Problema sobre números naturales

Hoy día 7 de diciembre, justo en el centro de un interesante puente, creo que es buen momento para ejercitar un poco la mente con el problema de la semana. Ahí va el enunciado:

Sea $n > 1$ un número natural. Si denotamos como $\lfloor k \rfloor$ a la parte entera del número real $k$ (es decir, el mayor número entero menor o igual que $k$ ), demostrar que existe un único natural $x < n^2$ tal que

$\lfloor \cfrac{n^2}{x}+1\rfloor$

es divisible por $n$ . Indicar también el valor de $x$ .

Venga, suerte y a por él.

8 comentarios

Trackback | 7 Dec, 2010

Tweets that mention Problema sobre números naturales | Gaussianos -- Topsy.com
luis | 7 de December de 2010 | 09:57

¿x = n+1?
Vayapordios | 7 de December de 2010 | 11:53

Creo que Luis tiene razón. Se puede demostrar con facilidad que x=n+1 cumple las condiciones. No sé cómo demostrar la unicidad.

Se cumple que $n - 1 < \frac{{{n^2}}}{{n + 1}} < n - \frac{1}{2}$ porque

${n^2} - 1 = \left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right) < {n^2}$

(sigue)
Vayapordios | 7 de December de 2010 | 11:54

(…)

y

${n^2} \prec {n^2} + \frac{1}{2}n - \frac{1}{2}$

En este último caso para valores n>1

Ahora sumamos la unidad en las desigualdades y tenemos que la expresión está comprendida entre n y n +1/2 con lo que su parte entera es n
Trackback | 7 Dec, 2010

Bitacoras.com
Gulliver | 7 de December de 2010 | 18:41

Efectivamente, la solución es $x=n+1$ . En ese caso $\displaystyle \bigg [\frac{n^2}{n+1}+1 \bigg ] = \bigg [n + \frac{1}{n+1} \bigg ] = n$ .

Para $x > n+1$ podemos ver que $\displaystyle \bigg [\frac{n^2}{x}+1 \bigg ]$ está entre 2 y $n-1$ así que no puede ser múltiplo de n: Como $x$ es menor que $n^2$ , $n$ debe ser mayor que 2 y tenemos que $x (n-1) \ge (n+2)(n-1)=n^2+n-2 > n^2$ y por tanto $\displaystyle \bigg [\frac{n^2}{x} \bigg ] < n-1$ y $\displaystyle \bigg [\frac{n^2}{x} + 1 \bigg ] < n$ .

El caso $x = n$ es muy fácil de descartar.

Para $x < n$ , $\displaystyle \bigg [\frac{n^2}{x}+1 \bigg ] x$ está entre $n^2 + 1$ y $n^2 + x$ y no puede ser múltiplo de $n$ .
orlin | 7 de December de 2010 | 21:54

buenas!, yo lo hice así:

$[\frac{n^2}{x}+1]$ = $[\frac{n^2}{x}] +1$ , si es divisible por n entonces:
$[\frac{n^2}{x}] = k\dot n -1$ y (aquí está el paso en el que no estoy seguro si es cierto),
$[\frac{n^2}{k\dot n -1}] = x$ . (1)
desarrollando la parte izquierda de (1): $\frac{n^2}{k\dot n -1} = \frac{n}{k} + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^2(kn-1)}$ tomando la parte entera $x = \frac{n}{k} + \frac{1}{k^2}$ , como x es un entero, el único valor de k = 1 (k=-1 no puede ser porque n>1). Entonces $x=n+1$

saludos!
M | 7 de December de 2010 | 21:55

Muy buena, Gulliver. Me parece que hay un punto donde debes distinguir el caso $n=2$ , que es inmediato. Escribo otra variante:

Suponemos directamente que $n\geq 2$ . Ya que $\dfrac{n^2}{x}+1\geq n$ se tendrá, despejando, que $x\leq \dfrac{n^2}{n-1}=n+1+\dfrac{1}{n-1}$ . Así que $x\leq n+1$ . El caso $x=n+1$ cumple el requisito, mientras que el caso $x=n$ no.

Si consideramos $0<x<n$ , y tuviéramos $\lfloor \dfrac{n^2}{x}\rfloor+1=kn$ , con $k$ natural, entonces $kn-1\leq \dfrac{n^2}{x}< kn$ , y despejando tendríamos
$n< kx\leq \dfrac{n^2+x}{n}<n+1$ , lo cual es absurdo pues $kx$ debería ser natural comprendido entre dos naturales consecutivos.