Polinomio no factorizable

Hoy, dia laborable entre días festivos, no puede faltar nuestro problema semanal. Ahí va:

Sea n > 1 un número entero positivo y p(x)=x^n+5 x^{n-1}+3 un polinomio. Demostrar que no existen polinomios g(x) y h(x), los dos al menos de grado uno y con coeficientes enteros, tal que p(x)=g(x) \cdot h(x).

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. El problema 1 de la IMO en la que participé 🙂 Si hubiera sabido entonces lo que sé ahora…

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  2. Empecemos por demostrar que no es factorizable para un polinomio de grado par:

    P(x)=x^{2n}+5x^n+3   x^{2n}+5x^n+3=0   x^n=frac{-5pm sqrt{13}}{2}

    Por tanto, no cumple las condiciones establecidas.

    Para grado impar:

    Probemos con n=3.
    P(x)=x^3+5x^2+3   x^3+5x^2+3=0

    No tiene sentido aplicar el teorema del resto para valores 1, -1 ó 3. Probemos con -3:
    P(-3)=(-3)^3+5*3^2+3

    Probemos para n=5.
    P(-3)=(-3)^5+5*3^4+3

    En general, el segundo término es superior al primero. Por tanto, no se puede factorizar empleando números enteros.

    Por tanto, no se puede factorizar empleando polinomios enteros de grado igual o superior a uno. Éso es lo que quería demostrar.

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  3. Estamos entonces ante un contraejemplo al criterio de Eisenstein.

    Para n\geq 2 el polinomio dado no puede tener raíces enteras, ya que no existe ningún entero a tal que a^{n-1}(a+5)=-3. En particular, una descomposición x^{n}+5x^{n-1}+3=g(x)h(x), con

    g(x)=x^{r}+g_{r-1}x^{r-1}+\ldots+g_1x+\sigma

    y

    f(x)=x^{s}+f_{s-1}x^{s-1}+\ldots+f_1x+3\sigma (\sigma=\pm 1)

    implicaría 2\leq r,s\leq n-2 (y r+s=n).

    Entonces, dado que el coeficiente de x^l en el polinomio p(x) es nulo para 1\leq l\leq n-2, deducimos inductivamente que todos los coeficientes f_i, 1\leq i\leq s-1, son múltiplos de 3.

    Para el término de grado s (\leq n-2) en el producto tendríamos que \sigma+\dot{3}=0, lo cual es absurdo (\dot{3} denota múltiplo de 3).

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  4. M, como no usas el 5 para nada, el enunciado se cumple igual para
      x^n + kx^{n-1}+3
    siendo k cualquier entero no nulo, no?
    Y como la ecuacion que te queda
      \sigma+\dot{3}=0
    tambien se puede extrapolar a cualquier otro q, tal que
      \sigma+\dot{q}=0
    con |q|>1. Se puede generalizar que
      x^n + kx^{n-1}+q
    no se puede factorizar en h y g para cualesquiera |k|>0 y |q|>1,
    cierto?

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  5. M, ¿cómo que un contraejemplo del criterio de Eisenstein? se trata de un teorema …

    Por otra parte, creo que estas confundiendo 1que el polinomio sea irreducible irreducible con que no tenga raíces enteras.

    Yo he intentado atacarlo de dos formas, con el criterio de Eisenstein y tratando de ver que toma más de n valores primos o +/-1, separados por al menos dos unidades. pero sin mucho éxito por ninguna de las dos vías.

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  6. Por algo será el 5
    x^2+4x+3=(x+3)(x+1)
    p(x) si es de grado impar p(x)=0 tiene única solución real -6<a<-5, por tanto p(x) se puede factorizar de una única forma (x-a)*q(x), a no es entero y tampoco lo serán todos los coeficientes de q(x)
    Si p(x) es de grado par las soluciones reales son unicamente dos -5<a<-4 y -1<b<0
    por tanto p(x)=(x-a)(x-b)*q(x), el producto (x-a)(x-b) podrá tener los coeficientes enteros, pero no podrá existir el q(x)

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  7. rtomas, el 5 se ha usado para ver que el polinomio no puede tener raíces enteras. Efectivamente el razonamiento anterior se podría aplicar a otros polinomios de esa misma forma con otros valores. Pero cuidado que el razonamiento no se aplica a cualesquiera k,q (según tu notación) ya que en el argumento hemos usado la primalidad. Por ejemplo: x^4+(p-1)x^3-p=(x-1)(x^3+px^2+px+p).

    Por otra parte, gracias Ignacio. Aunque no he confundido tener raíces enteras con ser reducible, al aludir al criterio de Eisenstein, debí mejor decir “contraejemplo al recíproco del criterio de Eisenstein”. Es decir, este polinomo del enunciado es irreducible en \mathbb{Z}[x] sin poder cumplir las condiciones del criterio de Eisenstein.

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  8. Una cuestión un poco más interesante sería dar una condición necesaria y suficiente para los coeficientes a,b (en función de n) de modo que el polinomio p(x)=x^n+ax^{n-1}+b sea reducible en \mathbb{Z}[x].

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  9. M, tienes toda la razón. Es que lo del contraejemplo me despistó y ya no entendí el resto de tu demostración, que es impecable.

    Respecto a lo que dices en tu último mensaje, como has visto que un p(x) de esta forma con b = p primo, si no tiene raíces enteras, resulta ser irreducible, basta con asegurarse de que no las tenga. Pero

    x^n + ax^(n-1) + p = 0 ===> a = -p/x^(n-1) – x

    Si p es primo y n > 2, solo puede ser x = +/-1, con lo que:

    Para n par, puede ser a = +/-(p + 1)
    Si n = 2, puede ser además x = +/- p, lo que no añade posibilidades para a.

    Para n impar, n > 1, a = – p +/- 1

    Si p no es primo, ya tenemos que cambiar de argumentos …

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  10. Ignacio, la base del argumento es ésta:

    Cualquier cualquier raíz de x^n para el polinomio dado, siendo n un número par, dará como resultado una fracción con numerador radical \displaystyle\frac{-5 \pm \sqrt {13}}{2}. Está claro que no es un polinomio de grado par.

    Aplicando el teorema del resto para conocer sus posibles raíces a varios valores de n tales como 3 ó 5 se cumple la siguiente desigualdad:

    5x^{n-1}>x^n

    Lo cual se cumple con todas las posibles raíces ya que, sea 5*3 o sea 5, estará elevado a una potencia par y se hará positivo. En cuanto a valor, se puede comprobar con cualquier par de potencias consecutivas que se cumple dicha desigualdad.

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  11. Konhat, pero si n es par, el polinomio es x^{2n} + 5x^{2n-1} + 3 y no puedes buscar los valores de x^n que lo hacen cero resolviendo una ecuación de 2º grado, a no ser que sea n = 1, claro.

    Las únicas raíces enteras (y racionales, al ser mónico) que podría tener son únicamente \pm1\; y\; \pm3 , los divisores del término independiente, y ninguna de ellas lo es. Pero esto no quiere decir que no pueda factorizarse. Podría descomponerse, si n \ge 4 , en producto de polinomios con coeficientes enteros de grados mayores o iguales que 2.

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