Pi con cuatro cuatros

¿Recordáis el problema de los cuatro cuatros? Sí, ese problema en el que se pedía expresar todos los números naturales del 1 al 100 utilizando exactamente cuatro cuatros y pudiendo usar ciertas operaciones entre ellos. Pues, como sabréis los seguidores antiguos del blog, en Gaussianos conseguimos terminar la lista. Fue un gran logro, sobre todo por el brillante 73 que consiguió homero.

Más adelante vimos cómo expresar \phi, el número de oro, con cuatro cuatros (y con cinco 5’s, seis 6’s, siete 7’s, ocho 8’s y nueve 9’s), y hasta dimos una manera de expresar el 113 con cuatro cuatros. El 113 es el primer número natural que parece que no se podía representar con cuatros cuatros y las operaciones permitidas, por lo que introducimos para ello una operación más: la parte entera.

Bien, vamos al tema: ¿cómo expresar \pi con cuatro cuatros y las operaciones permitidas? Pues…no parece que haya ninguna forma. Para ello vamos a añadir una operación más: la función Gamma, \Gamma (p), definida para números reales p > 0. Como sabemos, la función Gamma es una generalización del factorial. Como el factorial es una operación permitida, no parece que sea ninguna locura incluir esta operación entre las permitidas.

Con ello la representación de \pi con cuatro cuatros pasa a ser relativamente sencilla. La vemos:

Partimos del siguiente valor de la función Gamma:

\Gamma \left ( \cfrac{1}{2} \right ) = \sqrt{\pi}

Sabiendo esto lo único que tenemos que hacer es expresar ese 1/2 con cuatros y después colocar algún exponente para que la raíz cuadrada desaparezca. Una posibilidad es la siguiente:

\sqrt{\left ( \Gamma \left ( \cfrac{4}{4+4} \right ) \right )^4}

que me envió Gerson Barbosa por mail, o esta otra

\left ( \Gamma \left ( \cfrac{4}{4+4} \right ) \right )^{\sqrt{4}}

que es fácil de obtener echando un ojo a la anterior.

Y para terminar, os dejo un enlace a una web donde podéis encontrar una barbaridad de números naturales expresados con cuatro cuatros…y donde se usan algunas otras operaciones que por aquí no permitíamos. Curioso cuanto menos.


¿Se os ocurren más formas? Ahí tenéis los comentarios.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

2 Comentarios

  1. Se puede usar la sucesión que nos da el cálculo de pi a partir de polígonos de 2^n lados:

    \pi_n = \sqrt{4^n} \sqrt{\sqrt{4}-\sqrt{\sqrt{4}+\sqrt{\sqrt{4}+\sqrt{\cdots}}}}

    que normalmente se escribe así:

    \pi_n = 2^n \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots}}}}}}

    No sé si al introducir una sucesión estoy añadiendo algo que no se consideraba en las condiciones iniciales, pero me gusta más que introducir una función. Con funciones resulta muy fácil hallar pi mediante las trigonométricas.

    Por cierto, os propongo un juego. Estoy intentando hallar todos los números que pueda con los dígitos ordenados de 2011. El primero sería 2+0-1-1=0. Estoy atascado con el 34. Las restricciones son las mismas que en el juego de los cuatro cuatros.

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  2. También hay una generalización para todos los racionales, que es { {n} \over {m} }={ {\log \log_4  \sqrt {\sqrt {\dots n \dots \sqrt {4}}}} \over {\log{\log_4{ \sqrt {\sqrt {\dots m \dots \sqrt {4}}}}}}} , aunque para aceptar esta solución deberíamos aceptar los logaritmos.

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