¿Sabía que…

…existe una relación entre π (Pi) y la sucesión de Fibonacci?. Aquí está:

Recordemos la definición de la sucesión de Fibonacci:

imagen 1

Entonces se tiene la siguiente igualdad:

imagen 2

Fijémonos en los denominadores que aparecen en cada una de las fracciones que actúan como argumento de las arcotangentes. ¿Os suenan?. ¡Exacto!. Son los términos de la sucesión de Fibonnaci para k impar (comenzando por F3 = 2). Escrito en forma de suma:

imagen 3

Es decir, que si hacemos esa suma y la multiplicamos por 4 el resultado es π (Pi)

Lo he comprobado con el programa Mathematica y haciendo la suma de los 14 primeros términos de esa serie y multiplicándola por 4 nos aparece 3.1415908173, es decir, una aproximación de π (Pi) a 5 decimales exactos. Por si alguien tiene el programa la sentencia a introducir sería la siguiente:

N[4 Sum[ArcTan[1/Fibonacci[2 k+1]],{k,1,15}],11]

Para obtener, por ejemplo, una aproximación de π (Pi) con 10 cifras exactas (la parte entera, 3, y 9 decimales exactos) necesitamos sumar los primeros 27 términos de esta serie. La sentencia a introducir en el programa sería algo así:

N[4 Sum[ArcTan[1/Fibonacci[2 k+1]],{k,1,27}],12]

Obtendríamos 3.14159265357, mientras que el valor de π (Pi) redondeado al mismo número de cifras significativas es 3.14159265359.

Conforme aumentemos el número de términos que sumamos la aproximación será (evidentemente) mucho mejor.

Realmente sorprendente la manera de relacionar conceptos tan distintos y lejanos mediante una fórmula a la vez tan simple y tan compleja. Vía.

Dedicado a rober, que en este comentario dijo que iba a intentar buscar algo parecido.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. ¡Brutal! – cada día me fascinan más estas relaciones entre números y el “orden oculto” del universo, y entre naturaleza y matemáticas.

    Sugerencia: posts sobre cómo están presentes los números “mágicos” (phi, pi, e, fibonacci, …) en la naturaleza

    Excelente blog – os tengo en lugar preferente

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  2. Tremenda relación…
    alguna demostración de las series acá presentadas?

    saludos y felicitaciones

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  3. ¡Gran programa el Mathematica! Siempre me gustó más que el Matlab…

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  4. Me ha gustado bastante el post, he pasado un rato entretenido intentando demostrarlo (después de mirar el enlace)
    Lo que me parece más interesante es como se deduce simplemente a partir de la fórmula de la tangente de la suma…

    Enhorabuena por el blog

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  5. El PI éste lo que tiene es afán de protagonismo… Las pirámides, el azar, Fibonacci………

    xD

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  6. Chicos, no se si es problema mio, pero con esto del cambio de host, etc. no puedo ver las imagenes de ningun tema… :S
    Por cierto, muy interesante esto de Pi.

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