(Posiblemente) La demostración más elemental de la irracionalidad de raíz de dos

A estas alturas de la película creo que es bastante conocido que el número raíz de dos, \sqrt{2}, es un número irracional. Es decir, que no puede expresarse como una fracción con numerador y denominador números enteros.

Hay muchas formas de demostrarlo. De hecho aquí en Gaussianos hemos visto ya varias: la típica que usa reducción al absurdo (junto con una que usa descenso infinito) y una demostración geométrica muy interesante. Hoy vamos a ver la, posiblemente, demostración de la irracionalidad de raíz de dos más elemental que he visto nunca.

Comencemos con ella. Está bastante claro que las únicas posibilidades que pueden darse en una fracción son las siguientes: impar/impar, impar/par, par/impar y par/par.

La opción par/par se puede reducir a alguna de las otras tres, por lo que no es necesario considerarla.

Dicho esto, veamos que ninguna de las tres opciones puede dar como resultado \sqrt{2}. O lo que es lo mismo, que el cuadrado de cada una de ellas no puede valer 2. O lo que es igual, que al elevar al cuadrado cada una de ellas el numerador no puede ser el doble que el denominador. Hasta ahora bien, ¿verdad? Bien, pues vamos caso por caso:

  • impar/impar

    Si elevamos un número impar al cuadrado obtenemos un número impar, por lo que al elevar esta fracción al cuadrado obtenemos otra fracción tipo impar/impar, y está bastante claro que un número impar no puede ser el doble que otro número impar, por lo que \sqrt{2} no puede ser igual a una fracción de este tipo.

  • impar/par

    Si elevamos un número par al cuadrado obtenemos también un número par, por lo que aquí al elevar al cuadrado obtendremos una fracción del tipo impar/par. Pero un número impar no puede ser el doble de un número par, por lo que \sqrt{2} tampoco puede ser igual a una fracción de este tipo.

  • par/impar

    Por lo visto anteriormente, el cuadrado de esta fracción daría también una del tipo par/impar, y aquí en principio sí que podría ser que el numerador fuera el doble del denominador. Pero en realidad no es así, ya que un número par al cuadrado da un múltiplo de 4, y es claro que un múltiplo de 4 no puede ser el doble de un número impar (porque en realidad es el doble de un número par). Por tanto \sqrt{2} tampoco puede ser igual a una fracción así.

Lo que hemos obtenido es que \sqrt{2} no puede ser igual a ninguno de los tipos de fracciones posibles donde el numerador y el denominador son números enteros. En consecuencia, \sqrt{2} no es un número racional, hecho que unido a que sí es un número real nos lleva a que \sqrt{2} es un número irracional

Sencilla, ¿verdad? ¿Conocéis alguna otra demostración más elemental que ésta?


Esta demostración la he visto en Lanier Post-a-Lot vía este tuit de @4695712.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. Esta demostración es la primera que recuerdo haber aprendido y entendido, allá por 4 de la ESO. Nuestra profesora de matemáticas la explicó para que entendiésemos lo que era hacer un demostración.

    También recuerdo que me tocó explicarla 11.000 veces al resto de la clase.

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  2. Se me ocurre una muy corta, aunque usa la unicidad de la fracción irreducible de un número racional (salvo signo), lo que es equivalente a la unicidad de factorización de enteros.

    En fin, ahí va:

    Si \sqrt{2} es racional y tiene como fracción irreducible \frac{p}{q}, entonces \frac{p}{q} =  \frac{2q}{p}, luego la segunda fracción se reduce a la primera y por tanto (mirando denominadores) p es múltiplo de q. Contradicción.

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  3. La demostración no es sólo sencilla, también es versátil. Se puede generalizar la idea para probar la irracionalidad de \root {n} \of {a} (salvo, claro, que a sea de la forma b^n

    Llamemos pares a aquellos enteros congruentes con 0, módulo a. Todos los demás los consideraremos impares.

    Descartamos la fracción par/par, por ser reducible.

    Con un razonamiento similar al del artículo, la fracción buscada no puede tener el numerador impar, ya que por mucho que lo elevemos a 2, a 3, etc, jamás nos dará un múltiplo de a. Esto descarta las posibilidades impar/par e impar/impar.

    El caso par/impar, da también lugar a una fracción par/impar al elevarla a n, sea cual sea el valor de n. Pero, al igual que en el artículo, el numerador será multiplo de a^n, es decir, que al dividirlo por a, nos daría un número par… contradicción.

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  4. Sive, un número que no es 0 módulo a, sí puede tener una potencia que sea 0 módulo a. Por ejemplo 6 al cuadrado es 0 módulo 12, y 12 no es el cuadrado de ningún numero entero.

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  5. Pues pienso que es una forma “asequible para todos” de la clásica demostración de la fracción irreducible.

    Mejor dicho, creo que es la misma demostración, pero comenzando “por el final”.

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  6. Cierto JuanGMeneses, me precipité.

    De todos modos la generalización sí es válida si imponemos que a es primo.

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  7. ¿Y lo siguiente por qué no vale?

    La fracción irreducible \frac{p}{q} buscada tendrá factores primos en q que no estarán en p (salvo que q sea 1).

    Ahora, por mucho que elevemos la fracción a 2, 3, 4… siempre vamos a tener factores primos en el denominador que no estarán en el numerador. Y ya está…

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  8. Tienes razón, Sive. Si a es primo, la generalización es correcta.

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  9. La propuesta en tu post o en el comentario de JuanGMeneses son, en mi opinión, más elementales que la comento a continuación, pero la comento porqué pasa por ser una de las más breves. Se trata de la demostración dada en un artículo con título “A One-Sentence Proof That \sqrt{2} Is Irrational”

    Esta demostración se puede leer en http://www.jstor.org/stable/10.2307/2690577 (incluso sin la suscripción a jstor se puede leer, puesto que sólo es una frase). Creo que no es tan elemental porqué entender el principio del descenso infinito de Fermat requiere cierta madurez.

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  10. pues hay una demostracion que hace uso del teorema fundamental de la aritmetica, “todo numero entero tiene una unica configuracion de factores salvo el orden”, me parecio al mas simple pues es directo:
    sea n un numero primo, y suponemos que la fraccion reducida de su raiz cuadrada es p/q entonces (1) p^2=n*q^2, como p y q estan elevados al cuadrado p^2 y q^2 tienen numero par de factores pero de la ecuacion (1) el lado derecho tiene numero par de factores y el lado izquierdo tiene numero impar de factores lo cual lo hace imposible de ser, asi que la suposicion inicial es falsa, como 2 es numero primo su raiz cuadrada NO puede ser racional…

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  11. danilo, he borrado tu comentario porque se refería a un comentario anterior que he borrado por insultante. Espero que lo entiendas 🙂

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  12. Pregunta supuestamente sencilla: (ahí va)

    Obtener la inecuación de valor absoluto que genera la siguiente desigualdad de intersección.

    4 \leq x \leq 8

    Favor indicarme si es razonable sugerir este problema para un curso de matemática Pre-Universitario, en el cual se deberían repasar conceptos de secundaria (prepa)

    P.D. : Nótese que no habría sólo una inecuación que satisfaga este tipo de problemas.

    Atte.
    Sinuhé Ancelmo
    Ing. en Computación
    Venezuela (6:12pm)

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  13. Conseguí una forma de descubrir la familia de soluciones de manera que

    p \leq x \leq q

    Sea llevado a una inecuación de valor absoluto de la forma:

    |x + w| \leq z

    -z \leq x + w \leq z

    Es decir una inecuación de valor absoluto donde, dentro del valor absoluto aparezca una función afín de ‘x’. No sé si es eso lo que le pida el profesor a mi alumna.

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  14. Alguien me explica como terminé acá?? no es la primera definicion que lei…

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  15. La raíz cuadrada de 2, es un número real positivo que multiplicado por sí mismo da como resultado 2. Fue tal vez el primer número irracional conocido (Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicos, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción) Su valor numérico aproximado a 65 posiciones decimales es el siguiente:

    1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737

    Lee todo en: Raíz cuadrada de 2 | La Guía de Matemática http://matematica.laguia2000.com/general/raiz-cuadrada-de-2#ixzz2rTPnzknp

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