Problema sobre números naturales

Hoy día 7 de diciembre, justo en el centro de un interesante puente, creo que es buen momento para ejercitar un poco la mente con el problema de la semana. Ahí va el enunciado:

Sea n > 1 un número natural. Si denotamos como \lfloor k \rfloor a la parte entera del número real k (es decir, el mayor número entero menor o igual que k), demostrar que existe un único natural x < n^2 tal que

\lfloor \cfrac{n^2}{x}+1\rfloor

es divisible por n. Indicar también el valor de x.

Venga, suerte y a por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Creo que Luis tiene razón. Se puede demostrar con facilidad que x=n+1 cumple las condiciones. No sé cómo demostrar la unicidad.

    Se cumple que n - 1 < \frac{{{n^2}}}{{n + 1}} < n - \frac{1}{2} porque

    {n^2} - 1 = \left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right) < {n^2}

    (sigue)

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  2. (…)

    y

    {n^2} \prec {n^2} + \frac{1}{2}n - \frac{1}{2}

    En este último caso para valores n>1

    Ahora sumamos la unidad en las desigualdades y tenemos que la expresión está comprendida entre n y n +1/2 con lo que su parte entera es n

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  3. Efectivamente, la solución es x=n+1. En ese caso  \displaystyle  \bigg [\frac{n^2}{n+1}+1 \bigg ] =  \bigg [n + \frac{1}{n+1} \bigg ] = n .

    Para  x > n+1 podemos ver que  \displaystyle  \bigg [\frac{n^2}{x}+1 \bigg ]  está entre 2 y  n-1 así que no puede ser múltiplo de n: Como  x es menor que  n^2 ,  n debe ser mayor que 2 y tenemos que  x (n-1) \ge (n+2)(n-1)=n^2+n-2 > n^2 y por tanto  \displaystyle \bigg [\frac{n^2}{x} \bigg ]  < n-1 y   \displaystyle \bigg [\frac{n^2}{x} + 1 \bigg ]  < n .

    El caso  x = n es muy fácil de descartar.

    Para  x < n ,  \displaystyle \bigg [\frac{n^2}{x}+1 \bigg ] x está entre  n^2 + 1 y  n^2 + x y no puede ser múltiplo de  n .

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  4. buenas!, yo lo hice así:

    [\frac{n^2}{x}+1] = [\frac{n^2}{x}] +1, si es divisible por n entonces:
    [\frac{n^2}{x}]  = k\dot n -1 y (aquí está el paso en el que no estoy seguro si es cierto),
    [\frac{n^2}{k\dot n -1}] = x. (1)
    desarrollando la parte izquierda de (1): \frac{n^2}{k\dot n -1} = \frac{n}{k} + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^2(kn-1)} tomando la parte entera x = \frac{n}{k} + \frac{1}{k^2} , como x es un entero, el único valor de k = 1 (k=-1 no puede ser porque n>1). Entonces x=n+1

    saludos!

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  5. Muy buena, Gulliver. Me parece que hay un punto donde debes distinguir el caso n=2, que es inmediato. Escribo otra variante:

    Suponemos directamente que n\geq 2. Ya que \dfrac{n^2}{x}+1\geq n se tendrá, despejando, que x\leq \dfrac{n^2}{n-1}=n+1+\dfrac{1}{n-1}. Así que x\leq n+1. El caso x=n+1 cumple el requisito, mientras que el caso x=n no.

    Si consideramos 0<x<n, y tuviéramos \lfloor \dfrac{n^2}{x}\rfloor+1=kn, con k natural, entonces kn-1\leq \dfrac{n^2}{x}< kn, y despejando tendríamos
    n< kx\leq \dfrac{n^2+x}{n}<n+1, lo cual es absurdo pues kx debería ser natural comprendido entre dos naturales consecutivos.

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