Problema del cronómetro y las infinitas monedas

Supongamos, que dos personas están en un habitación y que entre los dos tuvieran infinitas monedas. Como las monedas son todas iguales (digamos de un euro), se les coloca un “número” a cada una de las monedas y las ordenaron en forma creciente (1, 2, 3, …). Además, en la habitación hay: una caja enorme y un cronómetro.

Entonces, comienza el siguiente proceso: una persona cronometra un minuto, y en 30 segundos la otra persona coloca en la caja las monedas numeradas del 1 al 10. Una vez hecho esto, el cronometrador retira la moneda que lleva el número 1. Después, en la mitad de lo que queda de minuto (15 segundos), la persona sin cronometro coloca en la caja las monedas del 11 al 20, y el cronometrador rápidamente retira la moneda con el número 2. Así, en la mitad del tiempo que queda (7 segundos y medio) de nuevo se realiza el mismo proceso, y se continuaría haciendo lo mismo indefinidamente.

Es decir, cada vez en la mitad del tiempo que queda para terminar el minuto, una persona mete 10 monedas en la caja y la otra saca la moneda con el número más bajo que haya.

Ahora llegamos a la pregunta:una vez terminado el tiempo (o sea, cuando terminó el minuto), ¿cuántas monedas hay en la caja?

Este problema es parecido al tan polémico “la cuerda y el gusano“.

(Gracias a Marcelo)

La tentación es decir, naturalmente, que en la caja hay infinitas monedas. De hecho, después de los primeros 30 segundos, hay 9 monedas, después de los 45, hay 18 monedas. Pasados 52 segundos y medio, hay 27 monedas, y luego de 56 segundos y un cuarto, hay 36 monedas. Es decir, luego del primer tramo, quedaron 9 monedas, después del segundo, 18. Luego del tercero, 27. Luego del cuarto, 36. La idea es que luego de cada parte del proceso aumentamos en nueve la cantidad de monedas. Más aún: si uno “detuviera” el reloj en cualquiera de los pasos, en la caja habría un número de monedas que sería un múltiplo de nueve (¿entiende por qué? Es que en cada paso, ponemos 10 y sacamos 1).

Luego de este razonamiento que acabo de hacer, es esperable que uno tienda a suponer que hay infinitas monedas en la caja cuando termina el proceso.

Sin embargo, esto es falso. En realidad, en la caja ¡no quedó ninguna moneda!

Veamos por qué. ¿Qué moneda puede haber quedado en la caja? Elija usted un número de moneda cualquiera (claro… como usted no puede, voy a elegir yo, pero lo invito a que haga usted el razonamiento por su cuenta). Por ejemplo, la número 3.

¿Pudo haber quedado la número 3 en la caja? ¡No! Porque ésa fue la que su amigo sacó luego del tercer paso.

¿Pudo haber quedado la número 20 dentro de la caja? ¡No! Tampoco ésta, porque luego del paso número veinte, sabemos que esa moneda la sacamos. ¿Podrá ser la número 100? Tampoco, porque luego del centésimo paso, la sacamos a ésta también. Entonces, otra vez: ¿qué moneda quedó dentro de la caja? Como usted advierte, cualquier moneda que usted crea que quedó adentro, tendrá que tener un número (digamos el 147.000), pero justamente, al haber llegado al paso 147.000 seguro que su amigo sacó esa moneda de la caja también.

Moraleja: a pesar de que atenta fuertemente contra la intuición, el hecho de ir sacando las monedas de la forma en la que describí más arriba, garantiza que cuando pase el minuto ¡no quedará ninguna moneda en la caja!

(La solución la he copiado literalmente)
(El problema y la solución se encuentran en Página/12)

Autor: fran

59 Comentarios

  1. Pues si es como el problema de ‘la cuerda y el gusano’ entonces la caja tendría 0 monedas, ya que en un tiempo infinito (ya que el minuto nunca llegaría) el cronometrador acabaría sacando todas las monedas que el otro está metiendo, ¿no?

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  2. O más bien infinitas, ya que el crecimiento de la entrada de monedas es de orden 10 veces más rápido que la salida.
    O dicho matemáticamente, sería la suma infinita de 9, que no tiene mucho aspecto de ser finito. Pero… Ya lo pensaré cuando libere las neuronas.

    Ya está servida la polémica.

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  3. No quedan monedas, ya que las ha sacado todas (para cualquier n, ha sacado la moneda número n)

    Si las monedas no estuvieran numeradas podríamos argumentar que quedan infinitas monedas, porque cada vez que se altera el estado de la caja se añaden 9.

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  4. Se dice q las monedas son infinitas, ok!. Pero antes de pensar si tiene involucrado alguna posion algebraica en el medio:

    La caja se dice q es enorme, pero puede almacener infinitas monedas??? Si no puede, entonces se repite hasta q se llene la caja :P. Sino a pensarlo un rato mas.

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  5. Bueno, aplicando los números transfinitos, podemos establecer un apareamiento entre los números naturales (monedas) y los números 10x+1.

    11
    112
    213

    Ambos tienen como cardinal aleph-o, ergo el mismo número de elementos, ergo al final no quedan monedas.

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  6. Por alguna extraña razón no me reconoce el grupo de caracteres menor que-guión-mayor que.
    La lista correcta sería:
    1…….1
    11……2
    21……3

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  7. Alejandro suponemos que la caja tiene capacidad para todas las monedas, es decir, infinita.

    David los símbolos menor y mayor no los coge porque los interpreta como etiquetas HTML.

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  8. neok, gracias, pero la solución ¿está bien?

    Y para otra vez, ¿Cómo puedo poner las flechas? ¿Admite símbolos, por ejemplo, copiados del Word o escritos mediante alt+3579?

    Empirismo:¹ (combinación
    ), ₪ (pegado).

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  9. David la solución dentro de poco la pondré, los símbolos se pueden insertar mediante código HTML los que sean símbolos especiales para éste.

    Mirad esta web para los símbolos en HTML.

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  10. Pues entonces, la cantidad de monedas q hay en la caja es la misma q la cantidad de monedas q tiene el chico del cronometro, a su vez igual a la cantidad inicial de monedas.

    Espero q este sea mas claro q el de la cuerda y el gusano

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  11. Ciertamente se parece al otro problema,

    Supongamos una funcion f(x) el numero de monedas que hay en la caja y donde x toma el valor de las veces que se ha hecho la accion de meter 10 y quitar 1, la cantidad de monedas que si habra en cada punto sera 10x-x, para que llegase al minuto habria infinitos sucesos. Si haces el limite de esta función cunado tiende al infinito te da que en la caja hay infinitas monedas…

    Un saludo Paco

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  12. Este problema ya lo había visto en otro lado y la solución que “comúnmente se acepta” es la de que hay cero monedas, y lo pongo entre comillas porque está el problema de la interpretación del problema ya que se puede argumentar que hay cero monedas por una “supuesta” contradicción. Pero en verdad nunca me ha convencido esa demostración ya que si se plantea que en cada paso hay 9*n monedas y necesitamos un número infinito numerable de pasos para terminar entonces al final hay infinitas monedas y es una interpretación válida.

    Al igual que con el problema del gusano si se considera que la cabeza del gusano está a distancia n del origen y el final de la cuerda está a 100*n del origen ¿cuando pasa que 100*n – n = 0? Pues nunca, pero si se plantea de otra manera como lo hicieron en este blog se puede llegar a que la distancia que recorre el gusano es infinita y la cuerda es infinita, por lo tanto sí la alcanza, eso no tiene ningún sentido, pues que f(x)=e^x tienda a infinito y g(x)= x tienda a infinito no implica de ninguna manera que exista alguna b>0 tal que e^b = b.

    Hay que tener cuidado con este tipo de problemas, la interpretación no es única, por lo tanto las soluciones tampoco.

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  13. elessar la interpretación es única, te lo aseguro. En este problema una de tus interpretaciones no es válida y en el problema de la cuerda y el gusano pasa lo mismo.

    Lo de este problema lo dejo para cuando neok publique la solución. Sobre la cuerda y el gusano:

    Nadie ha dicho que haya un momento (número real) para el cual el gusano alcance el final de la cuerda. Eso es a todas luces imposible. Lo que se dijo es que con tiempo infinito los dos recorren la misma distancia. ¿Qué distancia? Pues infinita del mismo orden. Y eso no depende de sólo de que se considere que el tiempo es infinito sino de la porción de cuerda que el gusano recorre en cada instante.

    Y otra cosa: el ejemplo de e^x y x no es válido, ya que esas dos funciones no llegan al infinito igual.

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  14. Pues la pregunta que yo leí es esta: “¿Alcanzará alguna vez el gusanito el final de la cuerda?”, ¿te das cuenta que en tu solución no respondiste esa pregunta? Sólo argumentaste que el gusano recorre una distancia infinita en un tiempo infinito y la cuerda también se hace de longitud infinita en ese tiempo infinito, de eso mi mente no concluye que el gusano llega al final de la cuerda, es el problema de la interpretación, ya que yo interpreto que el gusano llega al final de la cuerda cuando la cabeza del gusano está a la misma distancia que el final de la cuerda ¿O qué no?.

    Y es muy cierto lo que acabas de decir, “esas dos funciones no llegan al infinito igual”, y es lo mismo que yo digo con el problema del gusano, aunque yo sé que en los reales el infinito no es el mismo que para los naturales, pero el problema es el mismo, las dos distancias no crecen en la misma proporción y no “se tocan” en el infinito.

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  15. Sí crecen en la misma proporción ya que el gusano acaba recorriendo una distancia infinita de cuerda, exactamente la misma que recorre la propia cuerda. Y ya lo he dicho, eso es así por la porción de cuerda que recorre el gusano en cada instante de tiempo. En un comentario ya expliqué que si la porción de cuerda recorrida por el gusano fuese de otra forma el gusano no alcanzaría en final de la cuerda aunque el tiempo fuera infinito.

    El principal problema de este tipo de juegos es el infinito. No podemos mezclar lo infinito con lo infinito. Las características que tiene el infinito hacen que muchas veces ocurran cosas que en lo finito no podrían ocurrir y por tanto van en contra de nuestra intuición.

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  16. “Sí crecen en la misma proporción ya que el gusano acaba recorriendo una distancia infinita de cuerda, exactamente la misma que recorre la propia cuerda.”, es cierto eso, pero ya no sigas por esa línea de la argumentación, porque para mi el gusano nunca llega al final de la cuerda (ya expliqué para mi qué significa que el gusano llegue al final de la cuerda), lo único que me has argumentado es que el gusano recorre una distancia infinita de cuerda y ya, que es cierto.

    Sé que el infinito no es intuitivo y que hay distintos infinitos, y que si a los naturales le quitas todos los pares de todos modos te queda un conjunto infinito numerable y que los reales tienen una cardinalidad mayor que los naturales, etc…. O sea, creeme que yo sé de lo que hablas pero estas no son matemáticas puras para que puedas decir que tu solución es única y lo demuestres, es un problema de modelación matemática y cada quien puede tener otra interpretación del problema, ¿o con la definición que yo di de “que el gusano llegue al final de la cuerda” puedes demostrarme que sí llega?

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  17. Por pasos:

    Nunca puede ser cero la cantidad de monedas en la caja y se lo demuestra facilmente por miles de caminos, pero se lo puede ver si se toma en consideracion q se extrae un moneda despues de metar antes otras 10. Q pasaria? llegaria un punto donde el del cronometro se hace el piola y saca no solo de la caja sino tb de la mano del otro?. 😛

    Distinto fuera el caso si en el primer minuto uno se encarga de poner de a 10 monedas y al siguiente minuto el otro se encarga de sacar de a 1.

    Marea?? si un poco no? pero es asi, en realidad estas son las cosas propias de trabajar con el infinito q uno no puede palpar a simple vista y se ve obligado a usar herramientas matematicas no siempre al alcance de uno. Influye y mucho el orden en el q se trabaja. Es sabido q reordenar los terminos de una serie hace q converge a otro valor distinto q el original. En pocas, la suma no es conmutativa para terminos infinitos.

    En cuando a lo de la cuerda y el gusano, lo q me gustaria saber Diamond es si estas relacionado profecionalmente con la matematica o es de aficionado. No es porq este mal lo ultimo, respeto y mucho a la gente autodidacta y yo mismo lo soy en otras areas. Pero muchas veces en ves de demostrar algo o contradecir la demostracion de otra persona decis q el infinito es extraño, o es dificil verlo pero es asi y demas… cuando en la mayoria de los casos se deberia dar una explicacion mas formal.

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  18. Alejandro, Diamond es licenciado en matemáticas, al contrario que yo que soy informático, y lo puedes ver en ¿Quiénes somos?, por tanto yo supondría que sabe de lo que habla, y con esto no quiero decir que no se equivoque todos nos equivocamos a veces. 😉

    Respecto a los infinitos, voy a hablar de mis conocimientos, y es que a mí en Cálculo cuando me enseñaban los límites me dijeron claramente que hay diferentes ordenes de infinito y que los puedes usar para resolver límites triviales, entonces una función como e^x es de un orden mayor que una función 10·x, al igual que una función 2·x es del mismo orden que una función 10·x.

    Después de esto, está el tema de que en un conjunto infinito como los naturales puedes quitar los pares y sigue siendo infinito, o que puedes asignar todos los naturales para ordenar el conjunto de los enteros, esas cosas son las que vuelven a uno tarumba con el infinito.

    Por cierto, la solución la pondré dentro de un rato.

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  19. Quedan cero, está claro… cuando el rango de tiempo sea demasiado pequeño, será más fácil sacar que meter, haced la prueba xDDDDDDD

    Yo estoy entre los que piensan que, aplicando lo del dichoso gusano, la respuesta “correcta” debería ser cero monedas. Aunque me parece más correcto decir que quedan infinitas monedas, peeeeeeeero…….

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  20. Si bien es cierto q por muy algo q sea n, en el intervalo n-esimo acabariamos sacando la moneda n, también lo es q en ese mismo intervalo habrían 9xn monedas en la caja, por tanto, no estaria vacia, podriamos esperar al intervalo o=9xn para sacar la ultima moneda, pero entonces ya tendriamos en la caja 9xo monedas(9x(9xn))
    Por infinitas que sean las particiones que podemos hacer en un minuto tambien son infinitas las monedas q vamos metiendo,en el instante ∞ sacariamos la moneda ∞, pero nos qedarian 9x∞ en el interior de la caja.

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  21. Jajaja, ya me va a escuchar Paenza, le voy a reclamar sobre su libro y ademas sobre este problema!! 😛

    Igual bien por publicar la fuente del problema, aunque haya salido no un medio no “matematico” y por lo tanto faltante de los fundamentos “importantes” q hacen a la parte matematica.

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  22. Este y muchos problemas mas son extraido del libro de Adrián Paenza, que a su vez son re-editados por el diario Pagina 12 de Argentina.
    El libro se llama “Matematica… ¿estas ahí?” y se puede descargar de internet, lo recomiendo. Si alguien lo quiere se lo paso !!!

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  23. Ahora que ya se publicó la respuesta quisiera que de favor ^DiAmOnD^ me argumentara por qué se deben usar todos y cada uno de los números naturales para que el tiempo se haga cero, porque de la definición formal de límite de una sucesión que tiende a cero cuando n tiende a infinito eso no sé cómo se infiera.

    ¿O lo volví a interpretar mal?

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  24. Yo estoy en desacuerdo con esa solución, porque no demuestra nada. Es decir es una respuesta tan intuitiva como puede ser la otra. La intuición de esta moneda es la monda x siempre sera sacada.

    Como habeis dicho el infinito no es nada intuitivo, y por lo tanto no pueden darse ese tipo de soluciones porque dependen claramente de lo que quiera uno entender.

    Cualquiera puede decir que aunque esten numeradas en cualquier momento (hasta el infinito) habría el mismo numero de monedas si las metieras numeradas, como no y partiendo de esta interpretación la solución no seria correcta. Pero como he dicho es otra interpretación intuitiva.

    o que igual que dices que toda moneda será sacada porque no dices que siempre que sacas una moneda, siempre estará la siguiente, es decir que no se dara nunca la posibilidad de sacar la última moneda.

    Ya que habeis puesto este problema solucionadlo de alguna manera que podamos ver por demostraciones que queda 0. SI no sigue siendo una interpretación con la otra. Yo ya puse mi demostracion matemática, porque esto es un problema matemático, no uno de intuicción, puede estar mal, pero nadie me ha dicho si me he equivocado, y creo que eso me da garantias de que me mi respuesta es mas fiable.

    Un saludo

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  25. Joder que mal hablo recien levantado. Reescribo mi comentario con un poco mas de sentido JEJEJEJE

    Yo estoy en desacuerdo con esa solución, porque no demuestra nada. Es decir es una respuesta tan intuitiva como puede ser cualquiera de las anteriores. La intuición de esta solucion es que cualquier moneda que metes será tarde o menprano sacada.

    Como habeis dicho el infinito no es nada intuitivo, y por lo tanto no pueden darse ese tipo de soluciones porque dependen claramente de lo que quiera uno entender.

    Cualquiera puede argumentar que aunque estén numeradas en cualquier momento (hasta el infinito) habría el mismo número de monedas en la caja que si las metieras no numeradas. Partiendo de esta interpretación la solucion sería infinata porque el conjunto de monedas de la caja no dejaría de crecer.

    O, que igual que dices que toda moneda será sacada, porque no dices que siempre que sacas una moneda, siempre estará la siguiente moneda, es decir que no se dara nunca la posibilidad de sacar la última moneda. La solución con esta interpretación es distinta a las anteriores y seria que al menos hay una ya que nunca eres capaz de sacar la última moneda de la caja.

    Estas interpretaciones son como he dicho intuitivas y que alguien me diga que porque la interpretación 1º es mas correcta que las siguientes.

    Ya que habeis puesto este problema solucionadlo de alguna manera que podamos ver por quedan 0 monedas. Si no creo que todas las interpretaciones siguien siendo igual de correctas o incorrectas. Yo ya puse mi demostracion matemática, porque esto es un problema matemático, no uno de intuicción, puede estar mal, pero nadie me ha dicho si me he equivocado, y creo que eso me da garantias de que me mi respuesta es más fiable.

    Un saludo

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  26. Paco, creo que no se trata del limite de una sucesion, sino del valor de una serie, es decir, la suma de los infinitos terminos de la sucesion.

    Un saludo

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  27. Esa respuesta no es valida matematicamnte…
    Vamos, es mas la historieta sobra bastante, hay que pensar que si hemos recogido n monedas estemos en el momento n de tiempo y se habrán puesto n*9 monedas, por lo que si hacemos un limite al infinito nos dará infinitas monedas.
    Vamos creo yo….

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  28. elessar para que la sucesión 1/n se haga cero necesitamos todos los números naturales, es decir, necesitamos hacer el límite cuando n tiende a infinito de 1/n. Esa sucesión tiende a cero, creo que no hay duda, pero no existe ningún número natural n tal que 1/n sea cero.

    Teniendo en cuenta que las monedas están numeradas son fácilmente identificables por su número. La pregunta es: ¿alguien podría decirme el número de una moneda que quedaría en la caja?

    Saludos 🙂

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  29. No es una intuición, solamente no está escrito formalmente.

    Sería algo así:
    Llamamos M(p) al conjunto de las monedas en el paso p.
    M(p)={x:x natural y px, no(infinito>infinito) y x*infinito=infinito para todo natural x, tenemos
    M(infinito)={x:infinitoinfinito) cardinal(M(p))=infinito

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  30. (Antes me ha escrito mal los menor que)

    No es una intuición, solamente no está escrito formalmente.

    Sería algo así:
    Llamamos M(p) al conjunto de las monedas en el paso p.
    M(p)={x:x natural y p<x<=10*p}

    Añadiendo infinito a los naturales, con infinito>x, no(infinito>infinito) y x*infinito=infinito para todo natural x, tenemos
    M(infinito)={x:infinito<x<infinito}={}
    Y por tanto no hay ninguna moneda.

    Podemos destacar que no existe el límite cuando p tiende a infinito de M(p), aunque límite(p->infinito) cardinal(M(p))=infinito

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  31. Ahora sí me fallaste ^DiAmOnD^, ¿por qué son necesarios todos los naturales? Por que hasta donde yo sé sólo es necesaria una cantidad infinita numerable de naturales, ¿no?. Cuando haces el límite a infinito dice que para toda epsilon mayor que cero existe un natural a partir del cual 1/n es menor que el epsilon que tú diste, más no dice que ese natural que existe sea único ni sucesor de otro, sólo existe, quien sabe a donde ande.

    Y para tu pregunta “Teniendo en cuenta que las monedas están numeradas son fácilmente identificables por su número. La pregunta es: ¿alguien podría decirme el número de una moneda que quedaría en la caja?” pues primero habría que aclarar que usaste todas las monedas, porque a mi no me queda nada claro que haya que usar todas las monedas (números naturales).

    Mi punto es que es falso que el tiempo se haga cero si y sólo sí se toman todos y cada uno de los números naturales. Y si es cierto, podrías darme una demostración.

    Y la sucesión 1/n se puede ir a cero tomando sólo los pares, ¿O no?. Podrías darme una epsilon para la cual no se cumpla. Y perdón si parezco brusco en mis comentarios, pero es que hace tiempo que vi este problema, lo he presentado a maestros y compañeros matemáticos y todos titubean, o sea, que no es tan clara la solución. Es como preguntarse si el universo está acotado, o si la tierra está acotada sin conocerla vista desde el espacio ¿está difícil asegurarlo, o no? Aunque sé que es un asunto topológico.

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  32. Las condiciones del problema dicen que tenemos infinitas monedas numeradas con los números naturales. O sea que no vale coger sólo los números pares, o los múltiplos de 5, ya que estarías cambiando las condiciones del problema.

    Por otro lado tenemos infinitas monedas. Como dividiendo 1 minuto de la forma que se explica tendríamos infinitas divisiones se tiene que se usarán las infinitas monedas.

    Y para terminar: si quedara alguna moneda dentro de la caja al terminar el minuto ésta tendría un número. Decidme ese número. Si se puede entonces habrá monedas en la caja. Si para cualquier número que pensemos existirá un momento en el cual esa moneda salió de la caja entonces no habrá ninguna moneda dentro.

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  33. Perfecto, eso es lo que quería leer, algo más específico sobre el problema, porque la definición me parece ambigüa y la demostración obscura, en lo personal las demostraciones platicadas me parecen muy informales.

    Si se definiera que para el paso “n” han sucedido sin excepción el paso “n-1” y se dijera que obviamente si los pasos siguen indefinidamente el tiempo se hace cero, entonces preguntar ¿cuántas monedas hay después de infinitos pasos cuando el tiempo se hizo cero? tendría la respuesta obvia de que no hay ningun a porque si hubiera algunas entonces el conjunto de las que quedaron sería un subconjunto de los naturales, por lo tanto tiene primer elemento entonces lo tomamos y vemos que con pasos finitos se llegó a que el tiempo es cero, contradicción y acabó el problema.

    Finalmente quisiera recalcar que mi problema no radica en si la solución es correcta o no, si no en cómo se interprete el problema, y podrás decir que soy muy quisquilloso pero así tengo que ser, si no podrían reprobarme en algún examen, jajaja. Y sé que el infinito es extraño y complicado, pero aún es más extraño y dífcil darle una especificación en lógica de primer orden a un problema platicado y demostrar su solución.

    Muchos saludos y muchas gracias por no hartarte. Y él único que podría decir que se le dio una interpretación errónea al problema es el autor, porque el perfectamente sabía a lo que quería llegar, que no lo explicara tan bien es otra cosa.

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  34. Yo voy a explicar aquí algo, que tiene algo que ver con esto, allá voy:

    Teniendo las funciones f(x)=10·x y g(x)=x, es obvio ver que las dos contienen el mismo número de elementos (o números) y es obvio ver que el cardinal (perdón si esto no recibe este nombre) de ambas funciones es infinito y para ambas podemos ver que es el mismo, ya que con ambas podemos generar los mismos y el mismo número de elementos.

    Sé que no es una explicación del problema, pero es una aclaración a temas que se han hablado aquí, o eso creo.

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  35. Hola amigos. He seguido con interés vuestra controversia y soy de la opinión de que la caja contendrá infinitas monedas cuando acabe el minuto de tiempo. ¿Por qué? Antes debemos contestar a la siguiente pregunta: ¿cambiaría algo el resultado del proceso el que en el paso “n” retiremos la moneda número “n” o cualquier otra de las que contiene la caja? Evidentemente, no. Supongamos entonces que en cada paso retiramos la que tenga un número acabado en 5, es decir, en el paso “n” retiramos la numerada como “5.(2n-1)”, esto es: la 5 en el primer paso, la 15 en el segundo, la 25 en el tercero, etc. Desoués de infinitas introducciones y retiradas de monedas de la caja, ¿quedará alguna con algún número no retirado? ¡Por supuesto! El conjunto de todas las numeradas con un número no acabado en 5, cuyo cardinal es infinito.
    Espero que os resulte convincente. Bueno, una cosa más. Por supuesto el problema es únicamente matemático. Desde un punto de vista físico sería imposible realizar las operaciones mecánicas de mover monedas a velocidades superiores a la de luz, lo cual ocurriría en los instantes inmediatamente anteriores al minuto de tiempo.

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  36. Xoan tu planteamiento significaría modificar las condiciones iniciales del problema. El problema claramente dice que en cada paso se saca una cierta moneda. Lo que tú planteas sería otro problema ya que las condiciones iniciales son distintas.

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  37. elessar, yo creo que se trata más de un problema de indeterminación que de interpretación. Me explico: tras el paso “n”, la caja contendrá “10n – n” monedas, por tanto, tomando límite: lim (10n – n) = inf – inf = indeterminado. Fíjate que no pongo “9n” sino “10n – n”, que es la raíz de toda la cuestión dialéctica. Pero los que opinan que la caja estará vacía después del minuto de tiempo, consideran que “la moneda numerada con infinito” será retirada en algún instante, y esto es un error de concepto pues infinito no es un número. Así se explica el absurdo de suponer que la caja quedará sin monedas cuando la intuición (y también la razón) indican que habrá infinitas.
    Un saludo.

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  38. DiAmOnD, ¿en verdad crees que tomar una moneda en lugar de otra cambiará en algo el resultado? Es tanto como suponer que las cosas son distintas porque se les dé distintos nombres.

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  39. Un perro es un perro aquí y en Pernambuco, aunque allí le llamen “can”.

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  40. Ya, pero hay que tener en cuenta que es muy importante que las monedas estén numeradas. Las condiciones no dicen que sacamos cualquier moneda en cada paso sino una moneda concreta. Por eso lo que tú propones no es este problema sino otro, ya que cambias las condiciones iniciales.

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  41. El que yo propongo es otro problema pero equivalente y que tiene la misma solución. Te pongo un símil: una urna contiene cuatro bolas: B1, N2, N3, N4, donde B significa “blanca” y N significa “N”. Si retiramos una bola negra, da igual que sea N2, N3 o N4, la probabilidad de extraer blanca pasará de 1/4 a 1/3, sin importar para nada el número de bola negra que retiremos.

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  42. Sí, cierto, pero en ese problema lo importante es el color de la bola, no su número (fíjate que acabas calculando la probabilidad de ser blanca en los dos casos). En el nuestro lo importante es que las monedas están numeradas y el número de moneda que se retira en cada paso.

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  43. Diamond, no quiero ser ofensivo, pero me recuerdas al viejo chiste del pobre hombre al que encargaron comprar un bocadillo de queso y le dieron dos euros, uno para pan y otro para queso. Al llegar al bar, el hombre se quedó dos horas indeciso hasta que, cuando le preguntaron qué le ocurría, contestó: “es que ahora mismo no me acuerdo de qué euro era para el pan y cuál era para el queso”.

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  44. Dirás (lim 10n – lim n) ¿no? porque la sucesión 9n = 10n -n.

    ¿Te das cuenta que el problema sigue estando en la interpretación? Yo quiero tomar las monedas que hay en el instante despues de que el cronómetro se paró (o sea 9n) porque yo entendí que pasa de manera instatánea la operación de quitar la moneda, detener el cronómetro y volver a ponerlo a andar, y en la respuesta el autor no niega eso. Ahora tú dices que habría que considerarlo como enventos independientes, yo digo que son consecutivos y hay que respetar ese orden, por eso considero 9n.

    Yo respeto que le des otra interpretación, es lo que tú entendiste, pero repito que el único que podría decir que está mal interpretado es el autor, y en su respuesta parece que no respalda tu interpretacion sobre que se debería considerar esto: lim 10n – lim n

    Y si tu escribiste lo del gusano podrías aclarar que para ti la definición de que el gusano llegué al final significa que recorra una sección infinita de cuerda, porque esa interpretación no es la que todo mundo trae en la cabeza y no puedes argumentar que sea la que todos debemos darle.

    Repito que esto no pasaría si te pidieran demostrar que el [0,1] es un conjunto compacto, porque está perfectamente definido formalmente qué significa que un conjunto sea compacto, en cambio ahora imagina que te platico la definición intuitivamente (suponiendo que tu no sabes qué es compacto formalmente, ni qué es infinito numerable formalmente) y te exijo que me digas si es compacto o no, pues no creo de ninguna manera que sin hacerme ninguna pregunta me digas que sí y me des una demostración formal.

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  45. Lo importante en el problema no es el número que tenga la moneda que se retira, sino sólo que se retira una, da igual su número.

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  46. Yo en parte estoy con elessar. Como ha dicho depende mucho de la interpretacion. Aún asi igual que tu dices reto a alguien a que diga lamonda que se queda en la caja, yo digo reto a quien quiera a que me diga cuando se saca la última moneda, puesto que la descripcion del problema dice claramente que se meten diez y se saca una.

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  47. Xoan te lo vuelvo a repetir: las condiciones del problema son esas. Se echa en la caja cierto número de monedas por paso y se retira una cierta moneda, y no vale cualquiera porque al estar numeradas todas son distintas. Si tu ahora dices que retiras otra moneda distinta a la que dice el problema estás cambiando de problema.

    elessar puede ser que el problema de lo de la cuerda y el gusano sea la interpretación, no te lo niego. Pero también es cierto que hay gente que ha comentado “…el final de la cuerda…”. Creo que con la formulación del juego está bien claro que la cuerda no tiene final ya que crece indefinidamente. Eso por ejemplo no es problema de interpretación del enunciado.

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  48. Bueno, finalmente creo que lo importante del problema es que en cada paso se retira una moneda, no que esta moneda lleve un número u otro escrito encima. Por eso reitero que habrá infinitas al acabar el minuto. Y creo que toda la dificultad conceptual del problema procede de tratar el infinito como finito (número) lo cual suele acarrear malos resultados y paradojas sorprendentes.

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  49. Paco no hay última moneda, tenemos infinitas.

    Xoan en ningún momento se ha tratado al infinito como a un número, ya que evidentemente no lo es.

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  50. DiAmOnD, ¿puedes decirme cómo resuelves la ecuación: 2x + 1 = 7? Despejando x, por supuesto: 2x = 6… x = 3. Bien, al despejar empleas otras ecuaciones, pero son equivalentes y llevan a la solución correcta. Lo mismo ocurre con mi razonamiento: establezco otras condiciones pero son equivalentes, y negarlo es tanto como decir que era importante cuál de los euros era para pan y cuál era para queso. Creo que está bastante claro.

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  51. Conclusión: La pregunta es inconsistente con la respuesta del problema del gusano ya que acabas de asegurarme que la cuerda no tiene final, entonces la pregunta no tiene sentido o es falsa por hipótesis.

    Ya para qué darle más vueltas, pero sería bueno que le preguntaras a algún actuario de los problemas de interpretación por ejemplo en el cálculo de probabilidades de problemas reales, ells son los masters en esto, y saben perfectamente que no hay respuestas absolutas sino modelaciones diferentes.

    Fin. Saludos y gracias a todos por participar.

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  52. No se sigo diciendo que si tienes en la caja 10 x monedasnumeras del 1-x y retiras x numeradas del 1 al x si llevas eso al infinito (es decir limitas) lim 10x-x, lo que da infinito,
    ¿porque buscas soluciones cuando se puede limitar y listo?, si no se puede resolver este problema limitando, explicame porque.

    A fin de cuentas ¿que hace mas cierta, la demostración empirica del resultado, que la demostració por medio de una sere de propiedades matemáticas demostradas?

    Puede incluso que consigas demostrar que no queda ninguna moneda por algún metodo, pero eso no invalida alguna de las demostraciones que se ha hecho aquí. No puedes negar que si quedan en cada momento 10x – x monedas numerdas de x+1 a 10 x si limitas está funcion te queda indeterminación y solucionar esta indeterminación te queda infinito.

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  53. vaya no lo habia pensado asi..

    aun asi no estoy seguro de si lo enfoco bien,

    he entendido que llega un momento que el tiempo es tan pequeño (0.0002 por ej.) que no puedes meter las 10 monedas y por lo tanto la balanza se decanta hacia la extracción, es decir ya no entran sino que salen y como la divisón es infinita pues alfinal no hay monedas..

    cierto? O_o

    saludos.

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  54. Umh… eso ya lo dije yo 😛

    Llegará un momento en que sea más fácil sacar que meter ^^

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  55. Bueno yo diría que el tiempo no se acaba nunca, dado que vamos dividiendolo infinitamente, así pues no se puede decir cuantas monedas hay cuando se acabe el tiempo…

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