¿Sabía que…
…el polinomio n2+n+41 da como resultado un número compuesto (es decir, no primo) cuando n=40?
Quien se haya parado a mirar habrá visto que esto es una obviedad. Está claro que si sustituimos n por 40 el resultado es el siguiente:
402+40+41=40*(40+1)+41=40*41+41=(40+1)*41=412
y por tanto compuesto. Por tanto no hay nada sorprendente en lo comentado sobre el polinomio pero sí lo hay en el propio polinomio. Y es lo siguiente: si sustituimos n por 0, por 1, por 2, y así sucesivamente hasta 39 obtenemos en todos los casos números primos. Teniendo en cuenta que hablamos de un polinomio de grado 2 con coeficientes enteros bastante sencillos (1, 1 y 41) eso sí que es realmente sorprendente.
Gracias a wallace por avisar del error.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 27 de March de 2007
Categorías: Números primos, ¿Sabía que ...? | 
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wallace | 27 de March de 2007 | 16:21
No se si malentiendo el enunciado o no pero en el caso de n=40, el resultado NO es un numero primo; el resultado es 40^2 +40 +41 = 40(40+1)+41=40×41+41=41^2
Aun asi es bastante curioso y segun me dijo mi profesor, es el unico polinomio que da resultados primos hasta n=39, y que cualquier otro polinomio , sea cual sea, no da resultados primos hasta un valor tan grande ( 39 ) aunque esto yo no lo sabria demostrar
william | 27 de March de 2007 | 16:51
Yo no veo que tiene de sorprendente. Podemos fácilmente construir un polinomio que de los n primeros números primos para cualquier número arbitrario.
Nexus7 | 27 de March de 2007 | 17:22
willian: ¿Como por ejemplo …?
Edmond | 27 de March de 2007 | 21:42
Lo que dice william acerca de los polinomios es cierto. Es relativamente facil hallar polinomios que valgan lo que uno quiera en tantas aprtes como quiera. Solamente basta aplicar uno de tantos metodos de interpolacion polinomica. Por ejemplo, el polinomio que para los 10 primeros naturales vale los 10 primeros primos seria:
-29/72576*x^9 +407/20160*x^8 -26419/60480*x^7 +2537/480*x^6 -135377/3456*x^5 +58581/320*x^4 -48514169/90720*x^3 +4695409/5040*x^2 -217885/252*x +321
Ademas, este polinomio es el de minimo grado que cumple lo dicho. O sea, que se puede pero no es nada sorprendente, pues es un polinomio de grado 9 y ademas los coeficientes ni si quiera son enteros.
Lo sorprendente del polinomio de articulo es que halla 40 primos y solamente es de grado 2!!y ademas todos sus coeficientes enteros.De lo mas sencillo
Salud
^DiAmOnD^ | 28 de March de 2007 | 02:12
Wallace tienes razón, fue un error por mi parte. Ya está corregido. Muchas gracias
Por otra parte es cierto que podemos construir un polinomio que nos genere un número finito de números primos cualquiera escogidos por nosotros. Lo realmente sorprendente de éste es lo que comenta Edmond: que un polinomio de grado tan pequeño y con unos coeficientes tan simples nos dé tantos números primos de forma consecutiva.
discipulodegauss | 29 de March de 2007 | 01:15
si bien raro …que escondera…
santi | 30 de March de 2007 | 21:37
Edmone sta claro que podemos interpolar un polinomio de grado el que queramos, la cuestión esta en que ese polinomio solo es de grado 2
Alvaro | 31 de March de 2007 | 05:08
n^2-n+41 es primo para todo n menor que 41, incluyendo 40; y n^2 -79n+1601 produce primos hasta n=79, pero falla en 80. Fuente: ¿Qué son las matemáticas? de Richard Courant y Herbert Robbins