Primeras construcciones con regla y compás en imágenes

Hace ya bastante tiempo en este blog os hablé de construcciones con regla y compás. Comenzamos con una introducción y primeras construcciones, seguimos con los problemas délicos, continuamos con los poliedros regulares y la serie terminó con una construcción del heptadecágono (polígono regular de 17 lados). Y más adelante nuestro gran fede nos deleitó con un gran post sobre el teorema de Mohr-Mascheroni, que básicamente dice que se puede prescindir de la regla en estas construcciones.

En este artículo me voy a quedar con la primera entrega de la serie inicial, la introducción y primeras construcciones. En él establecíamos las normas que rigen las construcciones con regla y compás, y además os contaba cómo realizar sencillas construcciones con estas dos herramientas, pero sin ninguna imagen. Hoy vamos a añadir el componente visual a estas construcciones: vamos a contar, apoyándonos en imágenes, cómo realizar varias de las construcciones con regla y compás más simples de entre las que aparecían en aquel post, las que considero que en algún momento pueden hacernos falta.

Antes de comenzar, es interesante recordar las normas a las que nos tenemos que atener. Son las siguientes:

  • La regla tiene longitud infinita, no tiene marcas que permitan medir o trasladar distancias y tiene sólo un borde. Puede usarse solamente para trazar un segmento de recta entre dos puntos ya dados o para prolongar un segmento dado todo lo que queramos.
  • El compás se cierra cuando lo levantamos del papel. Es decir, después de utilizarlo olvida la distancia que tenía entre sus puntas. Puede usarse solamente para trazar circunferencias (o arcos de ellas) tomando como centro un punto ya dado y como radio la distancia entre ese punto y otro también dado de antemano.

Con ello, y teniendo en cuenta que en principio partimos de dos puntos, digamos \{A,B \}, vamos a ver en imágenes cómo realizar sencillas construcciones con regla y compás:

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es la recta que divide dicho segmento en dos segmentos iguales.

Dibujamos el segmento AB. Después construimos una circunferencia con centro A y radio AB, y otra con centro B y radio también AB. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos, C y D. La recta que pasa por esos dos puntos es la mediatriz del segmento AB.

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es la recta que divide un ángulo en dos ángulo iguales.

Partimos de tres puntos no alineados, \{A, B, C \} (podrían ser los de la construcción anterior, aunque aquí están colocados de forma distinta). Trazamos las rectas que pasan por los segmentos AB y BC. Estas dos rectas forman cuatro ángulos. Nos quedamos con el que en la imagen se denomina \alpha.

Trazamos una circunferencia centrada en B y de radio AB, que cortará al segmento BC en un punto, al que llamamos E. Ahora trazamos dos circunferencias centradas en A y en E, ambas con radio AE. Estas dos circunferencias se cortan en dos puntos, F y G. La recta que pasa por ellos pasa también por el punto B y a su vez es la bisectriz del ángulo formado por los puntos \{ A, B, C \}.

Simétrico de un punto respecto de otro

Vamos a construir el simétrico de A respecto de B.

Trazamos la recta que pasar por A y B. Ahora trazamos una circunferencia con centro B y radio AB. Esta circunferencia corta a la recta inicial en otro punto, C, que es precisamente el simétrico de A respecto de B.

Paralela a una recta dada

Partimos de tres puntos no alineados \{A,B,C \}. Dibujamos la recta que pasa por A y B. Después dibujamos la circunferencia de centro C y radio AB (en rojo) y la de centro A y radio BC (en verde). Con eso obtenemos dos nuevos puntos, los de corte de las dos circunferencias. Nos quedamos con el punto que forme con [late]A[/latex] un segmento paralelo al segmento BC (en el dibujo es D). Trazando ahora la recta que pasa por C y D obtenemos una paralela a la inicial.

División de un segmento en n partes iguales

Vamos a dividir un segmento en 3 partes iguales. El mismo procedimiento que vamos a usar sirve para dividirlo en el número de partes que queramos.

Partimos de dos puntos, A,B, y trazamos el segmento que los une, que será el que vamos a dividir en tres partes iguales.

Dibujamos dos circunferencias de centros A y B, ambas de radio AB. Estas dos circunferencias se cortan en dos puntos. Nos quedamos con uno cualquiera de ellos, C en este caso. Dibujamos la semirecta que parte de A y pasa por C. Ahora, con centro C dibujamos una circunferencia de radio AC, que corta a la semirecta en otro punto, digamos F. Trazamos después otra circunferencia de centro F y radio también AC, que corta a la semirecta en otro punto, H. Ya tenemos tres veces la misma distancia sobre la semirecta (si queremos dividir el segmento inicial en más partes seguimos trazando circunferencias hasta llegar al número deseado). Ahora unimos el último punto conseguido, H, con el punto B, y después trazamos paralelas al segmento resultante. Los puntos de corte con el segmento inicial, I,J en este caso, lo dividen en tres partes iguales.

Perpendicular a una recta dada que pasa por un punto

Partimos de tres puntos no alineados, \{A,B,C \} y trazamos la recta que pasa por A y B. Vamos a dibujar la perpendicular a esta recta que pasa por C.

Trazamos la mediatriz del segmento AB (que ya sabemos construir). Si esta mediatriz pasa por C, ya tenemos la perpendicular. Si no es así, como ocurre en nuestro caso, trazamos la paralela a la mediatriz que pasa por C (que también sabemos dibujar). Ésta última recta es la perpendicular a la recta inicial que pasa por C.


Espero que os haya quedado todo más claro. En el post anterior sobre la introducción y las primeras construcciones se comentaba la manera de realizar más construcciones, además de las que os he enseñado aquí, pero he preferido quedarme con estas que creo que son las más simples y, posiblemente, útiles a la hora de realizar dibujos sencillos. De todas formas, si pensáis que alguna otra construcción simple debería describirse de la manera que lo he hecho en esta entrada no tenéis más que decirlo en un comentario y lo tendré en cuenta.


Este artículo es mi última contribución con la Edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza La Vaca Esférica.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. En la construcción de la paralela a una recta dada, ¿como se traza la circunferencia con centro en C y radio AB, si el compás olvida la distancia AB en cuanto lo levanto? Lo mismo pasa para la circunferencia con centro en A y radio BC.

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  2. Coincido con Sheldon Cooper. Parece que no puedo usar el compás para trasladar distancias!!!!!

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  3. @Sheldon Cooper
    @Arnoldo Bric
    ¿Cómo que no se puede trasladar distancias? Abres el compás a la distancia AB y luego colocas en C.
    No sé dónde está el problema…

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  4. Una construción de la paralela, que evita utilizar el transporte de distancias:

    Sea r la recta que pasa por AB. Con centro en C y radio mayor que la distancia de C a r trazamos la circunferencia m, qu corta a r. Tomado uno de los puntos de corte (D) como centro y radio DC, trazamos la circunferencia p, que corta a r en E. Con centro en E y radio ED trazamos la circunferencia q.
    La intersección de q con m nos proporciona el punto F, que con C nos da una recta paralela a r.
    En realidad es mucho más complicado decirlo que hacerlo

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  5. Tenéis razón en que, tal y como se ha explicado, el trazado de paralelas exigiría un compás que no se cierre al levantarlo del papel.

    Sin embargo, con un compás así sí que se pueden trazar esas circunferencias, con algunos pasos intermedios, así que puede ser que Diamond sólo esté dando por sabido el método para hacerlo, ya que se explica en uno de los artículos de Gaussianos que se citan en el artículo (concretamente, en el del teorema de Mohr-Mascheroni).

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  6. Sive ha dado en el clavo. Es posible que fuera error mío, pero obvié algunos pasos. Perdonadme si las cosas no quedaron claras así.

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  7. Gracias a Sive por la aclaración!!!! Felicitaciones por tu excelente blog!!!

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  8. ¿Cómo se logra justificar que con el método aquí expuesto para trazar la mediatriz se divide el segmento en dos partes iguales y además se forman ángulos rectos? me queda claro que éste método no es un postulado o axioma… por eso pregunto por la justificación.

    Desde ya, muchas gracias

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