Pi y la serie armónica

Ayer hablábamos sobre algunas fracciones continuas interesantes entre las cuales se encontraban varias relacionadas con \pi. Bien, pues hay otra más que también tiene una pinta tremendamente curiosa y que además ha aparecido hace relativamente poco. Es la siguiente:

\cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1/2+\cfrac{1}{1/3+\cfrac{1}{1/4+\cfrac{1}{1/5+\ddots}}}}}

esto es, todos los numeradores son 1 y en los denominadores aparecen sumando los términos de la serie armónica en orden creciente.

La demostración de este hecho se debe a Thomas J Pickett y Ann Coleman, se publicó en diciembre de 2008 en American Mathematical Monthly y utiliza, entre otras cosas, la siguiente fracción continua que Euler encontró

\cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1\cdot 2}{1+\cfrac{2\cdot 3}{1+\cfrac{3 \cdot 4}{1+\cfrac{4 \cdot 5}{1+\ddots}}}}}

y el siguiente producto infinito debido a Wallis:

\cfrac{\pi}{2}=\cfrac{2}{1} \cdot \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{4}{3} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{6}{5} \cdot \cfrac{6}{7} \cdot \dots

Otra fracción continua más para \pi que una tendencia bastante regular

…Un momento, ahora que digo regular…uhmmm…Si dijimos en el post de ayer que cuando todos los numeradores eran igual a 1 se llamaba regular a la fracción continua, entonces ésta también sería una fracción continua regular de \pi. Pero en el anterior post comentamos que la fracción continua regular era única. ¿Qué es lo que falla? Es fácil, pero bueno, al menos os tengo un mínimo rato entretenidos buscando el detalle.

Por cierto, gracias Juan Pablo por lo que tú ya sabes.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

4 Comentarios

  1. Vemos que los numeradores de la fracción contínua que Euler encontró para Pi/2 equivalen a los términos de la sucesión formada por la unidad junto con los oblongos positivos. También son los denominadores en la expansión de (1-x) ln(1-x) para n>=1.

    Publica una respuesta
  2. Obviamente que esta es la de pi/2 y la de ayer la de pi. La de pi de esta forma empieza por 2 y no es regular.

    Publica una respuesta
  3. El error es que en este caso no son enteros positivos los denominadores, con lo cual no es una fracción continua regular.

    Publica una respuesta
  4. Una duda:

    Por un lado, sabemos la imposibilidad de “alcanzar” una longitud irracional a partir de regla y compás (o equivalentemente usando únicamente funciones algebraicas) en un número finito de pasos.

    Por otro, existen muchas formas de aproximar números irracionales tanto como queramos usando únicamente funciones algebraicas (una de ellas son estas “locas” fracciones continuas, otras las típicas series para generar PI o las conocidas series de McClaurin).

    Sin embargo, no recuerdo haber visto ejemplos geométricos (“sucesiones dibujadas” podríamos llamar) o, al menos, yo no los recuerdo como tales.

    ¿Sabéis de “sucesiones dibujadas”?

    Por ejemplo, debería ser posible construir un círculo de radio R usando únicamente una regla (para medir distancias, no vale usarla como compás, claro), yo no lo he conseguido, aunque sí “algo” parecido

    De cuadrado a círculo sólo midiendo distancias

    (a partir de un cuadrado y tomando los puntos medios de cada arista para ponderar luego éstas con cada esquina se obtiene el polígono siguiente)

    La generación de fractales suele ser ésto mismo, aunque yo me refiero más a procedimientos geométricos “estandar”.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Ayer hablábamos sobre algunas fracciones continuas interesantes entre las cuales se encontraban varias relacionadas…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *