Potencia irracional igual a racional
A estas alturas, después de todo lo que hemos publicado en el blog, asumo que todos sabemos qué es un número racional y qué es un número irracional. Vamos a jugar un poco con ellos:
¿Existe algún caso en el que si A es irracional y B es racional se cumpla que la expresión AB sea un número racional?
La respuesta es sí. Y de hecho es muy sencillo encontrar un caso:
Sqrt(2)2
Sabemos que Sqrt(2) es irracional, y evidentemente 2 es racional. Y esa expresión da como resultado 2, que es un número racional.
Y ahora vamos con la pregunta estrella del post:
¿Existe algún caso en el que siendo A y B irracionales la expresión Ab sea un número racional?
Se aceptan respuestas, si puede ser con alguna argumentación de ellas.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de October de 2006
Categorías: Matemáticas | 
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guille | 19 de October de 2006 | 11:03
Bueno, entre tanto Unix/Oracle/Java lo cierto es que se me ha olvidado la matemática.
La respuesta es NO.
Pero el razonamiento no me lo creo ni yo. No obstante os lo dejo para que le saquéis las tripas.
En realidad no sólo es irracional sino que es transcendente.
Prueba (por llamarla algo)
—————————
Creo recordar que se parece a uno de los problemas de Hilbert de 1900. Y éste estaba parcialmente resuelto.
i) a es irracional algebraico. b irracional algebraico.
El problema de Hilbert:
¿Es a b trascendental, siendo a ? 0,1 algebraico y b irracional algebraico?
Creo que está demostrado que:
Si A,B son algebraicos (A != 0,1) y B irracional –> A^B es transcendente.
Así que a^b es transcenedente para el caso i)
ii) Si a es transcendente.
a^b es transcendente..
Ya que en otro caso, si c=a^b algebraico –> a^b – (a^b).c^0 = 0. En contradicción con el teorema de Lindemann-Weierstrass.
iii) Si b transcendente……
Sinceramente ni puta idea.
Os dejo un enlace: http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Numeros.pdf
Saludos de un lector habitual que trabaja demasiadooooooo!
Jose Luis | 19 de October de 2006 | 11:51
Creo que la respuesta es sí y la prueba está en la identidad de Euler de la que hablaste el otro día.
Tenemos que e^(pi*i) + 1 = 0 donde e es irracional, y pi*i tambien es irracional. Al ser -1 un número racional tenemos que e^(pi*i) = -1
Esto se puede demostrar mejor pero estoy en el curro y no puedo ponerme con ello. Espero haber acertado.
lafundacion | 19 de October de 2006 | 11:51
Vale hacer trampas??
(2^(1/pi))^pi
mimetist | 19 de October de 2006 | 12:37
La opción que ofrece Jose Luís es correcta (y además reciente, seguro que Diamond no se la esperaba jejeje)
Pero ¿y si reducimos el “campo de acción” a los números reales? (la identidad de euler funciona por los números complejos).
lafundación también ha propuesto una solución que funciona.
Mi respuesta es que SI y ocurre infinitas veces para todos los casos en los que, con C racional, A=(C^D) es irracional tenemos que (C^D)^[k(1/D)] es racional… donde B = k(1/D) y k es un número entero.
la cuestión es, ¿habrá más casos?
mimetist | 19 de October de 2006 | 12:43
Por cierto, el caso sqrt(2)² es del mismo tipo que hemos propuesto lafundacion y yo:
sqrt(2)² = [2^(1/2)]² = 2
y, por supuesto, [2^(1/2)]^(k2) es racional para todo k natural
(antes también puse “entero” y me refería sólo a los naturales
)
Jose Luis Perán | 19 de October de 2006 | 12:45
Bueno, no se si es exactamente correcta puesto que i es imaginario y supongo que pi*i es también imaginarios. Mi pregunta es ¿un número imaginario es también irracional?
Warein | 19 de October de 2006 | 14:18
Yo me pregunto qué es un número elevado a un irracional… es decir, multiplicas el número por si mismo un número irracional de veces? como es eso?
también vale para la multiplicación jeje qué es sumar dos PI veces????
Lek | 19 de October de 2006 | 15:05
Yo también pensé en Euler… a ver si nos dicen que vale
Ellohir | 19 de October de 2006 | 15:24
La pregunta es interesante, yo he estado a punto de coger números en forma polar y trabajar un poco con la geometría para ver si sacaba algo bueno, pero me he dado cuenta de que probablemente no podría hacer nada…
deibyz | 19 de October de 2006 | 16:11
(mode sobado resacoso on)
e^(ln(1))=1
e es irracional y ln(1) también, ¿no?
lafundacion | 19 de October de 2006 | 16:41
ln(1) = 0
0 (creo que) no es irracional
deibyz | 19 de October de 2006 | 16:46
ok, cambia los 1 por 2 :-S
que conste que avisé que estaba de resaca =oD
homero | 19 de October de 2006 | 17:12
Yo pensé lo mismo que lafundacion… raíz pi-ésima de 2, elevado a pi, pero… por qué sería trampa?
^DiAmOnD^ | 19 de October de 2006 | 20:27
Acabo de llegar del curro. Contesto a todo el mundo:
José Luis pi*i es complejo puro. Por tanto no pertenece a los números reales y por tanto no puede ser irracional. Es decir, esa solución no es válida.
deibyz ln(1) = 0, y 0 es racional.
Me vale el ejemplo de lafundacion. No es exactamente trampa, sino que lo que ha hecho es aprovechar ciertas propiedades de las potencias. El ejemplo que yo tengo también sería trampa. En cuanto tenga un rato os lo pongo y os pongo una demostración formal también.
Saludos
Paco | 19 de October de 2006 | 22:18
Creo que lo que queria decir deibyz es
e^ln(2)
^DiAmOnD^ | 19 de October de 2006 | 22:52
Paco sí, ese también vale. De hecho ese va más en la línea del ejemplo que yo tengo.
Os pongo una demostración y mi ejemplo este finde.
pasotaman | 20 de October de 2006 | 07:57
La respuesta es sí, y esta es una posible demostración (que obviamente no he inventado yo, aunque tampoco sé decir en qué libro la he visto):
sqrt(2) es irracional (como se prueba trivialmente). Definimos x=sqrt(2)^sqrt(2). entonces, hay dos posibilidades:
a) x es racional, con lo cual habríamos probado la afirmación.
b) x es irracional. Entonces basta con tomar x^sqrt(2)=sqrt(2)^2=2, que es racional, para probar el teorema.
Esta prueba no da un ejemplo, pero personalmente me parece de una hermosa sencillez.
guille | 20 de October de 2006 | 09:06
Bueno, para lo que comenta pasotaman:
Yo creo que sí das un ejemplo:
A=sqrt(2)^sqrt(2)
B=sqrt(2)
A^B=2
Para A se puede afirmar además (ver http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Gelfond) que es transcendente.
Otro ejemplo sería:
A=2^sqrt(2) es transcendente (pág.366 de http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Numeros.pdf)
B=sqrt(2)
A^B=4
Bueno, éso creo….
Saludos.
pasotaman | 20 de October de 2006 | 09:50
guille:
Es cierto que se puede probar que sqrt(2)^sqrt(2) es irracional, como bien apuntas. Lo que yo digo en mi mensaje, no obstante, es que la demostración que cito no lo prueba. Sólo dice que uno, y sólo uno, de:
(sqrt(2),sqrt(2))
(sqrt(2)^sqrt(2),sqrt(2))
Es un ejemplo de par (A,B) buscado, pero no nos dice cuál, no nos da un ejemplo explícito (tenemos que recurrir al teorema de Gelfond-Schneider para saber que es el segundo). Eso es lo que le encuentro de bonito a la prueba.
Un saludo.
^DiAmOnD^ | 20 de October de 2006 | 16:01
pasotaman me has chafado la demostración
. La que yo tengo es exactamente esa.
guille tu ejemplo también es válido.