Polinomio y sucesión

Vamos con el problema semanal. Ahí va su enunciado:

Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. A partir de él definimos la siguiente sucesión:

$\begin{matrix} a_0=0 \\ a_{n+1}=p(a_n) \end{matrix}$

con $n \geq 0$ .

Demostrar que si existe $m \geq 1$ tal que $a_m=0$ entonces $a_1\cdot a_2=0$ .

Suerte.

19 comentarios

Trackback | 28 Sep, 2010

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Vayapordios | 28 de September de 2010 | 18:22

Creo que la expresión del producto nulo es una manera enrevesada de decir que si se cumplen las condiciones, la sucesión es idénticamente nula. Lo que es evidente es que si se cumplen las condiciones, la sucesión es periódica y forman el ciclo los valores de, como mucho, a(0) a a(m – 1)
M | 28 de September de 2010 | 18:26

vayapordios, lo dice el enunciado es que la sucesión debe ser nula o de la forma 0,a,0,a,0,a,…
Vayapordios | 28 de September de 2010 | 18:40

Ya, pero eso es lo que no sé demostrar. A lo más que llego es a lo que he escrito, que es periódica.
Antonio QD | 28 de September de 2010 | 20:24

Buenas tardes

El problema es un tanto complejo. Al menos, a mi me lo parece. Partamos de que sabemos que el polinomio $p$ tiene la siguiente forma:

$p(t)=b_st^s+b_{s-1}t^{s-1} + \dots + b_1t+b_0; p(t) \in \mathbb{Z}[t]$

Esto nos lleva a deducir que todos los $a_i$ son enteros.

Además, como

$a_1=p(0)=b_0$

deducimos también que todos los $a_i$ son múltiplos de $b_0$ .

Si $b_0=0$ todos los $a_i=0$ y ya hemos acabado.

Consideremos el caso no trivial en que $b_0 \ne 0$ . Como existe un $m \ge 1$ tal que $a_m=0$ tenemos la relación

$p(a_{m-1})=a_m=0$

o lo que es lo mismo, $a_{m-1}$ es una raiz entera de $p(t)$ , esta raiz debe ser a la vez divisor y múltiplo de $b_0$ , así que o bien $a_{m-1}=b_0$ , o bien $a_{m-1}=-b_0$ .

Si $a_{m-1}=b_0$ , se cumple trivialmente que

$a_{m-1}=b_0=a_1 \Rightarrow a_2=p(a_1)=p(a_{m-1})=a_m=0 \Rightarrow a_1\cdot a_2=0$

El caso $a_{m-1}=-b_0$ es un poco más dificil. No logró hacerlo llegar a buen puerto. Creo que lo necesario para este caso es poder demostrar que si el polinomio tiene esta raiz no es posible que la sucesión vuelva al valor 0 tras $m$ pasos; pero no logro llegar a este resultado.
josejuan | 28 de September de 2010 | 22:03

¿Eso pone el enunciado?, pues yo no veo ni el enunciado…

Yo lo que veo que pone es que, “con que haya un elemento de la sucesión ( $a_{0},a_{1},a_{2},\cdot \cdot \cdot$ ), sin contal el primero, que valga cero, entonces, se puede asegurar que el segundo elemento o el tercer elemento valen 0″.

$a_{m\geq 1}=0\rightarrow a_{1}a_{2}=0$

Yo otra cosa no veo que ponga…

Lo de la periodicidad, ¿dónde lo pone?
hernan | 28 de September de 2010 | 22:10

Lo de la periodicidad es consecuencia de cómo está armada la secuencia: cada nuevo valor es función del valor anterior. Con lo cual, la propiedad a demostrar equivale a lo que dice M (18:26).
fede | 28 de September de 2010 | 23:58

Sea c el término independiente de p(x).

$a_1 = p(0) = c$ , y todos los $a_i$ son múltiplos de c.

Si $a_m = 0, \ \ a_{m-1}$ es raiz de p(x) y por tanto divide a c.

Entonces $a_{m-1}= \pm c$ y c o -c son raices.

Si c es raiz, la secuencia es 0 c 0 c …

y basta con demostrar si -c es raiz, -c no puede estar en la secuencia $a_i$ .
mtristan | 29 de September de 2010 | 01:49

No soy un gran entendido en matemáticas (estudio ingeniería), pero hace un tiempo que me atrae esta página, sobre todo sus ejercicios demostrativos semanales
En este debe haber algo que no me queda bien claro…

Si $a_0 = 0$ entonces el polinomio tiene la pinta $p(x)=0+a_1 x+a_2 x^{2}+ .. .+a_n x^{n}$
Pero si $a_{n+1}=p(a_n)$ queda

$p(a_1) = p(0) = 0+a_1 0+a_2 0^{2}+ .. .+a_n 0^{n} = 0$

Y $a_1 . a_2 = 0$ sin importar si existe o no existe m

¿Dónde se ve mi error?

¡Saludos a todos!
frank | 29 de September de 2010 | 04:27

Me parece que la relacion cumple con cierto patron recursivo…. tal vez desglosandolo un poco y usando unos de los razonamientos de fede podria demostrarse. si me da tiempo lo publico, si nadie se me adelanta.
gaussianos | 29 de September de 2010 | 05:54

Dadle otra vuelta a los comentarios porque algunos habían sido marcados como spam y los acabo de poner.
fede | 29 de September de 2010 | 13:13

Vaya, no vi el comentario de Antonio QD. Parece que por esa vía se complica el tema.

Buscando por ahí he visto el truco:
X-Y | p(X)-P(Y) (en Z[X,Y])
De aquí se obtiene que $\dfrac{a_{i+2} - a_{i+1}}{ a_{i+1} -a_{i}} = \pm\ 1$ si la serie es ciclica
y por tanto $a_2$ = 0 o 2c, si $a_0=0$ y $a_1=c$ .
Pero si es 2c la serie $a_i$ no puede llegar a 0, si sigue la regla anterior.
Dani | 29 de September de 2010 | 14:48

Fede, Antonio QD:
efectivamente yo tambien necesito solamente ver que pasa si $a_{m-1}=-b_0$ , entendiendo por $b_0$ como el termino constante del polinomio. Es desde luego claro que hay polinomios que tienen al negativo de su termino constante como raiz, por lo que hay que demostrar que si ese es el caso entonces $p^k(0) \neq -b_0 \, \, \forall k \in \mathbb{N}$ . No he conseguido demostrar esto ultimo.
fede | 29 de September de 2010 | 15:18

Un comentario anterior quizá fué a spam.

Dani, el resultado del post se deduce a partir del hecho de que X-Y | p(X)-p(Y) (en Z[X,Y])
(No hace falta pasar por $a_{m-1} = -b_0$ )
M | 29 de September de 2010 | 17:13

De acuerdo, fede. Una posible vía es considerar que $p(a)-p(b)$ es divisible por $a-b$ , siempre que $a-b\neq 0$ . A continuación detallo una justificación del resultado, que espero no desvíe la atención a otras alternativas.

Teniendo en cuenta el comentario inicial consideramos $A_n:=a_{n+1}-a_n$ , $n\geq 0$ . Entonces siempre que $A_n\neq 0$ tendremos $A_n|A_{n+1}$ .

Sea $m\geq 1$ el menor índice para el que se verifica $a_m=0$ . Dado que $a_0=a_m$ , tendremos $a_1=a_{m+1}$ y $A_m=A_0$ . Si $A_0=0$ entonces $a_1=0$ . Supongamos entonces que $A_0\neq 0$ (con lo cual $m\geq 2$ ).

Entonces se tiene que $A_0, A_1,\ldots, A_m\neq 0$ , ya que de existir $1\leq n$ <m con $A_n=0$ , tendríamos $a_{n+1}=a_n$ , y $a_n=a_{n+i}$ para todo $i\geq 1$ . Esto implicaría que $a_n=a_m=0$ , con n<m (contradicción). Luego, podemos escribir la siguiente relación:

$A_0|A_1|\ldots|A_m=A_0|A_1\ldots$

y de aquí que $A_0=\pm A_n$ , $1\leq n\leq m$ . Pero como $A_0+A_1+\ldots+A_{m-1}=a_m-a_0=0$ (con todos los sumandos iguales en valor absoluto) debe ser que $m-1$ es impar y además existe $1\leq k$ <m tal que $A_{k-1}=-A_k$ . Esto nos da que $a_{k+1}=a_{k-1}$ , lo cual implica aplicando el polinomio que $a_{m+2}=a_m=0$ .

Finalmente, $0=a_{m+2}=p(p(a_m))=p(p(a_0))=a_2$ .
Alfonso | 30 de September de 2010 | 01:27

@mtristan tu error está en que estás suponiendo que $a_{0}$ viene dado por el polinomio, pero observa que $a_{n+1}=p(a_{n})$ para $n\geq0$ .
orlin | 1 de October de 2010 | 18:10

estoy intentando publicar algo y no me deja.
orlin | 2 de October de 2010 | 13:06

A ver si hoy me deja publicar….

Sabemos:
$a_{1}=p(a_{0})=p(0)=b_{0}$ , donde $b_{0}$ es el término independiente del polinomio.
$a_{2}=`p(a_{1})$

Si, $a_{m}=p(a_{m-1})=0\rightarrow p^{m-1}(a_1)=0=p^{m-1}(b_{0})$ , entonces $b_{0}$ es raiz del polinomio $p^{m-1}(t)$ . Luego tiene que ser proporcional al término independiente de $p^{m-1}(t)$ , que és $p^{m-2}(b_{0})$ , entonces $p^{m-2}(b_{0}) = kb_{0}\rightarrow p^{m-2}(b_{0})=p^{m-2}(a_{1})=p(a_{m-2})=a_{m-1}=kb_{0}=ka_{1}$ (1).

También sabemos que $a_{m}=p(a_{m-1})=0\rightarrow b_{0}=qa_{m-1}, a_{1}=qa_{m-1}$ (2). De (1) y (2) $a_{1}=a_{m-1}$ y de ésta $p(a_{m-1})=p(a_{1})=0$ (3).

(3) implica que:
a) $a_{1}=0 ~ (p(0)=0)$
b) $a_{1}$ distinto de 0 y $p(a_{1})=0\rightarrow a_{2}=0$
M | 4 de October de 2010 | 16:57

orlin, de (1) y (2) lo que se deduce es $a_1=\pm a_{m-1}$ . Con la determinación positiva obtienes directamente que $a_2=0$ . Sin embargo podría darse el caso negativo.