Polinomios generadores de números primos, los números afortunados de Euler y el 163

El polinomio n^2+n+41 es bien conocido como generador de números primos. Bueno, genera unos cuantos, no nos vayamos a emocionar. Como decía, se sabe que este polinomio genera números primos distintos para valores de n desde 0 a 39, como ya vimos aquí hace ya bastante tiempo. Este hecho parece ser que era conocido ya por Euler, y la lista de esos números primos es la siguiente:

\begin{matrix} 41,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151,173,197,223,251,281,313,347,383,421,461,503, \\ 547,593,641,691,743,797,853,911,971,1033,1097,1163,1231,1301,1373,1447,1523,1601 \end{matrix}

Para n=40 el resultado es 1681, que no es primo ya que 1681=41^2.

Cierto es que mediante interpolación podemos construir un polinomio p(n) que genere los números primos que queramos a partir de los valores que elijamos (por ejemplo, un polinomio que dé unos ciertos números primos concretos para n desde 0 a 1000), pero posiblemente el grado del mismo nos quede enorme y con unos coeficientes tremendos. Lo interesante del polinomio de Euler es su bajo grado, 2, y sus sencillos coeficientes.

Y aquí la pregunta es obligada: ¿qué otros polinomios de expresión sencilla generan una aceptable cantidad de números primos?

Leonhard Euler

Pues sí, hay más. Uno de ellos, por ejemplo, es n^2-n+41, que es prácticamente igual al anterior…y que en realidad no aporta mucho al asunto. Da primos para n de 0 a 40 (es decir, uno más que el anterior), pero de 1 a 40 salen los mismos que en el caso anterior y el que da de más es repetido. Concretamente es el 41, que aparece para n igual a 0 y a 1.

Bien, vamos a ver si encontramos otro un poco más elaborado en lo que se refiere al listado de primo que proporciona al calcular su valor en una cierta cantidad de números naturales.

El otro día podía verse este tweet en @AlgebraFact:

Vaya, 80 primos, eso es un gran avance…pues no, en realidad no lo es. ¿Por qué no, si da el doble que los anteriores? Porque los primos que da x^2-2999 x+2248541 para x de 1460 a 1539 son los mismos que da n^2+n+41 para n de 0 a 39. ¿Y por qué son 80 entonces? Porque salen repetidos. En concreto aparece esa lista de primos en orden descendiente

1601, 1523, 1447, \ldots , 47, 43, 41

y después se repite la lista en orden ascendente. ¿Por qué ocurre esto? Muy sencillo, este polinomio se consigue apartir del polinomio de Euler mediante la transformación n=x-1500. Vamos, que esencialmente no aporta nada al que ya teníamos.

Lo mismo ocurre con x^2-79x+1601, que da el mismo listado que el anterior al derivar del primero, el de Euler, y que se consigue a partir de él mediante la transformación n=x-40.

Bueno, después de todo esto seguro que muchos os preguntáis si existen polinomios que aporten realmente algo a esto de generar números primos. Pues la respuesta es sí. Os pongo algunos ejemplos:

  • n^3+n^2+17, que da 11 primos distintos para n desde 0 hasta 10.
  • 2 n^2+11, igual que el anterio.
  • 2 n^2+29, que da 29 primos distintos para n desde 0 hasta 28.
  • 36 n^2-810 n+ 2753, que da 45 primos distintos para n desde 0 hasta 44.

Y unos cuantos más, como podéis ver en este cuadro sacado de Prime-Generating Polynomial:

¿Habrá más? Sí, evidentemente, mucho más complejos que estos tanto en grado como en coeficientes, o quizás no tanto. Y, por qué no, ¿habrá algún polinomio que dé siempre números primos? Pues no, no lo hay. Goldbach (sí, sí, el de la conjetura de Goldbach) demostró que con coeficientes enteros no es posible encontrar un polinomio que dé números primos para todo número natural, y más tarde Legendre demostró lo mismo para funciones algebraicas racionales. Lástima.

Y para finalizar una cuestión. Volvamos al polinomio de Euler, n^2+n+41. Tiene cierto interés ver qué ocurre con dicho polinomio, en el sentido de generar primos, si cambiamos 41 por otro número. ¿Para qué números tendremos un polinomio parecido? Concretamente buscamos los números enteros positivos p tales que n^2+n+p genera primos desde n=0 hasta n=p-2. Bien, pues se sabe que eso solamente ocurre con 6 números enteros, que son los siguientes:

2,3,5,11,17,41

que se denominan números afortunados de Euler (Euler’s lucky numbers). ¿Por qué esos exactamente? Pues, sin entrar en detalles, se sabe que unos ciertos números, los llamados números de Heegner, son los únicos números enteros positivos k que cumplen que

[MODE MATEMÁTICAS ON]

no son cuadrados perfectos y que el anillo de enteros del cuerpo \mathbb{Q} ( \sqrt{-k} ) es de factorización única.

[MODE MATEMÁTICAS OFF]

Los números de Heegner son los siguientes:

1,2,3,7,11,19,43,67,163

Por otro lado se sabe que los números afortunados de Euler son los enteros positivos p para los que 1-4p=-k, siendo k un número de Heegner. Mediante una sencilla comprobación vemos que los únicos posibles son los comentados anteriormente:

2,3,5,11,17,41

y que el número de Heegner asociado al 41 es el 163…

…163, interesante número. ¿Que no? Echadle un ojo al punto 2 de este post que escribí hace ya un tiempo

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. La generación de números primos mediante polinomios es fascinante.A lo mejor esto nos puede aportar algo de luz y orientación sobre la distribución de los números primos y su relación con la Hipótesis de Riemann,que nos guíe en encontrar la estructura de los ladrillos de la Matemática.Un saludo.

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  2. Me gustaría romper una lanza por el más humilde polinomio generador de primos: n+2, que nos entrega dos primos para los valores 0 y 1

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  3. Como n^2+n+41=n(n+1)+41, es obvio que si n ó n+1 son múltiplos de 41 (y ninguno de ellos es cero), entonces n^2+n+41 es compuesto.

    Ahora bien, puede probarse que hay infinitos números enteros n para los que n^2+n+41 es compuesto y tales que ni n ni n+1 son múltiplos de 41. ¿Alguien se atreve a demostrarlo?

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  4. ¿Vale esto?
    Para n=43k+1 tendremos:
    (43k+1)(43k+2)+41=43^2*k^2+43k*2+43k +2+41= múltiplo de 43, compuesto para cualquier valor de k.

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  5. Corrijo, para cualquier valor de k que no haga ni a 43k+1 ni a 43k+2 múltiplos de 41, que siguen siendo infinitos.

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  6. En el libro de Marcus du Sautoy “La música de los números primos” recuerdo haber leído algo así como que existía una especie de fórmula que genera números primos… en ocasiones. Dependía de un montón de parámetros y para la mayor parte de ellos salían valores no aceptables (negativos, creo recordar), pero cuando salía algo razonable era primo. Hablo de memoria, creo que era algo que Du Sautoy contaba después de las máquinas de Turing pero que vamos, que la fórmula como tal no servía para nada…

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  7. En la novela “Cita con Rama” (Arthur C. Clarke) uno de los protagonistas utiliza la serie del 41 para componer una contraseña (que, dicho sea de paso, activa un artefacto nuclear… y hasta ahí puedo contar).

    No se menciona el polinomio, sino la curiosa propiedad que tiene esa serie de que la serie compuesta por las diferencias entre términos consecutivos es 2,4,6,8… Este hecho lo utiliza el personaje como regla mnemotécnica para componer la contraseña: empezando en 41 y sumando la serie anterior hasta el término 40.

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  8. Hola David,
    Yo también he leido “La música de los números primos” ( imprescindible lectura ), y la fórmula que comentas creo recordar que tenía 26 variables y como bien dices, en la mayoría de los casos el resultado no era válido (negativos)

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  9. Muy interesante el trabajo de Mills. Es precioso el teorema (y su demostración).

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  10. A ratos me gusta jugar con las matemáticas y explorar nuevos caminos. En una ocasión c descubrí un binomio que genera infinidad de números primos, pero que, por supuesto , no es definitivo para obtener todos. Este binomio el siguiente : x= 6n+/- 1. Siendo x el número primo obtenible y n un número natural cualquiera. Compruébenlo y ya me contarán…

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  11. He estado trabajando durante 3 años sobre una función recurrente en la cual se encuentran todos los números primos, además de otros compuestos, pero si todos los números primos para un n.
    Esta función es peculiar, porque tiene una propiedad especial, ya que todos los elementos son primos entre si, la existencia de números primos hermanos en la distancia y de la cual deduzco la descomposición polinómica de los números primos, etc…
    Por ejemplo

    29173=2310*12 + 210*6 + 30*6 + 6*2 * 2*0 + 1

    Además me interesan mucho sus opiniones. Un saludo

    http://arithmoswaki.blogspot.com.es/

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