos.com/?p=2432#comment-14097 Vale, vale, ¿para qué entonces añadir 1/sqrt(n) a la acotación inferior?.   Que fácil es cuando alguien te lo pone delante de las narices... Vale, vale, ¿para qué entonces añadir 1/sqrt(n) a la acotación inferior?.
 
Que fácil es cuando alguien te lo pone delante de las narices…

]]> By: Antonio QD http://gaussianos.com/parte-entera-y-2010/#comment-14096 Antonio QD Tue, 20 Apr 2010 11:18:32 +0000 http://gaussianos.com/?p=2432#comment-14096 Buenos Días   Me acabo de dar cuenta de que he cometido un pequeño error al considerar los límites de integración de la segunda integral. La expresión debía haber sido la siguiente:   $latex \int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx + \frac{1}{\sqrt{n}} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \le \int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx + 1$   Resolviendo las integrales definidas   $latex 2\sqrt{n}-2 + \frac{1}{\sqrt{n}} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \le 2\sqrt{n} -2 + 1$   Esta acotación se puede modificar un poco eliminando las igualdades de la misma. Lo cual se puede hacer debido a que al aumentar el número de terminos sumados siempre aumentamos la diferencia entre el segundo y el tercer termino de la desigualdad.   $latex 2\sqrt{n} -2 < \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n} -1$   Ahora ya podemos deducir que, el sumatorio considerado está entre $latex 2\cdot 2010^{1005} -2$ y $latex 2\cdot 2010^{1005} -1$; y como se solicita la parte entera del sumatorio deberemos tomar la cota entera inferior, es decir, $latex 2\cdot 2010^{1005} -2$.   Antonio Q,  pésimo emulador de Proclo.   Buenos Días
 
Me acabo de dar cuenta de que he cometido un pequeño error al considerar los límites de integración de la segunda integral. La expresión debía haber sido la siguiente:
 
\int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx + \frac{1}{\sqrt{n}} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \le \int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx + 1
 
Resolviendo las integrales definidas
 
2\sqrt{n}-2 + \frac{1}{\sqrt{n}} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \le 2\sqrt{n} -2 + 1
 
Esta acotación se puede modificar un poco eliminando las igualdades de la misma. Lo cual se puede hacer debido a que al aumentar el número de terminos sumados siempre aumentamos la diferencia entre el segundo y el tercer termino de la desigualdad.
 
2\sqrt{n} -2 < \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n} -1
 
Ahora ya podemos deducir que, el sumatorio considerado está entre 2\cdot 2010^{1005} -2 y 2\cdot 2010^{1005} -1; y como se solicita la parte entera del sumatorio deberemos tomar la cota entera inferior, es decir, 2\cdot 2010^{1005} -2.
 
Antonio Q,  pésimo emulador de Proclo.
 

]]> By: josejuan http://gaussianos.com/parte-entera-y-2010/#comment-14095 josejuan Tue, 20 Apr 2010 11:16:13 +0000 http://gaussianos.com/?p=2432#comment-14095 Fantástico, aunque no veo de qué propiedad han salido las primeras inecuaciones (o si han sido hechas "a ojo"), lo más que llego a recordar es el criterio de cauchy para testear la convergencia.   Es decir, ¿de dónde/porqué han salido esas acotaciones?.   ¡Gracias! Fantástico, aunque no veo de qué propiedad han salido las primeras inecuaciones (o si han sido hechas “a ojo”), lo más que llego a recordar es el criterio de cauchy para testear la convergencia.
 
Es decir, ¿de dónde/porqué han salido esas acotaciones?.
 
¡Gracias!

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