Pierre de Fermat: el jurista que nos mantuvo en vilo

Aunque en Gaussianos ya hemos hablado más de una vez de este personaje, no podía faltar una entrada propia para su biografía. Ahí va.


En la actualidad es muy poco habitual que destaque en matemáticas alguien que no provenga de las ciencias, que no tenga formación científica. Pero en otras épocas sí podemos encontrar algún que otro ejemplo. El que nos ocupa posiblemente sea el personaje matemático más brillante de entre los que cumple esta premisa. Hablo, evidentemente, de Pierre de Fermat.
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia. y murió el 12 de enero de 1665. Era hijo Dominique, rico comerciante de pieles, y Claire de Long, descendiente de una familia de juristas.

Quizás por eso Fermat estudió Leyes. De hecho su carrera como jurista fue meteórica, pero no era éste el único campo que le atraía. Las matemáticas eran su pasión y no tardó en demostrarlo.

Fermat no era matemático profesional, al igual que la mayoría de los nombres importantes de la época. Pero sus matemáticas tienen varias características que lo convierten en único en su época:

  1. No publicaba sus trabajos. Salvo un trabajo menor que se publicó con su consentimiento de forma anónima como apéndice de un libro, no tenemos publicaciones de Fermat en vida. ¿Cómo podían entonces saber los demás de los descubrimientos de Fermat? Pues muy sencillo: mediante cartas. Pierre se carteaba con varios matemáticos de la época, principalmente con Marin Mersenne.
  2. No mostraba demostraciones de sus descubrimientos. Como hemos dicho antes, Fermat solía comunicar sus avances mediante correspondencia con otros matemáticos, pero en dicha correspondencia no incluía las demostraciones de los resultados que obtenía. Sólo se ha encontrado una demostración rigurosa, la prueba de Fermat.

La principal aportación matemática de Fermat fue hacer de la teoría de números una ciencia sistemática, pero en su época sus trabajos sobre teoría de números fueron tan revolucionarios y tan adelantados a su tiempo que su valor fue pobremente entendido y su fama residió mucho más en sus contribuciones a otros campos. Estos incluían importantes trabajos sobre geometría analítica (la cual inventó independientemente de Descartes) y en la teoría de tangentes, cuadratura y máximos y mínimos (que fue el comienzo del cálculo) y en óptica matemática (la cual enriqueció con el descubrimiento de que la ley de refracción puede ser deducida del principio de tiempo mínimo).

Fermat intentó que otros matemáticos y científicos de la época se interesaran por esta ciencia donde no tenía rival, pero no siempre lo consiguió. Un ejemplo es esta frase que le escribió Pascal:

Buscad en otra parte quien os siga en vuestras invenciones numéricas; os confieso que me superan con mucho, y no soy capaz más que de admirarlas.

Una de las formas que utilizó Fermat para que el resto de matemáticos mostraran interés por la teoría de números fue desafiarlos por carta. Los matemáticos ingleses fueron en varias ocasiones el blanco al que Fermat dirigió dichos desafíos.

El libro de Diofanto

Portada del libro Arithmetica de Diofanto
Fermat poseía una copia del libro Aritmética de Diofanto de Alejandría publicada por Bachet. Este fue el libro que introdujo a Fermat en la teoría de números. En él iba realizando anotaciones al lado de ciertos problemas. Esta copia se convirtió en un documento de gran valor cuando su hijo Samuel la publicó en 1679 junto con todas las notas de Fermat. Y en esta copia es donde encontramos la más famosa anotación de Pierre:

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.

Se refería, como ya sabemos, a lo que en la actualidad se conoce como último teorema de Fermat:

No existen x,y,z y n enteros positivos tales que x^n+y^n=z^n para n > 2.

Este resultado, bien conocido por todos vosotros, fue una conjetura hasta que el matemático inglés Andrew Wiles lo demostró en 1995.

La posibilidad de que Fermat tuviera dicha demostración maravillosa…no queda demasiado clara. Mucha gente piensa que la demostración contenía algún error. Y hasta que Fermat en algún momento dejó de tener clara la validez de la misma, ya que solía hacer referencia a sus resultados en la correspondencia y con éste no lo hizo. Aunque no es un hecho definitivo, una de las cosas que hacen que todo el mundo recele de dicha demostración es que matemáticos de la talla de Euler, Lagrange, Sophie Germain, Kummer y un largo etcétera sólo fuera capaces de demostrar casos particulares del resultado.

Sea como fuere este último teorema de Fermat nos tuvo en vilo más de 300 años. Andrew Wiles, con la ayuda de Richard Taylor, se encargó de hacernos salir del túnel de la ignorancia en el que nos había metido Fermat.

Las aportaciones de Fermat a la teoría de números

Como hemos comentado las principales aportaciones de Fermat a las matemáticas se produjeron en el campo de la teoría de números. Algunas de ellas son las siguientes:

  • Los números de Fermat: Quizás el gran error del matemático francés. Conjeturó que todos los números de la forma F_n=2^{2^n}+1, con n natural, eran primos, lo cual resultó ser falso. Fue Euler quien se encargó de refutar esta conjetura descomponiendo F_5 así:

    F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297=641 \cdot 6700417

  • La factorización de Fermat: Método de factorización ideado por él mismo.
  • El método del descenso infinito: Método de demostración desarrollado por Fermat que seguro le fue muy útil para demostrar muchas de sus proposiciones. Pierre estaba muy orgulloso de él.
  • Estudios sobre números primos, números perfectos y números amigos: Entre ellos posiblemente el más interesante sea el pequeño teorema de Fermat, que después generalizó Euler. También descubrió que los números 17296 y 18416 eran números amigos.
  • Avances en la ecuación de Pell.
  • Estudios sobre números poligonales: Culminados posiblemente en el siguiente resultado:

    Todo números puede ser escrito como suma de tres números triangulares, o cuatro cuadrados, o cinco números pentagonales, o seis números hexagonales, y así hasta el infinito.

    Lagrange fue el primero que lo probó para los cuadrados, Gauss el primero que lo hizo para los triangulares y Cauchy el primero que lo probó en su totalidad.

Fermat y el cálculo de probabilidades

También en este campo influyó el matemático francés. Tanto que se considera a Fermat y Pascal como los precursores del cálculo de probabilidades. El juego que estudiaron en principio era tipo el siguiente:

Supongamos que dos amigos, Juan y Antonio, están jugando a un juego y acuerdan que si Juan gana dos partidas gana el juego. Por el contrario Antonio debe ganar tres partidas para vencer.

Roberval aseguraba que las probabilidades estaban en proporción 6 contra 4. Fermat y Pascal detectaron el error de Roberval y lo corrigieron.

A las puertas del cálculo diferencial y integral

Históricamente se considera a Newton y Leibniz como los desarrolladores del cálculo diferencial. Lo que mucha gente no sabe es que puede considerarse a Fermat como el precursor de dicha rama. Fermat estudió la existencia de máximos y mínimos imponiendo que la tangente a la gráfica de la función fuera paralela al eje de abscisas.

La geometría analítica

También históricamente se considera a Descartes como el desarrollador de la geometría analítica. Pero también en este campo picó Fermat. Introdujo, independientemente de Descartes, las coordenadas para el estudio de problemas geométricos, pudiéndose a partir de entonces utilizar el álgebra para resolverlos. Quizá el mayor acierto de Fermat, y en eso radica su genio, fue entender que cualquier ecuación algebraica con dos variables indeterminadas provoca una única curva geométrica.

Con esto probó que la ecuación de una recta que pasa por el origen es de la forma ax=by, encontró la ecuación de una circunferencia centrada en el origen, la de una hipérbola referida a sus asíntotas, de una parábola referente al diámetro y la tangente en su extremo y la de la elipse también en un caso concreto.

Conclusión

Analizando la cantidad de campos en los que Fermat realizó aportaciones, y la importancia de éstas, podemos considerar al matemático francés como un genio, un adelantado a su tiempo al que su negativa de publicar sus resultados y demostraciones le privó de mayor fama en su época. Por suerte su hijo Samuel se encargó de publicar lo que su padre no hizo, consiguiendo así la fama (bien ganada) que Pierre de Fermat merece.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. Con la fòrmula general de las ternas pitagòricas y el binomio de Newton, he demostrado El Ultimo Teorema de Fermat de manera sencilla. Casi al alcance de todos.
    Invito a los amigos gaussianos a redescubrir la demostraciòn y si encuentran alguna falla, favor hacermelo saber.

    phimilenario@hotmail.com

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  2. Al final una demostración elemental al alcance de todos!! Después de tanto esfuerzo por parte de los mejores, si al final va a resultar que con el binomio de Newton y cuatro arreglillos se puede demostar. Pues la mejor manera de darla a conocer al mundo entero es postearla en este blog. Estaremos encantados de verla.

    En fin, de ilusión también se vive.

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  3. Volvemos al tema de siempre. Hay gente que no se cansa.

    Jonas, mi mail (gaussianos (arroba) gmail (punto) com) está disponible para recibir dicha demostración. Por favor, no la escribas en un comentario, si quieres compartirla con nosotros mándamela y si lo veo conveniente te la publicaré gustosamente.

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  4. “Roberval aseguraba que las probabilidades estaban en proporción 6 contra 4. Fermat y Pascal detectaron el error de Roberval y lo corrigieron.”
    No encuentro error, estoy con Roberval :), ¿qué casos me faltan por considerar? Como es tan simple el problema ya he intentado tirar de enumeración de casos, pero ni aún así:
    (J gana Juan, A gana Antonio)
    JJ JAAA
    JAJ
    JAAJ

    AJJ AJAA
    AJAJ AAJA
    AAJJ AAA

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  5. Vaya hombre, quería que me quedasen un poco separados por columnas los que ganaba cada uno y arriba los que empieza ganando uno y abajo otro, y ya me hizo lo de quitar espacios (le di a publicar sin querer :()

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  6. El error está en que los casos que pones no son equiprobables. La probabilidad de JJ es cuatro veces mayor que la de JAAA, por ejemplo. Si desarrollas los 16 casos que se pueden dar con las cuatro primeras partidas llegas a 5/16 y 11/16.

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  7. AsVHEn, ten en cuenta que la probabilidad de que ocurra JJ es \textstyle{\frac{1}{4}} y, por ejemplo, la probabilidad de que ocurra JAJ es \textstyle{\frac{1}{8}}. Vamos, que todos los casos no tienen la misma probabilidad de ocurrir.

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  8. Leñe, estoy como para empezar a dar clase… :D, gracias por hacerme ver el error tan tonto, no entiendo como no me había encontrado con un problema así antes, este es de los típicos que sirven de ejemplo (mira que si fuesen probabilidades de victoria distintas lo habría calculado porque se que no habría forma de hacerlo así, pero siendo 1/2,1/2 me dió igual :)).

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