Polinomio y sucesión

Vamos con el problema semanal. Ahí va su enunciado:

Sea p(x) un polinomio con coeficientes enteros. A partir de él definimos la siguiente sucesión:

\begin{matrix} a_0=0 \\ a_{n+1}=p(a_n) \end{matrix}

con n \geq 0.

Demostrar que si existe m \geq 1 tal que a_m=0 entonces a_1\cdot a_2=0.

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. Creo que la expresión del producto nulo es una manera enrevesada de decir que si se cumplen las condiciones, la sucesión es idénticamente nula. Lo que es evidente es que si se cumplen las condiciones, la sucesión es periódica y forman el ciclo los valores de, como mucho, a(0) a a(m – 1)

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  2. vayapordios, lo dice el enunciado es que la sucesión debe ser nula o de la forma 0,a,0,a,0,a,…

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  3. Ya, pero eso es lo que no sé demostrar. A lo más que llego es a lo que he escrito, que es periódica.

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  4. Buenas tardes

    El problema es un tanto complejo. Al menos, a mi me lo parece. Partamos de que sabemos que el polinomio p tiene la siguiente forma:

    p(t)=b_st^s+b_{s-1}t^{s-1} + \dots + b_1t+b_0; p(t) \in \mathbb{Z}[t]

    Esto nos lleva a deducir que todos los a_i son enteros.

    Además, como

    a_1=p(0)=b_0

    deducimos también que todos los a_i son múltiplos de b_0.

    Si b_0=0 todos los a_i=0 y ya hemos acabado.

    Consideremos el caso no trivial en que b_0 \ne 0. Como existe un m \ge 1 tal que a_m=0 tenemos la relación

    p(a_{m-1})=a_m=0

    o lo que es lo mismo, a_{m-1} es una raiz entera de p(t), esta raiz debe ser a la vez divisor y múltiplo de b_0, así que o bien a_{m-1}=b_0, o bien a_{m-1}=-b_0.

    Si a_{m-1}=b_0, se cumple trivialmente que

    a_{m-1}=b_0=a_1 \Rightarrow a_2=p(a_1)=p(a_{m-1})=a_m=0  \Rightarrow a_1\cdot a_2=0

    El caso a_{m-1}=-b_0 es un poco más dificil. No logró hacerlo llegar a buen puerto. Creo que lo necesario para este caso es poder demostrar que si el polinomio tiene esta raiz no es posible que la sucesión vuelva al valor 0 tras m pasos; pero no logro llegar a este resultado.

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  5. ¿Eso pone el enunciado?, pues yo no veo ni el enunciado…

    Yo lo que veo que pone es que, “con que haya un elemento de la sucesión (a_{0},a_{1},a_{2},\cdot \cdot \cdot ), sin contal el primero, que valga cero, entonces, se puede asegurar que el segundo elemento o el tercer elemento valen 0″.

    a_{m\geq 1}=0\rightarrow a_{1}a_{2}=0

    Yo otra cosa no veo que ponga…

    Lo de la periodicidad, ¿dónde lo pone? 🙁

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  6. Lo de la periodicidad es consecuencia de cómo está armada la secuencia: cada nuevo valor es función del valor anterior. Con lo cual, la propiedad a demostrar equivale a lo que dice M (18:26).

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  7. Sea c el término independiente de p(x).

    a_1 = p(0) = c, y todos los a_i son múltiplos de c.

    Si a_m = 0, \ \ a_{m-1} es raiz de p(x) y por tanto divide a c.

    Entonces a_{m-1}= \pm c y c o -c son raices.

    Si c es raiz, la secuencia es 0 c 0 c …

    y basta con demostrar si -c es raiz, -c no puede estar en la secuencia a_i.

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  8. No soy un gran entendido en matemáticas (estudio ingeniería), pero hace un tiempo que me atrae esta página, sobre todo sus ejercicios demostrativos semanales 🙂
    En este debe haber algo que no me queda bien claro…

    Si a_0  = 0 entonces el polinomio tiene la pinta p(x)=0+a_1 x+a_2 x^{2}+ .. .+a_n  x^{n}
    Pero si a_{n+1}=p(a_n) queda

    p(a_1) = p(0) = 0+a_1 0+a_2 0^{2}+ .. .+a_n  0^{n} = 0

    Y a_1 . a_2 = 0 sin importar si existe o no existe m

    ¿Dónde se ve mi error?

    ¡Saludos a todos!

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  9. Me parece que la relacion cumple con cierto patron recursivo…. tal vez desglosandolo un poco y usando unos de los razonamientos de fede podria demostrarse. si me da tiempo lo publico, si nadie se me adelanta.

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  10. Dadle otra vuelta a los comentarios porque algunos habían sido marcados como spam y los acabo de poner.

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  11. Vaya, no vi el comentario de Antonio QD. Parece que por esa vía se complica el tema.

    Buscando por ahí he visto el truco:
    X-Y | p(X)-P(Y) (en Z[X,Y])
    De aquí se obtiene que \dfrac{a_{i+2} - a_{i+1}}{ a_{i+1} -a_{i}} = \pm\ 1 si la serie es ciclica
    y por tanto a_2 = 0 o 2c, si a_0=0 y a_1=c.
    Pero si es 2c la serie a_i no puede llegar a 0, si sigue la regla anterior.

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  12. Fede, Antonio QD:
    efectivamente yo tambien necesito solamente ver que pasa si a_{m-1}=-b_0, entendiendo por b_0 como el termino constante del polinomio. Es desde luego claro que hay polinomios que tienen al negativo de su termino constante como raiz, por lo que hay que demostrar que si ese es el caso entonces p^k(0) \neq -b_0 \, \, \forall k \in \mathbb{N}. No he conseguido demostrar esto ultimo.

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  13. Un comentario anterior quizá fué a spam.

    Dani, el resultado del post se deduce a partir del hecho de que X-Y | p(X)-p(Y) (en Z[X,Y])
    (No hace falta pasar por a_{m-1} = -b_0)

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  14. De acuerdo, fede. Una posible vía es considerar que p(a)-p(b) es divisible por a-b, siempre que a-b\neq 0. A continuación detallo una justificación del resultado, que espero no desvíe la atención a otras alternativas.

    Teniendo en cuenta el comentario inicial consideramos A_n:=a_{n+1}-a_n, n\geq 0. Entonces siempre que A_n\neq 0 tendremos A_n|A_{n+1}.

    Sea m\geq 1 el menor índice para el que se verifica a_m=0. Dado que a_0=a_m, tendremos a_1=a_{m+1} y A_m=A_0. Si A_0=0 entonces a_1=0. Supongamos entonces que A_0\neq 0 (con lo cual m\geq 2).

    Entonces se tiene que A_0, A_1,\ldots, A_m\neq 0, ya que de existir 1\leq n<m con A_n=0, tendríamos a_{n+1}=a_n, y a_n=a_{n+i} para todo i\geq 1. Esto implicaría que a_n=a_m=0, con n<m (contradicción). Luego, podemos escribir la siguiente relación:

    A_0|A_1|\ldots|A_m=A_0|A_1\ldots

    y de aquí que A_0=\pm A_n, 1\leq n\leq m. Pero como A_0+A_1+\ldots+A_{m-1}=a_m-a_0=0 (con todos los sumandos iguales en valor absoluto) debe ser que m-1 es impar y además existe 1\leq k<m tal que A_{k-1}=-A_k. Esto nos da que a_{k+1}=a_{k-1}, lo cual implica aplicando el polinomio que a_{m+2}=a_m=0.

    Finalmente, 0=a_{m+2}=p(p(a_m))=p(p(a_0))=a_2.

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  15. @mtristan tu error está en que estás suponiendo que a_{0} viene dado por el polinomio, pero observa que a_{n+1}=p(a_{n}) para  n\geq0.

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  16. A ver si hoy me deja publicar….

    Sabemos:
    a_{1}=p(a_{0})=p(0)=b_{0}, donde b_{0} es el término independiente del polinomio.
    a_{2}=`p(a_{1})

    Si, a_{m}=p(a_{m-1})=0\rightarrow p^{m-1}(a_1)=0=p^{m-1}(b_{0}), entonces b_{0} es raiz del polinomio p^{m-1}(t). Luego tiene que ser proporcional al término independiente de p^{m-1}(t), que és p^{m-2}(b_{0}), entonces p^{m-2}(b_{0}) = kb_{0}\rightarrow p^{m-2}(b_{0})=p^{m-2}(a_{1})=p(a_{m-2})=a_{m-1}=kb_{0}=ka_{1} (1).

    También sabemos que a_{m}=p(a_{m-1})=0\rightarrow b_{0}=qa_{m-1}, a_{1}=qa_{m-1} (2). De (1) y (2) a_{1}=a_{m-1} y de ésta p(a_{m-1})=p(a_{1})=0 (3).

    (3) implica que:
    a) a_{1}=0 ~ (p(0)=0)
    b) a_{1} distinto de 0 y p(a_{1})=0\rightarrow a_{2}=0

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  17. orlin, de (1) y (2) lo que se deduce es a_1=\pm a_{m-1}. Con la determinación positiva obtienes directamente que a_2=0. Sin embargo podría darse el caso negativo.

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