Pi y el conjunto de Mandelbrot

Segunda entrada de hoy relacionada con el día de Pi (como no podía ser menos). Después de conocer a algunos matemáticos que nacieron un día de Pi, 14 de marzo, vamos a ver ahora una relación existente entre \pi y el conjunto de Mandelbrot

(Hipotético) Lector (que no tiene por qué conocer el 100% de los aspectos relacionados con Pi): Un momento, un momento…Veamos. Pase que \pi aparezca en las situaciones más insospechadas, como en la probabilidad de que dos números elegidos al azar sean coprimos, o en un experimento con una aguja, o hasta en ciertas series infinitas, pero ¿qué pinta junto al conjunto de Mandelbrot? Venga ya, ¿también va a aparecer \pi en este fractal?

Pi y el conjunto de Mandelbrot

Aunque seguro que lo conocéis todos, el conjunto de Mandelbrot, \mathcal{M}, es la parte del plano complejo que aparece en negro en la siguiente imagen

Conjunto de Mandelbrot

(Imagen tomada de la Wikipedia en español.)

En concreto, podemos decir que \mathcal{M} se define como los números complejos c para los que el método iterativo z_0=0, \; z_{n+1}=z_n^2+c genera una sucesión convergente. Entre otras cosas se sabe que si un número complejo tiene módulo mayor o igual que 2, entonces el método diverge. De hecho, si en algún momento aparece un número complejo de módulo mayor o igual que 2 en la sucesión se sabe que el método será divergente.

Si giramos el conjunto 90º hacia la derecha y nos imaginamos que representa a una persona, creo que todos estamos de acuerdo en qué es lo que sería el cuello y qué es lo que representaría…ejem…la parte trasera (sí, exactamente lo que estáis pensando), ¿verdad?

Bien, para ir dando datos os comento que el cuello, que llamaré A, está en el punto (-3/4,0) del plano complejo, y el trasero, que llamaré B, en el (1/4,0).

En 1991, Dave Boll, un estudiante de la Universidad de Colorado State, se encontraba jugando con este fractal (como hemos hecho muchos en alguna ocasión). Una de las características de este conjunto \mathcal{M} que Dave quería mostrar es que el cuello está formado por un único punto, el punto A. Con este propósito comenzó a estudiar cuántas iteraciones hacían falta para que puntos cercanos a A dieran un número complejo con módulo mayor o igual que 2 en la sucesión generada por el método iterativo, esto es, cuántas iteraciones hacían falta para saber que esos puntos no pertenecen a \mathcal{M}.

Bien, tomó puntos de la forma (-3/4, \epsilon), para \epsilon=1, 0.1, 0.001, \ldots, obteniendo la siguiente tabla:

Uhmmm…parece que el número de iteraciones me suena…sí, son los dígitos de \pi. De hecho, si multiplicamos \epsilon por el número de iteraciones lo que obtenemos son aproximaciones cada vez mejores del número \pi. Pero bueno, supongo que será una casualidad como otra cualquiera…

Pero nuestro amigo Dave no se quedó ahí. Estudió también que ocurría con puntos cercanos a B, pero ahora de la forma (1/4+\epsilon,0), obteniendo la siguiente tabla:

Parece que algunos de los valores del número de iteraciones también se aproxima a \pi. Pero es mucho mejor de lo que parece: si multiplicamos la raíz cuadrada de \epsilon por el número de iteraciones tenemos que todos los resultados son aproximaciones cada vez mejores de \pi. Estooo…¿también ahora es una casualidad?

Al darse cuenta de estos curiosos resultados, Dave publicó un post en el grupo sci.math de Google Groups comentando el tema (además de publicarlo en su propia web) y Gerald Edgar, profesor de la Universidad de Ohio State, se interesó por el caso, abriendo una serie de debates en los años posteriores que podéis consultar en esta web (bajad un poco hasta Chronology of posts).

El problema es que no parece que haya una demostración completa de que en el caso del punto A ese producto se aproxime cada vez más a \pi, pero sí la hay para el punto B. Este trabajo de Aaron Klebanoff del año 2001 da una demostración de que para el punto B=(1/4+\epsilon,0), con N(\epsilon) el número de iteraciones para un cierto \epsilon, se cumple que:

\displaystyle{\lim_{\epsilon \to 0^+} \sqrt{\epsilon} \cdot N(\epsilon)= \pi}

Esto es, demuestra que el producto de la raíz cuadrada de \epsilon por el número de iteraciones necesarias para que la sucesión diverja con ese \epsilon se aproxima cada vez más al número \pi conforme \epsilon se hace más pequeño. Impresionante.

Pero aún hay más. En ese paper también se muestra que la ruta parabólica (-5/4-\epsilon^2,\epsilon) también cumple algo parecido respecto del punto C=(-5/4,0), que es éste:

Al parecer este hecho fue puesto en relieve por Jay Hill en 1997. Concretamente lo que ocurre es que 2 \cdot \epsilon \cdot N(\epsilon) se aproxima cada vez más a \pi:

Y para terminar el trabajo, Aaron Klebanoff conjetura que existen infinitos puntos para los cuales hay una función que relaciona \epsilon y el número de iteraciones, del tipo a \epsilon^b N(\epsilon), que acaba tendiendo a \pi. Interesante y curiosísimo problema abierto…que si no me equivoco sigue en el aire.


Este artículo es mi segunda contribución a la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, que, como ya sabéis organiza este blog.

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Verdadermanete interesante este post, me encanta ver cómo cada vez que leo algo distinto relacionado con las Matemáticas más sorprendida me quedo de su complejidad pero a la vez sencillez con cosas que puedan parecer tan poco obvias y den lugar a resultados verdaderamente impresionantes.

    Por último, decir que este blog, Gaussianos, ha hecho que mi interés por las Matemáticas se motive de gran manera gracias a entradas como ésta, que me sorprenden cada vez más. Espero seguir disfrutando de él mucho más tiempo.

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  2. @^DiAmOnD^ Enhorabuena por el post, me ha parecido interesantísimo.
    Lo digo siempre, este blog está absolutamente infravalorado, es increíble.
    Muchas gracias por enseñarnos tantas cosas!

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  3. kiwi, me alegro mucho de haber contribuido con este blog a que aumente tu interés por las matemáticas. Te aseguro que era, y sigue siendo, uno de los objetivos de Gaussianos.

    Mota, muchas gracias por tu comentario. ¿Infravalorado? ¿Lo dices por algo en concreto? No sé, yo me siento muy afortunado de tener tantos lectores y comentaristas como vosotros :).

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  4. Excelente entrada, ^DiAmOnD^. No conocía esta relación. Desde luego las matemáticas nunca dejan de sorprendernos. Afortunadamente, parece que siempre hay cuestiones pendientes de resolver a pesar de poderse formular en términos elementales (como la conjetura de Casas-Alvero). Gracias.

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  5. @gaussianos No, por nada en concreto. Supongo que a pesar de ser un blog, los que pasamos por aquí habitualmente tenemos gaussianos.com como “página de cabecera” y nos extraña que el resto del mundo no haga lo mismo…
    Enhorabuena y gracias por el trabajo.

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  6. M, el caso es que yo tampoco la conocía hasta hace unos días. La vi tan sorprendente que pensé que os lo tenía que contar. Te aseguro que es una de las entradas más curiosas e interesantes que he escrito en los últimos tiempos :).

    Mota, ah, vale, no sabía si lo decías por algo en especial. Me alegro mucho que de Gaussianos sea página de cabecera para ti. Seguiré trabajando para que continúe siéndolo :).

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  7. Yango, pues no tiene mala pinta el documento que enlazas. Le echaré un vistazo más detenidamente.

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  8. Bueno verás que no es muy rigoroso y que quizá contenga más de un error pero quizá como introducción para una persona con conocimientos básicos sirva.

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