Pi no siempre vale 3,14159…

Si buscamos en el diccionario de la RAE la definición matemática de π (Pi), obtenemos lo siguiente (segunda acepción):

2. f. Mat. Símbolo de la razón de la circunferencia a la del diámetro (aquí).

¿Es esta definición correcta? Sí…pero no. En realidad es incompleta, falta información. bueno, más bien presupone cierta información.

Antes de explicar esto, veamos qué pone nuestra amiga la Wikipedia:

π (Pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclídea (aquí).

Ah, amigo, en geometría euclídea…¿Es necesario dar ese dato?

Pongamos otro ejemplo. ¿Cuánto es 1+1? Seguro que si nos hacen esta pregunta todos diríamos 2, porque presuponemos que nos están preguntando por la suma habitual dentro del conjunto de los números reales. Pero esa suma podría hacerse en el conjunto de los números binarios, y en ese caso el resultado sería 10, o dentro de los enteros módulo 2, en cuyo caso la suma daría 0.

Pues con \pi ocurre lo mismo. El valor que conocemos para \pi está calculado de la forma anteriormente descrita, longitud de una circunferencia dividida entre el diámetro de la misma, dentro de la geometría euclídea. ¿Cómo es esta relación en otras geometrías?

De la geometría euclídea a las no euclídeas

En este post sobre el quinto postulado ya hablamos sobre la geometría euclídea, pero no está mal recordar en qué se basa. Euclides estableció en su obra Elementos (compendio de los conocimientos geométricos de la época) estos cinco postulados:

  1. Por dos puntos distintos sólo se puede trazar una línea recta.
  2. Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.
  3. Con un centro y un radio sólo se puede trazar una circunferencia.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  5. Si dos rectas intersecan con una tercera de forma que la suma de sus ángulos interiores a un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas individualmente se cortan en el mismo lado si se alargan suficientemente.

Una forma alternativa para este quinto postulado es:

Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela a la recta dada.

También en el post sobre el quinto postulado comentamos algo sobre los intentos de demostración de ese postulado a partir de los demás, y del cambio de enfoque del asunto provocado por los continuos fracasos de dichas demostraciones.

Ese cambio de enfoque consistió, como muchos sabréis, en considerar la negación de este quinto postulado, que resulta dar dos posibilidades:

  • Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela a la recta dada (geometría elíptica).
  • Por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas a la recta dada (geometría hiperbólica).

El caso particular más característico de geometría elíptica es la geometría sobre la esfera (esférica), donde las “rectas”, que se denominan geodésicas, son las circunferencias sobre la esfera que tenga el mismo radio que la propia esfera

Veamos cuánto valdría \pi (es decir, el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro) en este caso.

Tomamos una circunferencia C de diámetro 2r situada sobre la esfera de radio R (con r < R). Sean \alpha el centro de la circunferencia visto en la geometría esférica, \beta el centro de la esfera, \gamma un punto de la circunferencia, \delta el centro de la circunferencia visto en la geometría euclídea, \rho el radio de la circunferencia visto en el espacio euclídeo y \theta el ángulo \angle \alpha \beta \gamma, como se puede ver en la figura de la derecha.

En este caso se tiene que:

r=R \theta, \; sen(\theta)=\cfrac{\rho}{R} y 2 \rho \pi=C

siendo C la longitud de la circunferencia. Por tanto:

\rho=R \; sen(\theta) \rightarrow C=2 \pi R \; sen (\theta )=2 \pi \cfrac{r}{\theta} \; sen(\theta)

Si ahora denotamos como \Pi al cociente entre la longitud de la circunferencia sobre su diámetro (que es 2r) obtendremos la siguiente expresión dependiente de \theta:

\Pi (\theta)=\cfrac{C(\theta)}{2r}=\pi \; \cfrac{sen (\theta)}{\theta}

Es decir:

El valor de \Pi en una esfera depende del ángulo \theta formado por el centro de la circunferencia (visto en la esfera), el centro de la esfera y un punto de la circunferencia.

Vamos a ver un caso concreto: el ecuador de la esfera. Para esta circunferencia de la esfera se tiene que \theta=\textstyle{\frac{\pi}{2}}, por lo que

\Pi (\pi/2)=\pi \; \cfrac{sen (\pi/2)}{\pi/2}=2

Es decir, para el ecuador se tiene que \Pi=2. ¿Cuadra esto con la realidad? Veamos:

El diámetro del ecuador visto en la esfera sería la curva que sale de un punto del ecuador y llega, por la superficie de la esfera, al punto diametralmente opuesto (según la geometría euclídea) pasando por el polo norte (o el polo sur).

Como el ecuador divide a la esfera en dos partes iguales, esta curva es una semicircunferencia, que resulta ser exactamente igual a medio ecuador. Esto significa que la longitud de la circunferencia del ecuador es el doble que la de su diámetro. Por tanto el cociente, que es \Pi, vale 2.

Vamos, que cuadra a la perfección.

En la imagen siguiente podéis ver la gráfica de la misma, que por tanto representa todos los valores de \Pi sobre la esfera:

Como curiosidad, podemos obtener el valor máximo y el mínimo de esta función mediante las herramientas habituales de cálculo en una variable. Derivamos dicha función:

\pi^\prime (\theta)=\pi \, \cfrac{cos(\theta) \cdot \theta - sen(\theta)}{\theta ^2}

Igualando a cero nos queda la ecuación tg(\theta)=\theta, y resolviéndola obtenemos un máximo en \theta=0, que nos da \Pi=\pi y un mínimo en \theta=4,493409, que nos da el valor \Pi=-0,6824595 (¡¡un valor negativo de \Pi!!). De esta manera, podemos concluir que \Pi, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría esférica, cumple lo siguiente:

-0,6824595 < \Pi < \pi

De manera similar podemos encontrar una función que me dé los valores de \Pi en geometría hiperbólica (en un paraboloide hiperbólico). En este caso llegaríamos a la siguiente expresión:

\Pi (\theta)=\pi \; \cfrac{senh(\theta)}{\theta}

Echando un vistazo a la gráfica de esta función, que como hemos comentado representa los valores posibles de \Pi en un paraboloide hiperbólico (imagen de la derecha), vemos que estos valores varían desde \pi hasta \infty, por lo que en este caso \Pi, la razón entre la longitud de una circunferencia en un paraboloide hiperbólico y su diámetro, vale al menos \pi, pero no tiene valor máximo (esto es, ¡¡\Pi puede tomar cualquier valor real positivo!!).

¿Qué podemos sacar con conclusión de todo esto? Pues que es muy importante especificar en qué geometría estamos realzando nuestras afirmaciones, no vaya a ser que Pi sea negativo o que tienda a infinito…


Como ejercicio para la gente interesada, se puede estudiar qué ocurriría en las métricas del taxi y en la del máximo. Los resultados también son sorprendentes.


Este artículo está escrito a partir de una colaboración de @juanripu. Muchas gracias Juanmi.


Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

42 Comentarios

  1. Juanmi, para mí es un grandísimo honor poder dejarte el primer comentario. Enhorabuena por tu trabajo, campeón.
    Y saludos también a Miguel Ángel, ¡que esperamos recibirte con los brazos abiertos en Murcia!

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  2. Es que las matemáticas son realmente maravillosas. ¡Quién quiere videojuegos! (Bueno, todo se puede compaginar!

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  3. Bárbaro, me ha encantado, en serio. Además, no conocía que existía una geometría llamada “del taxi” y tengo delito, porque soy matemático y he trabajado de taxista unos dos años…. Ya la he buscado en la wikipedia y ya he visto que es la dada por la norma l1 y todo aclarado.

    De verdad, muy buen post.

    Está bien, se me ha ocurrido que si eres un profesor un poco “cabroncete” y explicas las diferentes geometrías (euclídea, elíptica e hiperbólica), en la UGR ésto podría ser en diversas asignaturas, en el examen podrías definir, tal y como habéis hecho en la entrada, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diametro, a esto llamarlo Pi(x) y a partir de ahí que pongan un ejemplo de en qué geometrías Pi(x) podría ser igual a 7, 3,14159…, -0.1 y justificarlo….

    Por cierto, es bonito que el valor de enlace entre las tres geometrías sea exactamente el Pi euclídeo.

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  4. Buen post,pero pi siempre vale lo que vale.Otra cosa, bien distinta, por cierto, es que la razón entre
    la longitud de una circunferencia y su diámetro pueda variar según la geometría en la que trabajemos. Creo que el título de este post es erroneo.

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  5. rusbel, no es erróneo, simplemente pretendía que fuera llamativo, que a la gente le chocara y se parara a leer el post :).

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  6. Lo encontre fascinante! 😀 y como dice allá arriba un comentario, es realmente bello como la referencia y el punto de encuentro de todas las geometrías siga siendo el pi de Euclides, enhorabuena. Gaussianos es y seguirá siendo de mis sitios favoritos en la red.
    Un saludo desde México.

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  7. Bonem!

    podría empezar diciendo que no suelo comentar estos artículos, aunque la realidad es que nunca lo he hecho. En primer lugar, disculpad si mi intervención es desafortunada pero me nace intervenir; no en relación con el título (que me resulta acertado por las razones que el mismo administrador expone) sino parte del contenido, la exposición, la precisión, etc. Me explico:

    * El comienzo me parece bastante flojo: lo que diga el DRAE (con todos mis respetos) va a misa.

    * Si por geometría euclídea se entiende aquella que satisface los famosos postulados de Euclides, falta la noción de longitud (que si no estoy mal informado también introduce en algún punto de sus “Elementos”; cosa que no se menciona**). Por ejemplo el plano tal y como lo entendemos (con el resto de conceptos: punto, recta, etc.) satisface los axiomas y en él no necesariamente ha de “coexistir” el concepto de longitud “usual” (tampoco me voy a poner más papista que el Papa). Sin embargo, esta noción parece imprescindible (¿lo es?) para que se pueda introducir el número $\pi$.

    * Más de lo mismo con el concepto de “geodésica”, pero con retintín. Para empezar quisiera Felicitar a Miguel Ángel (un saludo!) tanto por el blog como por el Boletín y a juanripu (intuyo que Juanmi para los amigos) por cumplir sus sueños. Dicho esto, que parece que no tiene nada que ver, me explico: divulgar no es vulgarizar. Como soy algo torpe, vuelvo a explicarme: cuando uno expone información a una cantidad sensible de gente (y siempre en mi opinión), y más en matemáticas, es preferible la concreción al empleo de tecnicidades que no hacen sino oscurecer la presentación (o intentar impresionar al fácilmente impresionable). El concepto de “recta en una esfera” se ve ensombrencido por el de “geodésica” que tiene que ver, pero no de este modo. Es más, me estoy viendo a mi mismo hace no tantos años intentando aprender matemáticas via internet y encontrando información que para el profano puede conllevar una despreciación (¿he dicho ya que me da igual lo que piense el DRAE?) de un concepto como el de “geodésica”.

    * Volviendo a los orígenes: la razón. Tendría que documentarme para hablar con propiedad pero intentaré esbozar un par de cosillas que tengo en mente. Desde el punto de vista que parece se plantea el artículo (me refiero a la parte histórica) cabría introducir el concepto de razón (geométrica) que se utilizaban en la época y que, c.p.p., tenga relación con el quinto postulado (teorema de Thales). Por otra parte, está claro que desde una perspectiva moderna esto carece de sentido. Pero resulta curioso ya que en ello (presque partout) estriba el que la razón sea, por decirlo de alguna manera, “única” en el caso de una geometria euclídea (con la longitud usual). Esto tampoco acaba de satisfacer mis espectativas para con el artículo (el concepto de razón, LA razón, parece chirriar si acaba siendo una función variable…). Relativo a esto último decir que “relación” resulta un término demasiado vago como para ser empleado en la definición (¿qué relación? ¿Cuadrática? ¿Polinomial?).

    Lo dejaré ahí ya que en cierto momento he perdido el hilo de la presentación y me he puesto a escribir la presente intervención. No en balde decir que he localizado la errata “realzando” (al final, en negrita) y que a mi juicio debería decir “realizando”. Ruego disculpen la nocturnidad y la terrible puntuación que me he visto obligado a emplear.

    Sea leve, Ángel.

    **Estoy de acuerdo que la audiencia menos especializada podría sufrir si se habla de métricas (cosa que por otra parte se dice de soslayo al final…). Tan sólo quiero sostener la tesis de que no se ha señalado ese concepto. Cosa que también se pagará de una forma muy leve en el caso de la esfera pero no del espacio hiperbólico (cuya métrica no es tan fácil de describir y que tiene la “dificultad añadida” de poseer diversos modelos, cf. Barry Mazur – Plus symétrique que la sphère y que podéis encontrar en http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/moresymmetry.pdf). Si bien las geodésicas vuelven a tener descripciones elementales (¡al menos para dos modelos!).

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  8. rusbel, según dice al principio de la entrada, está basado en la definición de la RAE. Si tomamos su definición que nos dice que pi es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, entonces es correcto.

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  9. Por mi parte, primero que nada, disculpar por las faltas de ortografía, soy de procedencia Valenciana y lo escrito proviene de un texto en valenciano, es probable que haya arrastrado alguna falta.
    Por otro lado, es título lo creo bastante acertado; y para aquel devoto al π original, siempre puede considerar que se está hablando de Π.
    Por último, agradecer a Ángel la concreción de detalles anterior; como bien dices, se pretende crear un texto divulgativo, en ningún momento vulgarizando, pero tampoco era la intención escribir una monografía. En dos páginas creo que se condensa perfectamente la información necesaria para entender el concepto del numero pi en otras geometrías y además se aportan ejemplos. Los lectores interesados pueden, más tarde, consultar los detalles que a ellos les interese profundizar. Aun así gracias.
    Y por otro lado, dar las gracias a Gaussianos, quién me propuso colaborar y al cual estoy muy agradecido; una experiencia que espero volver a repetir!

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  10. La definición de probabilidad es bastante peor, ya hace años escribí para que la revisaran y no creo que ni leyesen el correo…

    “3. f. Mat. En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.”

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  11. Acepto que los académicos no hayan oído hablar de geometrías alternativas. Creo que sí tienen buenos conocimientos de gramática. Sin embargo tendrían que explicar algo.

    La definición dice:
    Símbolo de la razón de la circunferencia a “LA” del radio. Ese pronombre LA chirría un poco.

    ¿La qué? ¿La razón? ¿La circunferencia? ¿Supermán? Esto no es un concepto matemático sino lingüístico y sí deberían corregirlo. Si quieren referirse a “la longitud”de la circunferencia, que lo digan.

    Por otro lado, o nosotros tenemos que hablar de geometría EUCLIDIANA o NO EUCLIDIANA, o el DRAE incorpora la palabra EUCLíDEA para que seamos más precisos en nuestras expresiones.

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  12. Buenas!

    Enhorabuena por el blog y por el post! Voy a intentar dar un par de puntualizaciones que creo convenientes, tanto sobre la entrada como sobre algunos comentarios previos.

    En primer lugar creo que el título es lo que es, un título llamativo (aunque incorrecto) pero cuya finalidad es introducir al lector de una manera metafórica en lo que se va a tratar (no es pi lo que varía, pero un análogo suyo). Sin embargo sería conveniente matizar que pi es algo mucho más profundo, que aparece en casi todas las ramas de las matemáticas y no siempre en relación directa con la geometría (vease análisis complejo, por ejemplo) y, en consecuencia, podemos estar tranquilos de que hemos dado con el valor correcto.

    No me parece estrepitoso que se mencione la definición que da el DRAE, puesto que se va a comentar la idoneidad de la misma, y en ningún momento a tomar como verdad absoluta. Sin embargo, tengo que dar la razón a Ángel en que el concepto de métrica (o, sin meternos en palabras técnicas, de distancia) se hace completamente necesario para lo que se va a desarrollar.

    Cuando se menciona como ejemplo la suma 1+1 (¿era esto necesario?), puntualizar que en notación binaria se representa el 2 por 10, pero no es un resultado diferente en absoluto, simplemente es llamar al 2 de otra manera, la suma sigue teniendo el mismo resultado.

    A la hora de hablar de geodésicas (cosa que, creo, no era necesaria en absoluto, puesto que no se utilizan para nada), se menciona que una recta sobre una esfera equivale a una circunferencia de longitud máxima. Sin embargo, no se menciona el por qué una circunferencia sobre la esfera equivale a otra circunferencia (ni siquiera se menciona la susodicha equivalencia), y es uno de los puntos más importantes a la hora de entender la analogía.

    Por último, lo que sí me parece una barbaridad y que creo que nadie ha comentado hasta el momento, es decir que Pi (como razón de la longitud de la circunferencia y el radio, medidas en la esfera) puede ser negativo. Creo que todos estamos de acuerdo en que la razón entre dos magnitudes positivas siempre es positiva. El error reside en una visión muy arcaica del concepto de función, que no tiene en cuenta, por ejemplo, que el hecho de que la función esté dada por una fórmula en un intervalo no signifique que tenga que estar dada de la misma manera en todo su dominio. En efecto, todo el desarrollo geométrico que se ha hecho es válido sólo para 0 < theta < pi/2. A partir de pi/2, el centro de la circunferencia se traslada al polo sur, y la gráfica habría que continuarla de manera simétrica hasta pi. Fuera de estos valores la razón o bien no está definida, o bien debemos extenderla también de manera simétrica. La gráfica de Pi(theta) queda grosso modo la siguiente:
    http://img252.imageshack.us/img252/4900/tempk.png
    Y 2 < Pi(theta) < pi para cualquier ángulo (lo cual es mucho más coherente con lo que andamos buscando).

    Una discusión análoga debería de hacerse en el caso de la geometría hiperbólica.

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  13. A esto si que debo de hacer una aclaración importante. Y es que Carlos en el comentario anterior tiene toda la razón que el valor de theta esta definido entre 0 y π. Pero la razón por la cual se incluye la gráfica con valores distintos de estos es debido a que en otro tipo de Geometría elíptica (no necesariamente esférica ) se pueden llegar a obtener valores negativos del seno. Observa que la fórmula de obtener pi creo que se mantendría en otro tipo de Geometría elíptica.
    Si me permites haré los cálculos con un mayor detalle para que puedas estar seguro de lo que te acabo de mencionar.
    Gracias por el comentario, Juanmi.

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  14. ‘Cuando dices “Esto tampoco acaba…” en el quinto párrafo, iría con tilde por tratarse del sujeto.’

    “Esto” jamás lleva tilde. No es necesario un acento diacrítico para diferenciarlo de algo, porque sólo tiene un uso. No existe el determinante “Esto”, sólo se puede usar como Pronombre.

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  15. La RAE define a Pi como el “símbolo” y no el número o el valor. Una muy mala definición.

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  16. Y si el valor de Pi le obtenemos con series, ¿podemos tomar su valor como fijo?

    \pi_n = 2^n \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots}}}}}}

    \cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1/2+\cfrac{1}{1/3+\cfrac{1}{1/4+\cfrac{1}{1/5+\ddots}}}}}

    \cfrac{\pi}{2}=\cfrac{2}{1} \cdot \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{4}{3} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{6}{5} \cdot \cfrac{6}{7} \cdot \dots

    \pi=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{9}-\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{12}-\cfrac{1}{13}+ \ldots

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  17. ¿Qué opináis sobre cambiar la constante de la circunferencia por Tau (=2 pi)? He leído el manifiesto hace poco y me parece bastante razonable (simplificación de fórmulas, más intuitivo al corresponderse con las particiones de la circunferencia, ¿alguna pega?

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  18. Yo lo acabo de leer también, y me parece también bastante razonable, pero a corto plazo me parece un poco desastroso, a pesar de lo que dice el manifiesto.

    Doy clase en una academia, me esfuerzo enormemente porque los estudiantes entiendan todo a la perfección, y si ya les ha costado acostumbrarse a Pi, ahora cambiarles a Tau me parece que los confundiría mucho.

    Como digo, el problema es a corto plazo, a medio y largo plazo, cuando se acostumbraran, pues no habría problema, pero de momento, no me atrevo a llegar el lunes y decir: “Chicos, mirad, que vamos a trabajar en función de Tau que es 2Pi, ya veréis que bien”. Me crucificarían a la voz de ya, además de que cuando llegaran a clase sus profesores y profesoras seguirían trabajando en función de Pi y mi esfuerzo no serviría nada más que para confundirlos y que me crucifiquen ellos, sus profesores y sus padres.

    Si, por el contrario, existiera un cambio global en dirección de Tau, yo lo compartiría encantado.

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  19. Acabo de leer el comentario de Uau un poco más arriba también hablando de tau :D, veo que el asunto se va extendiendo!

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  20. En las fórmulas matemáticas, ¿has trabajado con radianes todo el tiempo, verdad?

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  21. Lo de las geodésicas me ha hecho la picha un lío. Hasta que no he vuelto ha releerlo, no lo he entendido. No sé por qué, intuía que cualquier circunferencia en la superficie de la esfera se consideraba una recta, con lo cual esto no me cuadraba:

    “Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela a la recta dada (geometría elíptica).”

    No habría venido mal recordar qué es una recta, y entonces explicar las geodésicas bien explicado.

    Y lo de pi negativo en esta geometría es un timo 😛

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  22. Aquí un lógico para dar caña:

    – Ah, amigo, en geometría euclídea…¿Es necesario dar ese dato?
    No. Grave confusión:
    Pi es para geometría euclidea. Cualquier otra geometría requiere otras formulas matemáticas.
    Las formulas cambiarán, pero Pi seguirá siendo 3.141592…

    – ¿Cuánto es 1+1? porque presuponemos que nos están preguntando por la suma habitual dentro del conjunto de los números reales. Pero esa suma podría hacerse en el conjunto de los números binarios y en ese caso el resultado sería 10,

    Ouch! que burrada!
    1+1=2d =(dos en decimal, que es base diez)
    1+1=10b =(dos en binario, que es base dos). Se lee “uno-cero” o bien “dos”, o bien “dos en bianario” y nunca “diez”.

    – o dentro de los enteros módulo 2, en cuyo caso la suma daría 0.
    ah, amigo, si cambiamos de aritmética hay que especificarlo previamente. Hay innumerables aritméticas posibles.
    Siempre hablamos por defecto (salvo que especifiquemos otra cosa) de la que se aproxima* al mundo físico actual, es decir, aquella en la que al juntar una y otra manzana, tenemos dos manzanas.

    * En realidad esto no es cierto en el mundo físico, al juntar una y otra manzana, su gravedad actúa dilatando el espacio-tiempo y no tenemos dos manzanas. Pero suponiendo física newtoniana sí tendríamos 2 manzanas.

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  23. Sherumann, respecto a cambiar pi por tau, mi opinión es que rompería la belleza de la identidad de Euler:

    Tal como definimos ahora pi, la identidad de Euler juega con e, i, pi, 1 y 0, cinco constantes primordiales de las matemáticas.

    Si eligiéramos tau, en la identidad quedarían e, i, tau, 2, 1 y 0, seis constantes también primordiales pero ese “tau partido por dos” rompería a mi gusto la belleza de la identidad.

    Por supuesto, es cuestión de gustos. Yo prefiero usar pi en vez de tau.

    Un saludo.

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  24. Por cierto, acabo de recordar el famoso pasaje de la Biblia donde dice que pi es igual a 3.

    ¿Nos estará diciendo Dios que vivimos en un universo no parabólico?

    (Es broma, es broma)

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  25. Hoy Bombal ha confundido a un alumno en Zaragoza, por si me lee ese alumno

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  26. creo que pi es de valor infinito puede valer 0,2 ,1 ,3 ,3.14 ..etc etc n valores para diferentes n sistemas de base. los numeros son ideas y cuesta asimilar ideas de bases mayores a 100 o de 10 siquiera.tal vez no valla al conjunto cerrado de estas teorias axiomas que pueden ser proposiciones segun el nivel de pensamiento a que se logre,pero lo importante es saber que nuestras matematicas son solo una semilla en desarrollo que jamas madurara pues es solo un arte mas .cuadran muy bien estas ideas en tercera dimension del mundo macrocosmico integral y del mundo atomico pues es evidente que un objeto lo relacione perseptivamente con otro objeto por ej suma o otra funcion pero en el mundo atomico nuestros sentidos nos engañan ya no existe la comprovacion evidente de axiomas por ej no hay tiempo ni espacio como para decir esto mas esto es esto se puede decir y pensar pero no entenderlo con los sentidos al menos que subamos de nivel ,un sistema necesario pero hermetico .las matematicas son bellas pero sin la(idea) paradoja de russell y varias otras ideas mas me es solo una filosofia con un sistema escrito diferente. muy eficas en la vida logica.muy buen articulo y muy buenos comentarios.

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  27. Me parece que el articulo esta bien, me molesta un poco que en los comentarios sean tan perfeccionistas, cuando ellos no pueden llevar adelante un blog.
    A mi como informatico, me expande la visibilidad sobre problemas que habitualmente no me planteo.
    Quejarse de los errores de ortografia es una queja, pero no tiene que ver con matematicas y como ya se expuso, cuando se usan varios idiomas se mezclan.
    Gracias a los que expusieron temas en los comentarios, despiertan mi curiosidad y me incentivan a seguir aprendiendo sobre matematicas.

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  28. Como segundo comentario, tenes un bug de php
    Warning: Missing argument 2 for wpdb::prepare(), called in /home/dmamfnns/public_html/wp-content/plugins/wp-ajax-edit-comments/lib/class.core.php on line 470 and defined in /home/dmamfnns/public_html/wp-includes/wp-db.php on line 990

    Saludos!

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  29. Federico, gracias por el aviso. El error ya no aparece, pero es cierto que sale de vez en cuando. El problema es que no sé por qué sale…

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  30. ah buenisimo, por eso es necesario establecer parametros o señalar en que medio nos movemos porque las cosas no significan en todos los lados lo mismo

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  31. Realmente sorprendido por este resultado. Otra razón para justificar que los valores dados a ciertas constantes dependen del contexto donde fueron definidas. Y esto me lleva a mi eterna pregunta ¿realmente la matemática es la misma aquí que en el confin del universo?

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  32. No tiene sentido hablar de valores negativos de \pi sobre la esfera
    El ángulo \theta está definido en coordenadas esféricas entre 0 y \pi

    En cualquier caso se podría corregir poniendo C=2 \pi r |sin(\theta)| que sería lo correcto y asunto resuelto, aunque no se qué sentido tendría hablar de valores de \theta > \pi

    \pi(\theta) = \frac{\pi |sin(\theta)|}{\theta} \ge 0

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  33. Buenas.

    Sé que esta entrada tiene más años que la peste negra, pero acaba de salir en la Antología Gaussiana de Twitter y me ha dado por echarle un vistazo. Justamente este año estoy estudiando Variable compleja en la universidad y mi profesor utiliza lo que él llama “método aritmético-analítico”; es decir, la construcción hecha por Weierstrass en su día.

    Como Weierstrass parte de los axiomas de cuerpo y del análisis en varias variables de R^2, sin usar nada de geometría, hemos tenido que definir el seno y el coseno usando sus respectivas series de Taylor…y eso nos lleva al número pi.

    Tras aplicar el teorema de Bolzano para probar que existe un número 0 < m < 2 tal que la función coseno tiene SU PRIMERA RAÍZ POSITIVA (por la periodicidad) en x=m, coge y dice "pues se define pi como el doble de de m". En su día pensé "anda, mira, una definición que no se tambalea aunque cambies la geometría"…pero ahora, leyendo esto, me doy cuenta de que la función coseno esférico es diferente del coseno que usan en análisis…

    Bueno, me vuelvo con las integrales de línea. Salud.

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  34. Creo que es un buen ejercicio, Sin embrago adolece de “the phalacy of the Texas Sharp shooter” las premisas con las que construye su argumento no se encuentran dentro de las variables del concepto. Pi fue concebido en geometría euclideana en dos dimensiones y su valor que es una proporción se explica en el marco de referencia que fue concebido. El valor de la proporción explicada en el artículo debe tener otro nombre que no sea “pi” y concebida para ser útil en tres dimensiones. Dado que el concepto aplica desde un nuevo enfoque con nuevas variables. No considero correcto decir que el valor de pi varia y mucho menos desde ese enfoque.

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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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