Problema sobre grupos

Os dejo un problema sobre grupos que me ha mandado Agustín por mail. El problema necesita dominar todas las propiedades de los grupos. A ver si le podéis ayudar:

Sea G un grupo abeliano de orden n y a_1,a_2, \ldots , a_n sus elementos. Sea e su elemento neutro y x=a_1 \cdot \ldots \cdot a_n el producto de todos los elementos del grupo. Demuéstrese que:

a) Si G tiene exactamente un elemento b \ne e tal que b^2=e entonces x=b.
b) Si G tiene más de un elemento b \ne e tal que b^2=e entonces x=e.
c) Si n es impar entonces x=e.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comentarios

  1. El producto es interno, luego x es un miembro del grupo. Por otro lado, como el producto conmuta, se puede reorganizar x\cdot x de modo que cada elemento esté al lado de su inverso. Luego x\cdot x=e. La propiedad (a) se cumple ya que por definición no puede existir otro b\ne x que verifique esto.

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  2. A mi o que me parece es que los tíos de ese grupo son unos empollones estirados, y paso de salir con ellos, porque de cervezas tienen que ser un muermo…no?

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  3. Ah, se me olvidaba completar mi primer post con el hecho de que x no puede ser e porque es igual al producto de los elementos que son su propio inverso (los demás se reorganizan y cancelan entre sí), y hay uno.

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  4. Vamos a por la (b). Ya he dicho que x=b_1\dots b_m, con m\ge 2 por hipótesis en este caso, y que x es su propio inverso, luego x es o bien el elemento neutro o bien uno de los b_i. Si este último fuese el caso, existiría b_1 tal que b_1 x=e. Supongamos que es así. Lugo e=b_1 x=b_2\dots b_m. Si m=2 esto contradice directamente la hipótesis. Si m\ge 3, b_2^{-1}=b_2=b_3\dots b_m, lo que sustituido en la fórmula inicial de x da b_1=e, otro absurdo, con lo que termina la demostración: x es el elemento neutro.

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  5. Finalmente la (c): si n es impar, existe un número impar de elementos que son su propio inverso. Uno de ellos es claramente el neutro, por lo que hay un número par de lo que en el anterior post llamé b_i. Si tal número es cero, la afirmación es trivial (ya que en la fórmula de x aparecería siempre el inverso de cada elemento). En caso de que sea al menos 2 recurrimos a (b). En todo caso queda probado que x=e.

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  6. Repaso:
    (Convirtiéndonos en expertos en Grupos en un momento)
    Un grupo es una estructura formada por un conjunto G, sobre cuyos elementos se ha definido una operacion o ley interna, y que cumple: asociativa, un elemento neutro, y elemento inverso (cada elemento tiene un inverso). El abeliano es el que además tiene propiedad conmutativa.

    Llegamos a que x es el producto de elementos que son “autoinversos” (inversos de sí mismos), ya que los otros se cancelan entre sí.
    En el caso a) existe un único elemento b diferente de e que es inverso de sí mismo. Los inversos de sí mismos son: b y e. El producto de los autoinversos es x = b*e = b

    En el caso b) existen varios b autoinversos que no son e. ¿puede ser x (el producto de todos ellos) diferente de e?
    x es autoinverso… (x*x = b1*b1…bm*bm = e)
    si x no es e,
    sea x=b1 (uno de los autoinversos)
    luego e=b1*x=b2*…*bm
    luego b3*…*bm = b2
    luego b1*b2 = b1*b3*…*bm
    mmmmm NO VEO SALIDA
    No veo que esto implique b1=e!!

    Ejemplo de caso a) serían 4 números complejos: 1, i, -1, -i. El producto x es i^2 = -1 , único autoinverso distinto de 1.

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  7. Para demostrar el apartado b) utilizaremos que todo grupo abeliano se puede descomponer en producto cartesiano de cíclicos, es decir, G\simeq C_{d1} \times C_{d2} \times \ldots \times C_{dr} donde d1|d2| \ldots |dr . Puesto que hay elementos de orden 2, existirá di=2p .
    Sea 0_{j} y 1_{j} los elementos de orden 1 y orden 2 de cada C_{dj} respectivamente. Para construir un elemento de orden 2 de C_{d1} \times C_{d2} \times \ldots \times C_{dr} debemos elegir 0_{j} para todos los C_{dj} anteriores a C_{di} y luego podemos elegir entre 0_{j} y 1_{j} . La cantidad de elementos de orden 2 es 2^{r-i+1} y cada 1_{j} aparecerá en 2^{r-i} elementos. Por lo tanto, al multiplicar todos los elementos, cada 1_{j} aparecerá un número par de veces.

    Nota: d1|d2 significa que d1 divide d2

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