Polinomio combinatorio

Os dejo el enunciado del problema de esta semana:

Sea p(x) un polinomio de grado n tal que

\displaystyle{p(i)= {n+1 \choose i}^{-1}}

para 0\leq i\leq n. Hallar el valor de p(n+1).

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. No quiero desvelar cómo lo he hecho, pero yo diría que p(n+1)=0 si n es impar y p(n+1)=1 si n es par. Dicho de otra manera,

    p(n+1)=\frac{1+(-1)^n}{2}

    La conjetura de Tito Eliatron no es cierta para n=1 ya que en este caso el polinomio es p(x)=1-\frac{x}{2} que cumple p(2)=0.

    Publica una respuesta
  2. Definamos por p_n(x) el correspondiente polinomio para cada entero positivo n \geq 1.
    Teniendo en cuenta la relación \binom{m}{n} = \frac{m}{n} \binom{m-1}{n-1} se tendrá pues que los polinomios q_n(x) = (n+1)p_n(x) - x p_{n-1}(x-1), además de ser de grado a lo sumo n se anulan en 1,\cdots,n y por lo tanto q_n(x) = c_n(x-1)\cdots(x-n) para alguna constante real c_n.
    Ahora, como q_n(0) =(n+1)p_n(0) =  n+1, despejando se llega a que c_n = \frac{(n+1)(-1)^n}{n!}, y de este modo evaluando de las dos formas posibles q_n(n+1) se concluye que (-1)^{n} = p_n(n+1)-p_{n-1}(n), relación mediante la cual es immediato comprovar por inducción sobre n que efectivamente p_n(n+1) = \frac{1 + (-1)^n}{2}.

    Publica una respuesta
  3. Muy bonita y compacta tu demostración, arniszt. Yo lo había calculado directamente usando los polinomios de Lagrange, es decir, lo expreso como

    p(n+1)=\sum_{i=0}^n\frac{i!(n+1-i)!}{(n+1)!} p_i(n+1),

    donde p_i(k) es el único polinomio de grado n que cumple que p_i(k)=\delta_{ik}, donde \delta_{ik} es la función delta de Kronecker, para 0\leq k\leq n. De hecho, se tiene que

    p_i(x)=\frac{x(x-1)\cdots(x-i+1)(x-i+1)\cdots(x-n)}{i(i-1)\cdots(i-i+1)(i-i+1)\cdots(i-n)}.

    Al sustituir x=n+1 se simplifica mucho la expresión de p(n+1) ya que se simplifican los factoriales y se obtiene el valor que dije antes y que arniszt ha corroborado.

    Publica una respuesta
  4. Genial Manzano, no me había dado cuenta de que aplicando Lagrange se simplificaban tanto las cosas y se llegaba tan rápido a la solución, así es mucho más fácil y rápido.
    Sólo un pequeño detalle, ¿en la expresión de p_i(x) no tendría que ir un (x-i-1) después del (x - i + 1) y lo mismo para el denominador?

    Publica una respuesta
  5. Sí, arniszt. Los p_i(x) que introduce Manzano son los polinomios fundamentales de Lagrange. Por cierto, también me ha gustado bastante tu demostración por lo “inesperada” de la misma. En este caso, la interpolación polinómica era lo esperable.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Os dejo el enunciado del problema de esta semana: Sea un polinomio de grado…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *